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| Aufgabe | Für die lineare Abbildung [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR^3 [/mm] --> [mm] \IR^3, [/mm] die gegeben wird durch
[mm] \vec{x} [/mm] --> [mm] \pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2} [/mm] * [mm] \vec{x}
[/mm]
bestimme man alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume. |
Hiho,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe im ersten Schritt das charakteristische Polynom bestimmt:
[mm] P_{A}(t) [/mm] = t(2t-4)
Im zweiten Schritt hab ich dann den Eigenraum zu EW
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 2
Eig(A,2) = hom. LGS [mm] (2*E_{3} [/mm] - A) * [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 0 & -1 & -2 \\ -4 & 0 & -4 \\ -2 & -1 & 0} [/mm] * [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 0 \\ 0}
[/mm]
Nun zu meiner Frage: Wie komme ich hier auf den/die Eigenwerte?
Grüße Sörn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Für die lineare Abbildung [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^3[/mm] --> [mm]\IR^3,[/mm] die
> gegeben wird durch
> [mm]\vec{x}[/mm] --> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2}[/mm] *
> [mm]\vec{x}[/mm]
> bestimme man alle Eigenwerte und die zugehörigen
> Eigenräume.
> Hiho,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Habe im ersten Schritt das charakteristische Polynom
> bestimmt:
> [mm]P_{A}(t)[/mm] = t(2t-4)
Das kann nicht stimmen. Deine Matrix ist eine [mm] 3\times3 [/mm] - Matrix. Dann ist das char. Polynom ein Polynom vom grad 3 !!!
FRED
>
> Im zweiten Schritt hab ich dann den Eigenraum zu EW
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 2
> Eig(A,2) = hom. LGS [mm](2*E_{3}[/mm] - A) * [mm]\vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 0 & -1 & -2 \\ -4 & 0 & -4 \\ -2 & -1 & 0}[/mm] *
> [mm]\vektor{x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm] = [mm]\vektor{0\\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Nun zu meiner Frage: Wie komme ich hier auf den/die
> Eigenwerte?
>
> Grüße Sörn
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Meines wissen kann das charakteristische Polynom _höchstens_ den Grad 3 haben - oder war das bei dem Minimalpolynom der Fall?
Aber ich seh grade, du hast recht, es ist tatsächlich Grad 3, mir ist ein t flöten gegangen.
Char. Polynom:
[mm] 4*(t-2)-(t-3)^3
[/mm]
Grüße Sörn
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> Meines wissen kann das charakteristische Polynom
> _höchstens_ den Grad 3 haben - oder war das bei dem
> Minimalpolynom der Fall?
Hallo,
das charakteristische hat genau den Grad 3, der grad des Minimalpolynoms kann kleiner sein.
Gruß v. Angela
>
> Aber ich seh grade, du hast recht, es ist tatsächlich Grad
> 3, mir ist ein t flöten gegangen.
>
> Char. Polynom:
>
> [mm]4*(t-2)-(t-3)^3[/mm]
>
> Grüße Sörn
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Vielen dank.
Hat keiner ne Idee wie ich daraus(siehe ersten Beitrag) die Eigenwerte ablesen kann?
Grüße Sörn
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> Hat keiner ne Idee wie ich daraus(siehe ersten Beitrag) die
> Eigenwerte ablesen kann?
Hallo,
einfach ablesen wird vermutlich nicht gehen. Daß Du die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen mußt, ist Dir klar?
Dein charakteristisches Polynom sieht mir sehr seltsam aus übrigens. Wie bist Du zu ihm gekommen?
Gruß v. Angela
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[mm] P_{A}(t) [/mm] = det [mm] (E_{n}*t-A) [/mm] =det [mm] \pmat{ t-2 & -1 & -2\\ -4 & t-2 & -4 \\ -2 & -1 & t-2 } [/mm] = (-2)*(t-2)*(-2) - [mm] (t-2)^3 [/mm] = [mm] 4*(t-2)-(t-3)^3
[/mm]
So hab ichs gerechnet.
Die Nullstellen bestimme ich dann, indem ich [mm] 4(t-2)-(t-2)^3 [/mm] = 0 setze:
[mm] 4(t-2)-(t-2)^3 [/mm] = 0 | [mm] +(t-2)^3
[/mm]
4(t-2) = [mm] (t-2)^3 [/mm] | /(t-2)
4 = [mm] (t-2)^2
[/mm]
4 = [mm] t^2-4t+2
[/mm]
0 = [mm] t^2 [/mm] -4t -2
4t = [mm] (t^2-2)/t [/mm]
t = 6
Nur wie komme ich dadurch dann auf die Form [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] ?
Grüße Sörn
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Hallo Soern,
> [mm]P_{A}(t)[/mm] = det [mm](E_{n}*t-A)[/mm] =det [mm]\pmat{ t-2 & -1 & -2\\ -4 & t-2 & -4 \\ -2 & -1 & t-2 }[/mm]
> = (-2)*(t-2)*(-2) - [mm](t-2)^3[/mm] = [mm]4*(t-2)-(t-3)^3[/mm]
richtiger Ansatz, aber ich komme mit Sarrus auf dieses charakt. Polynom:
[mm] $\chi(t)=(t-2)(t-2)(t-2)-8-8-4(t-2)-4(t-2)-4(t-2)=(t-2)^3-12(t-2)-16=...=t^2(t-6)$
[/mm]
Also NST(en) [mm] $t_1=0, t_2=6$
[/mm]
>
> So hab ichs gerechnet.
>
> Die Nullstellen bestimme ich dann, indem ich [mm]4(t-2)-(t-2)^3[/mm]
> = 0 setze:
> [mm]4(t-2)-(t-2)^3[/mm] = 0 | [mm]+(t-2)^3[/mm]
> 4(t-2) = [mm](t-2)^3[/mm] | /(t-2)
> 4 = [mm](t-2)^2[/mm]
> 4 = [mm]t^2-4t+2[/mm]
> 0 = [mm]t^2[/mm] -4t -2
> 4t = [mm](t^2-2)/t[/mm]
> t = 6
>
>
> Nur wie komme ich dadurch dann auf die Form [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
Setze wie in deinem ersten post an, um die Eigenräume zu berechnen, stelle die Matrix [mm] $(t_1\cdot{}\mathbb{E}_3-A)$, [/mm] respektive [mm] $(t_2\cdot{}\mathbb{E}_3-A)$ [/mm] auf und bringe sie in Zeilenstufenform, berechne also den Kern dieser Matrizen, der ist der entsprechende Eigenraum
> ?
>
> Grüße Sörn
LG
schachuzipus
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Also irgendwie bin ich grad total neben der Spur.....
Hab für [mm] t_{1}=0 [/mm] den Nullvektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] raus, aber auch für
[mm] t_{2}=6 [/mm] den Nullvektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
und das kann ja wohl sicher nicht stimmen? Egal wie ichs grade dreh, ich komm immer wieder auf das Ergebnis :(
Grüße Sörn
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Hallo nochmal,
> Also irgendwie bin ich grad total neben der Spur.....
>
> Hab für [mm]t_{1}=0[/mm] den Nullvektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] raus,
> aber auch für
>
> [mm]t_{2}=6[/mm] den Nullvektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> und das kann ja wohl sicher nicht stimmen?
Nein, das kann nicht stimmen, der Nullvektor ist kein Eigenvektor, schreibe mal deinen Rechenweg auf, irgendetwas muss schiefgelaufen sein.
Ich meine, wenn du doch den 1. Eigenwert [mm] $t_1=0$ [/mm] einsetzt, "siehst" du doch direkt, dass die 2. und 3. Zeile Vielfache der 1.Zeile sind, die kannst du also mit Gauß zu Nullzeilen machen, es bleibt die erste Zeile:
[mm] $-2x_1-x_2-2x_3=0$ [/mm] bzw. [mm] $2x_1+x_2+2x_3=0$
[/mm]
Und die hat doch neben dem Nullvektor noch unendlich viele andere Lösungen ...
> Egal wie ichs grade dreh, ich komm immer wieder auf das Ergebnis :(
Dann zeig' uns, wie du's drehst, wir haben keine Glaskugel und meine Tarotkarten habe ich gerade verliehen 
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> Grüße Sörn
LG
schachuzipus
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>det [mm]\pmat{ t-2 & -1 & -2\\ -4 & t-2 & -4 \\ -2 & -1 & t-2 }[/mm]
> = (-2)*(t-2)*(-2) - [mm](t-2)^3[/mm] =
Hallo,
das ist furchtbar falsch!
Mach Dich schlau, wie man Determinanten berechnet. (Laplace Entwicklung, für 3x3-Matrizen auch Sarrus )
Die beiden Diagonalen zu subtrahieren geht nur bei 2x2-Matrizen.
Gruß v. Angela
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