Eigenwerte einer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Lässt sich der größte Eigenwert [mm] \lambda_{c} [/mm] einer quadratischen symmetrischen realen Matrix C mit C=A+B, wobei A und B ebenfalls symmetrische reale Matrizen sind, als Summe der beiden größten Eigenwerte von A und B ausdrücken? |
Hallo Zusammen,
ich wollte mich erkundigen, ob es einen Satz gibt, der Aussagen über die Eigenwerte einer Matrix, welche sich als Summe zweier Matrizen darstellen lässt macht.
Wenn ja, wo finde ich diesen (mit entsprechenden Beweis wäre ideal).
Viele Grüße und schonmal Danke ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Fr 17.08.2018 | | Autor: | luis52 |
> Lässt sich der größte Eigenwert [mm]\lambda_{c}[/mm] einer
> quadratischen symmetrischen realen Matrix C mit C=A+B,
> wobei A und B ebenfalls symmetrische reale Matrizen sind,
> als Summe der beiden größten Eigenwerte von A und B
> ausdrücken?
Moin, ich meine nein. Betrachte die beiden Diagonalmatrizen [mm] $A=\operatorname{diag}(1,-1)$ [/mm] und [mm] $B=\operatorname{diag}(-1,1)$ [/mm] ...
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Danke für deine Antwort,
ich weißt, dass das Allgemein nicht geht.
Aber vielleicht gibt es notwendige und hinreichende Bedingungen an die Matrizen.
Ich habe da mal etwas gehört, ist aber sehr wage.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Fr 17.08.2018 | | Autor: | Fulla |
Hallo euklidischerraum,
schau dir mal diesen Thread an.
Offenbar müssen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] kommutieren, das heißt es muss [mm]AB=BA[/mm] gelten, damit sich die Eigenwerte von [mm]C=A+B[/mm] als Summe der Eigenwerten von [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] darstellen lassen.
Einen Beweis dafür habe ich leider nicht. Auch sehe ich nicht unbedingt eine Möglichkeit, Aussagen über den (betragsmäßig?) größten Eigenwert von [mm]C[/mm] machen zu können.
Betrachte zum Beispiel
[mm]A=\begin{pmatrix}-2&5\\5&-2\end{pmatrix}[/mm] und [mm]B=\begin{pmatrix}6&-4\\-4&6\end{pmatrix}[/mm].
Es gilt $AB=BA$ und
[mm]A[/mm] hat die Eigenwerte -7 und 3,
[mm]B[/mm] hat die Eigenwerte 2 und 10.
[mm]A+B[/mm] hat die Eigenwerte [mm]3\ (=-7+10)[/mm] und [mm]5\ (=3+2)[/mm].
Meine Vermutung ist, dass (zumindest im Fall [mm]\mathbb R^{2\times 2}[/mm]) die Summe der jeweils betragsmäßig größten Eigenwerte von [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] zwar ein Eigenwert von [mm]C[/mm] ist, man aber nicht davon ausgehen kann, dass die auch der betragsmäßig größte ist.
Lieben Gruß,
Fulla
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Danke du hast mir gerade echt geholfen,
ich habe glaube ich was gefunden.
Wenn A und B kommutieren, dann sind sie doch simultan diagonalisierbar, dh.
es existiert eine Matrix S, so dass:
A= [mm] S^{-1}D_{1}S [/mm] und B= [mm] S^{-1}D_{2}S
[/mm]
und C=A+B [mm] =S^{-1}(D_{1}+D_{2})S [/mm] jetzt muss ich das noch irgendwie beweisen und mir überlegen wie sich die Eigenwerte von C genau ergeben.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Sa 18.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> Danke du hast mir gerade echt geholfen,
> ich habe glaube ich was gefunden.
>
>
> Wenn A und B kommutieren, dann sind sie doch simultan
> diagonalisierbar, dh.
>
> es existiert eine Matrix S, so dass:
>
>
> A= [mm]S^{-1}D_{1}S[/mm] und B= [mm]S^{-1}D_{2}S[/mm]
> und C=A+B [mm]=S^{-1}(D_{1}+D_{2})S[/mm] jetzt muss ich das noch
> irgendwie beweisen und mir überlegen wie sich die
> Eigenwerte von C genau ergeben.
Das kannst Du doch jetzt wunderbar ablesen:
Es ist [mm] D_1=diag( \lambda_1,...., \lambda_n) [/mm] und [mm] D_2=diag( \mu_1,..., \mu_n), [/mm] wobei die [mm] \lambda_j [/mm] die Eigenwerte von A sind und die [mm] \mu_j [/mm] die von B.
Dann hat C die Eigenwerte [mm] \lambda_j [/mm] + [mm] \mu_j.
[/mm]
>
> Viele Grüße
>
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Hallo Fred,
Die Eigenwerte von D1 und D2 sind aber nicht sortiert, so dass ich zum Beispiel sagen kann:
[mm] \lambda_1\ge \lambda_2\ge \cdots, [/mm] oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Sa 18.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> Die Eigenwerte von D1 und D2 sind aber nicht sortiert, so
> dass ich zum Beispiel sagen kann:
> [mm]\lambda_1\ge \lambda_2\ge \cdots,[/mm] oder ?
Ja, da hast du recht.
Mir ist noch was eingefallen. Google mal nach dem Satz von Weyl (fuer Matrizen )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 26.08.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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