Eigenwerte und Diagonalmatrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 So 09.01.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Es sei [mm] A=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
a) Bestimmen Sie das charakertistische Polynom
b)Bestimmen sie Eigenwerte und Eigenvektoren
c) Ist A diagonalähnlich? Falls ja, geben sie eine Diagonalmatrix D und eine Matrix T an, so dass T^(-1)*A*T=D gilt. |
Hallo,
ich habe ein kleines Problem mit der Aufgabe bzw. bin mir recht unsicher.
a) war eigentlich kein Problem. Habe folgendes rausbekommen: [mm] det(\lambda*I-A)= \lambda^4-1 [/mm] = 0
b) dann habe ich ich als Eigenwerte:
[mm] \lambda1= [/mm] 1
[mm] \lambda2= [/mm] -1
[mm] \lambda3= [/mm] i
[mm] \lambda4= [/mm] -i
und als entsprechende Eigenvektoren:
[mm] v1=\vektor{-1 \\ -1 \\ 1 \\ 1} [/mm] , v2= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] v3=\vektor{-i \\ i \\ 1 \\ -1} [/mm] , v4= [mm] \vektor{i \\ -i \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Ich hoffe mal das stimmt soweit.
c) Hier bin ich mir jetzt nicht mehr so sicher.
T ist doch die Matrix die aus den Eigenvektoren zusammengesetzts ist?
Also T=(v1/v2/v3/v4).
T^(-1)*A*T=D kann man unformen zu AT=TD
D ist für mich die Diagonalmatix mit den Eigenwerten.
Wenn AT und TD ausrechne kommen unterschiedliche Sachen raus, also ist A nicht Diagonalähnlich?
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Hallo Sup,
> Es sei [mm]A=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie das charakertistische Polynom
> b)Bestimmen sie Eigenwerte und Eigenvektoren
> c) Ist A diagonalähnlich? Falls ja, geben sie eine
> Diagonalmatrix D und eine Matrix T an, so dass T^(-1)*A*T=D
> gilt.
> Hallo,
> ich habe ein kleines Problem mit der Aufgabe bzw. bin mir
> recht unsicher.
>
> a) war eigentlich kein Problem. Habe folgendes
> rausbekommen: [mm]det(\lambda*I-A)= \lambda^4-1[/mm] = 0
>
> b) dann habe ich ich als Eigenwerte:
> [mm]\lambda1=[/mm] 1
> [mm]\lambda2=[/mm] -1
> [mm]\lambda3=[/mm] i
> [mm]\lambda4=[/mm] -i
>
> und als entsprechende Eigenvektoren:
> [mm]v1=\vektor{-1 \\ -1 \\ 1 \\ 1}[/mm] , v2= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> , [mm]v3=\vektor{-i \\ i \\ 1 \\ -1}[/mm] , v4= [mm]\vektor{i \\ -i \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> Ich hoffe mal das stimmt soweit.
Ja, das stimmt soweit.
>
> c) Hier bin ich mir jetzt nicht mehr so sicher.
> T ist doch die Matrix die aus den Eigenvektoren
> zusammengesetzts ist?
> Also T=(v1/v2/v3/v4).
> T^(-1)*A*T=D kann man unformen zu AT=TD
> D ist für mich die Diagonalmatix mit den Eigenwerten.
>
> Wenn AT und TD ausrechne kommen unterschiedliche Sachen
> raus, also ist A nicht Diagonalähnlich?
>
Die Matrizenprodukte AT und TD müssen gleich sein.
Ergo, poste die Diagonalmatrix D.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 09.01.2011 | | Autor: | Sup |
Ok wenn ich dass dann weiterrechne und auflöse bekomme ich die Einheitsmatrix als Diagonalmatrix raus.
Also
D= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
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Hallo Sup,
> Ok wenn ich dass dann weiterrechne und auflöse bekomme ich
> die Einheitsmatrix als Diagonalmatrix raus.
> Also
> D= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
Die Diagonalmatrix muss so aussehen:
D= [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i }[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 So 09.01.2011 | | Autor: | Sup |
Hast recht hab nen zahlendreher drin gehabt.
Danke für die Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 So 09.01.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Es sei [mm] A=\pmat{ 3 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 3 }
[/mm]
a) Besteimmen sie den Kern A
b)Bestimmen sie das char. Polynom
c)Berechnen sie die eigenwerte von A
d)Bestimmen Sie zu den Eigenwerten jeweils eine Basis des durch die zugehörigen Eigenvektoren aufgespannten Raumes |
Hm hab bei einer Aufgabe nochmal eine Frage
Erstmal die "Routine"
a) Kern A = 0
b) [mm] P_{A} (\lambda) [/mm] = [mm] (\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-6)
[/mm]
c) Also sind die Eigenmwerte [mm] \lambda1=2, \lambda2=2, \lambda3=2, \lambda4=6
[/mm]
d)so für [mm] \lambda4=6 [/mm] habe ich den Eigenvektor v4= [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
wenn ich [mm] \lambda1=2 [/mm] einseitze kann ich durch Zeilenumformung 3 Zeilen der Matrix durch Nullen darstellen.
Sieht bei mir dann so aus
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Dann ahbe ich die Gleichung:
-a+b+c-d=0 da stehen
Wie löse ich das denn auf?
Und wie bestimme ich eine Basis des durch die Eigenvektoren aufgespannten Raumes (-> Eigenraum)?
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> Es sei [mm]A=\pmat{ 3 & -1 & -1 & 1 \\
-1 & 3 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & 3 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 3 }[/mm]
>
> a) Besteimmen sie den Kern A
> b)Bestimmen sie das char. Polynom
> c)Berechnen sie die eigenwerte von A
> d)Bestimmen Sie zu den Eigenwerten jeweils eine Basis des
> durch die zugehörigen Eigenvektoren aufgespannten Raumes
> Hm hab bei einer Aufgabe nochmal eine Frage
>
> Erstmal die "Routine"
> a) Kern A = 0
> b) [mm]P_{A} (\lambda)[/mm] =
> [mm](\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-6)[/mm]
> c) Also sind die Eigenmwerte [mm]\lambda1=2, \lambda2=2, \lambda3=2, \lambda4=6[/mm]
>
> d)so für [mm]\lambda4=6[/mm] habe ich den Eigenvektor v4= [mm]\vektor{1 \\
-1 \\
-1 \\
1}[/mm]
Hallo,
alles ist richtig bisher.
>
> wenn ich [mm]\lambda1=2[/mm] einseitze kann ich durch
> Zeilenumformung 3 Zeilen der Matrix durch Nullen
> darstellen.
> Sieht bei mir dann so aus
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Dann ahbe ich die Gleichung:
> -a+b+c-d=0 da stehen
Du weißt jetzt: alle Vektoren [mm] \vektor{a\\b\\c\\d}, [/mm] für welche -a+b+c-d=0 gilt, lösen das System.
Es ist also, falls es sich um eine Lösung handelt, a=b+c-d.
Also lösen alle Vektoren der Machart
[mm] \vektor{a\\b\\c\\d}=\vektor{b+c-d\\b\\c\\d}=b*\vektor{1\\1\\0\\0}+ c*\vektor{1\\0\\1\\d} [/mm] + [mm] d*\vektor{-1\\0\\0\\1} [/mm] das System.
Die drei Vektoren [mm] \vektor{1\\1\\0\\0}, \vektor{1\\0\\1\\d}, \vektor{-1\\0\\0\\1} [/mm] bilden zusammen eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 2.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 09.01.2011 | | Autor: | Sup |
> Die drei Vektoren [mm]\vektor{1\\1\\0\\0}, \vektor{1\\0\\1\\d}, \vektor{-1\\0\\0\\1}[/mm]
> bilden zusammen eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert
> 6.
>
> Gruß v. Angela
Danke erstmal habe soweit alles verstanden bis auf eins:
Waruim bilden die 3 Vektoren eine Basis zum Eigenwert 6 und nicht 2?
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> > Die drei Vektoren [mm]\vektor{1\\
1\\
0\\
0}, \vektor{1\\
0\\
1\\
d}, \vektor{-1\\
0\\
0\\
1}[/mm]
> > bilden zusammen eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert
> > 6.
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Danke erstmal habe soweit alles verstanden bis auf eins:
>
> Waruim bilden die 3 Vektoren eine Basis zum Eigenwert 6 und
> nicht 2?
Hallo,
sie bilden eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 2, ich hatte das durcheinandergebracht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in \IR^{3x3} [/mm] eine Matrix mit dem eigenwerten 3, 4i, -4i. sind die Matrizen B= [mm] A^3+3A^2-4A [/mm] , [mm] C=A^4-8A^2-9I [/mm] , B,C [mm] \in \IR^{3x3}, [/mm] regulär?
(I ist die 3x3 Einheitsmartix) |
Langsam wirds irgendwie peinlich, aber ich hab nochn Problem.
Wie komme ich denn von den Eigenwerten von A auf die Matrix bzw. wie sollte ich das sonst ausrechnen?
Eine Matrix ist regulär, wenn sie invertierbar ist. Wie kann man das denn am besten Beweisen oder kann man das direkt irgendwie erkennen?
Gruß
Sup
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> Es sei A [mm]\in \IR^{3x3}[/mm] eine Matrix mit dem eigenwerten 3,
> 4i, -4i. sind die Matrizen B= [mm]A^3+3A^2-4A[/mm] , [mm]C=A^4-8A^2-9I[/mm] ,
> B,C [mm]\in \IR^{3x3},[/mm] regulär?
> (I ist die 3x3 Einheitsmartix)
> Langsam wirds irgendwie peinlich, aber ich hab nochn
> Problem.
>
> Wie komme ich denn von den Eigenwerten von A auf die Matrix
> bzw. wie sollte ich das sonst ausrechnen?
Hallo,
die Matrix A hat drei verschiedene Eigenwerte.
Sie ist also diagonalisierbar, dh. es gibt eine invertierbare Matrix D mit
[mm] A=D^{-1}*\pmat{3&0&0\\0&4i&0\\0&0&-4i}*D.
[/mm]
Mithilfe dieser Erkenntnis kannst Du die Matrizen B und C schreiben als
[mm] D^{-1}*Diagonalmatrix*D
[/mm]
und leicht entscheiden, ob sie invertierbar sind oder nicht.
Die matrix D braucht man hier nicht zu kennen. Da Wissen, daß es eine invertierbare Matrix ist, reicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:45 Di 11.01.2011 | | Autor: | Sup |
Ok ich muss also nicht explizit B und C ausrechnen.
Du sagst A=D^(-1)* D * D
Daraus folgt doch A=I*D=D.
Kommt mit allerdings etwas komisch vor.
Ich nehme mal an ich soll dann das in die Formel für B und C einsetzen.
Was muss dann dabei rauskommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Di 11.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok ich muss also nicht explizit B und C ausrechnen.
>
> Du sagst A=D^(-1)* D * D
Nein. Angela hat geschrieben:
$ A= [mm] D^{-1}\cdot{}Diagonalmatrix\cdot{}D [/mm] $
Die Diagonalmatrix ist nicht Dein D !
FRED
> Daraus folgt doch A=I*D=D.
> Kommt mit allerdings etwas komisch vor.
>
> Ich nehme mal an ich soll dann das in die Formel für B und
> C einsetzen.
> Was muss dann dabei rauskommen?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Di 11.01.2011 | | Autor: | Sup |
Hmm ok.
Ich nenne mal die Diagonalmatrix D und das D von oben T damit übersichtlicher ist.
Dann habe ich für B da stehen:
B= [mm] (T^{-1}*D*T)^3 [/mm] + [mm] 3*(T^{-1}*D*T)^2 [/mm] - 4*(T^(-1)*D*T)
Wie löse ich das denn auf?
Und woran erkenne ich ob B und C invertierbar sind. Sprich wie muss das Ergebnis aussehen?
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> Hmm ok.
> Ich nenne mal die Diagonalmatrix D und das D von oben T
> damit übersichtlicher ist.
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> Dann habe ich für B da stehen:
> B= [mm](T^{-1}*D*T)^3[/mm] + [mm]3*(T^{-1}*D*T)^2[/mm] - 4*(T^(-1)*D*T)
>
> Wie löse ich das denn auf?
Hallo,
überleg Dir mal, was [mm] (T^{-1}*D*T)^n [/mm] ist.
Überleg Dir dann, was das Ergebnis ist, wenn man eine Diagonalmatrix "hoch n" nimmt.
Überleg Dir weiter, daß [mm] T^{-1}*D_1*T+T^{-1}*D_2*T+T^{-1}*D_3*T [/mm] dasselbe ist wie [mm] T^{-1}(D_1+D_2+D_3)T.
[/mm]
Bringe mit diesen Überlegungen B in die Form [mm] T^{-1}*Diagonalmatrix*T.
[/mm]
Wenn Du so weit bist, können wir uns über Invertierbarkeit unterhalten.
Gruß v. Angela
> Und woran erkenne ich ob B und C invertierbar sind. Sprich
> wie muss das Ergebnis aussehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Di 11.01.2011 | | Autor: | Sup |
Ok habe dann am Ende:
B= T^(-1)* [mm] (D^3+3*D^2-4*D)*T
[/mm]
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Hallo Sup,
> Ok habe dann am Ende:
>
> [mm]B= T^{-1}* [/mm][mm](D^3+3*D^2-4*D)*T[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Di 11.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Mit der folgenden Argumentation wird die Lösung sehr einfach. Ich weiß allerdings nicht ob Ihr das hattet.
Die Matrizen B und C sind Polynome in A.
Allgemein gilt: ist p ein Polynom und S:=p(A), so hat man:
S ist singuär
[mm] \gdw [/mm]
0 ist Eigenwert von S
[mm] \gdw [/mm]
es ex. ein Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A mit [mm] p(\lambda)=0.
[/mm]
Somit:
S ist regulär [mm] \gdw p(\lambda) \ne [/mm] 0 für jeden Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Di 11.01.2011 | | Autor: | Sup |
Kann sein dass wir das hatten, bin mir da aber nicht sicher. Müsste ich zu Hause nochmal schaun.
Wenn man mein Ergenis für B nimmt, dann kommt ja raus, das B ebenfalls Diagonalisierbar ist. Und da die Werte der Diagonalmatrix keine 0 beinhaltet, ist sie invertierbar, also regulär.
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> Wenn man mein Ergenis für B nimmt dann kommt ja raus, das
> B ebenfalls Diagonalisierbar ist. Und da die Werte der
> Diagonalmatrix keine 0 beinhaltet, ist sie invertierbar,
> also regulär.
Hallo,
ja, genau.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Di 11.01.2011 | | Autor: | Sup |
Gut, dann bedanke ich mich nochmal bei allen.
Habt mir echt weitergeholfen
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