www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte und - räume
Eigenwerte und - räume < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwerte und - räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Mi 08.07.2009
Autor: aga88

Aufgabe
[mm] A=1/2*\pmat{ 3 & -2 & -1 \\ -2 & 6 & 2 \\ -1 & 2 & 3 }\in\IR^{3x3} [/mm]

a) Zeige, dass 1 ein Eigenwert von A ist, und bestimme alle Eigenwerte und -räume von A. Man entscheide ohne weitere Rechnung, ob sigma A ein Skalarprodukt ist, und begründe diese Entscheidung.

b) Man bestimme eine Matrix [mm] P\inO_3(\IR), [/mm] so dass [mm] P^T [/mm] AP Diagonalgestalt besitzt.

c) Man finde eine Matrix [mm] B\in\IR^{3x3} [/mm] mit A=B².

Hallo. Hier habe ich die Aufgabe. Angefangen habe ich bei a) indem ich versucht habe die Determinante von A multipliziert mit lambda und dem Einheitsvektor zu berechnen. Doch schon da ist es bei mir gescheitert. Wollte Sarrus anwenden aber es kommt nichts ordentliches bei mir raus.

Danke

        
Bezug
Eigenwerte und - räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Mi 08.07.2009
Autor: MathePower

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo aga88,

> A= 1/2 at{ 3 & -2 & -1 [mm]\\[/mm] -2 & 6 & 2 [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

-1 & 2 & 3 }

> [mm]\in\IR^{3x3}[/mm]
>  


[mm] A= \bruch{1}{2}\pmat{3 & -2 & -1 \\ -2 & 6 & 2 \\ -1 & 2 & 3}[/mm]


> a) Zeige, dass 1 ein Eigenwert von A ist, und bestimme alle
> Eigenwerte und -räume von A. Man entscheide ohne weitere
> Rechnung, ob sigma A ein Skalarprodukt ist, und begründe
> diese Entscheidung.
>  
> b) Man bestimme eine Matrix P [mm]\in O_3[/mm] ( [mm]\IR),[/mm] so dass [mm]P^T[/mm]
> AP Diagonalgestalt besitzt.
>  
> c) Man finde eine Matrix B [mm]\in \IR[/mm] ^{3x3} mit A=B².


>  Hallo. Hier habe ich die Aufgabe. Angefangen habe ich bei
> a) indem ich versucht habe die Determinante von A
> multipliziert mit lambda und dem Einheitsvektor zu
> berechnen. Doch schon da ist es bei mir gescheitert. Wollte
> Sarrus anwenden aber es kommt nichts ordentliches bei mir
> raus.


Um die Eigenwerte der Matrix A zu erhalten, mußt Du

[mm]\operatorname{det}\left(A-\lambda*E\right)=0[/mm]

lösen, wobei E die Einheitsmatrix ist.

Hier ist glaub ich ein anderes Vorgehen gefragt.

Berechne hier zunächst [mm]A-E[/mm].


>  
> Danke


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte und - räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Mi 08.07.2009
Autor: aga88

Danke habe deinen Tipp angewandt, aber bin auch nen Ticken weiter.

Wenn ich nur A-E mache erhalte ich:
[mm] \pmat{ 1/2 & -1 & -1/2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1/2 & 1 & 1/2} [/mm]

habe aber auch [mm] A-\lambda [/mm] E gemacht:
letztes Ergebnis wo ich stecken bleibe: (3/2 - [mm] \lambda)² [/mm] * [mm] (3-\lambda) [/mm] -1
habe ich etwas falsch gemacht?

LG

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte und - räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Mi 08.07.2009
Autor: MathePower

Hallo aga88,

> Danke habe deinen Tipp angewandt, aber bin auch nen Ticken
> weiter.
>
> Wenn ich nur A-E mache erhalte ich:
> [mm]\pmat{ 1/2 & -1 & -1/2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1/2 & 1 & 1/2}[/mm]


A-E muß doch hier so lauten:

[mm]\pmat{ 1/2 & -1 & -1/2 \\ -1 & 2 & 1 \\ \red{-}1/2 & 1 & 1/2}[/mm]

Jetzt fällt Dir hoffentlich etwas auf.


>  
> habe aber auch [mm]A-\lambda[/mm] E gemacht:
>  letztes Ergebnis wo ich stecken bleibe: (3/2 - [mm]\lambda)²[/mm]
> * [mm](3-\lambda)[/mm] -1


Das stimmt leider nicht.


>  habe ich etwas falsch gemacht?
>  
> LG


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte und - räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Mi 08.07.2009
Autor: aga88

hm? mir fällt nur auf, dass man 1/2 vor die Matrix schreiben könnte. Aber den Bezug zur Aufgabe sehe ich nicht.

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte und - räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Mi 08.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo,

> hm? mir fällt nur auf, dass man 1/2 vor die Matrix
> schreiben könnte. Aber den Bezug zur Aufgabe sehe ich
> nicht.


Vergleiche doch mal die erste und letzte Zeile ....

LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Eigenwerte und - räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Mi 08.07.2009
Autor: aga88

okay jetzt habe ich es gesehen. die 2 und 3. Zeile entfallen bzw. es entstehen  in beiden Zeilen Nullen. Rang=1. So nun habe ich aber Probleme weiter zukommen. Wie berechnet man die Eigenvektoren? Das sollte ja als nächstes kommen denk ich.

Gruß

Bezug
                                                        
Bezug
Eigenwerte und - räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Mi 08.07.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

Du weißt nun, dass der Lösungsraum (Eigenraum zum Eigenwert 1) des LGS

$(A-1*E)*v = o$

für die Eigenvektoren $v = [mm] \vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}$ [/mm] nur durch die Gleichung

[mm] \bruch{1}{2}*v_{1} [/mm] - [mm] v_{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2}*v_{3} [/mm] = 0

(erste Zeile der Koeffizientenmatrix) eingeschränkt wird. Wir haben 3 Unbekannte, aber nur eine Bedingung, d.h. wir dürfen 3 - 1 = 2 Parameter frei wählen, um den Eigenraum zum Eigenwert 1 darzustellen. (D.h. auch, dass der Eigenraum die Dimension 2 hat!). Seien also [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] und es gelte

[mm] $v_{3} [/mm] = b$
[mm] $v_{2} [/mm] = a$

Dann können wir [mm] v_{1} [/mm] durch die obige Gleichung mit a und b ausdrücken:

[mm] $\bruch{1}{2}*v_{1} [/mm] - [mm] v_{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2}*v_{3} [/mm] = 0 [mm] \gdw v_{1} [/mm] = [mm] 2*v_{2} [/mm] + [mm] v_{3} [/mm] = 2*a+b$

Insgesamt sind also alle Lösungen des LGS:

$v = [mm] \vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{2*a+b\\a\\b}$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IR$. [/mm]

Die Eigenvektoren und damit auch eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert 1 erhält man durch "Auseinanderziehen" des Lösungsvektors v entsprechend der Parameter:

[mm] $\vektor{2*a+b\\a\\b} [/mm] = [mm] a*\vektor{2\\1\\0} [/mm] + [mm] b*\vektor{1\\0\\1}$ [/mm]

D.h. [mm] \vektor{2\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] sind Eigenvektoren, und

[mm] $\left\{\vektor{2*a+b\\a\\b}|a,b\in\IR\right\} [/mm] = [mm] \left\{a*\vektor{2\\1\\0} + b*\vektor{1\\0\\1}|a,b\in\IR\right\}$ [/mm]

ist der Eigenraum zum Eigenwert 1.

Viele Grüße, Stefan.

Bezug
                                                                
Bezug
Eigenwerte und - räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:05 Mi 08.07.2009
Autor: aga88

gut danke:).

nun weiterhin heißt es in der Aufgabe man solle alle Eigenwerte und Eigenräume bestimmen.

Habe also dazu det [mm] (A-\lambda [/mm] E) berechnet, und bekomme letztlich: 6 1/2- [mm] 18\lambda [/mm] + 6 [mm] \lambda² [/mm] - [mm] \lambda³ [/mm]

habe an dieser Stelle immer Probleme weiter zukommen. Muss ja hier iwie ausklammern.

LG

Bezug
                                                                        
Bezug
Eigenwerte und - räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Mi 08.07.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

Ich komme auf ein anderes charakteristisches Polynom:

[mm] $\lambda^{3}-6*\lambda^{2}+9*\lambda-4$. [/mm]

Überprüfe deinen Rechenweg, oder poste ihn, wenn wir drüberschauen sollen.
Du weißt nun, dass [mm] $\lambda [/mm] = 1$ ein Eigenwert ist. Benutze also Polynomdivision, um ein quadratisches Polynom zu erhalten:

[mm] $(\lambda^{3}-6*\lambda^{2}+9*\lambda-4):(\lambda-1) [/mm] = ...$

Grüße,
Stefan.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de