www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte und Diagonalmatrix
Eigenwerte und Diagonalmatrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwerte und Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 So 09.01.2011
Autor: Sup

Aufgabe
Es sei [mm] A=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0} [/mm]
a) Bestimmen Sie das charakertistische Polynom
b)Bestimmen sie Eigenwerte und Eigenvektoren
c) Ist A diagonalähnlich? Falls ja, geben sie eine Diagonalmatrix D und eine Matrix T an, so dass T^(-1)*A*T=D gilt.

Hallo,
ich habe ein kleines Problem mit der Aufgabe bzw. bin mir recht unsicher.

a) war eigentlich kein Problem. Habe folgendes rausbekommen: [mm] det(\lambda*I-A)= \lambda^4-1 [/mm] = 0

b) dann habe ich ich als Eigenwerte:
[mm] \lambda1= [/mm] 1
[mm] \lambda2= [/mm] -1
[mm] \lambda3= [/mm] i
[mm] \lambda4= [/mm] -i

und als entsprechende Eigenvektoren:
[mm] v1=\vektor{-1 \\ -1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ,  v2= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] v3=\vektor{-i \\ i \\ 1 \\ -1} [/mm] , v4= [mm] \vektor{i \\ -i \\ 1 \\ -1} [/mm]

Ich hoffe mal das stimmt soweit.

c) Hier bin ich mir jetzt nicht mehr so sicher.
T ist doch die Matrix die aus den Eigenvektoren zusammengesetzts ist?
Also T=(v1/v2/v3/v4).
T^(-1)*A*T=D kann man unformen zu AT=TD
D ist für mich die Diagonalmatix mit den Eigenwerten.

Wenn AT und TD ausrechne kommen unterschiedliche Sachen raus, also ist A nicht Diagonalähnlich?


        
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 So 09.01.2011
Autor: MathePower

Hallo Sup,

> Es sei [mm]A=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>  
> a) Bestimmen Sie das charakertistische Polynom
>  b)Bestimmen sie Eigenwerte und Eigenvektoren
>  c) Ist A diagonalähnlich? Falls ja, geben sie eine
> Diagonalmatrix D und eine Matrix T an, so dass T^(-1)*A*T=D
> gilt.
>  Hallo,
>  ich habe ein kleines Problem mit der Aufgabe bzw. bin mir
> recht unsicher.
>  
> a) war eigentlich kein Problem. Habe folgendes
> rausbekommen: [mm]det(\lambda*I-A)= \lambda^4-1[/mm] = 0
>  
> b) dann habe ich ich als Eigenwerte:
>  [mm]\lambda1=[/mm] 1
>  [mm]\lambda2=[/mm] -1
>  [mm]\lambda3=[/mm] i
>  [mm]\lambda4=[/mm] -i
>  
> und als entsprechende Eigenvektoren:
>  [mm]v1=\vektor{-1 \\ -1 \\ 1 \\ 1}[/mm] ,  v2= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> , [mm]v3=\vektor{-i \\ i \\ 1 \\ -1}[/mm] , v4= [mm]\vektor{i \\ -i \\ 1 \\ -1}[/mm]
>  
> Ich hoffe mal das stimmt soweit.


Ja, das stimmt soweit.


>  
> c) Hier bin ich mir jetzt nicht mehr so sicher.
>  T ist doch die Matrix die aus den Eigenvektoren
> zusammengesetzts ist?
>  Also T=(v1/v2/v3/v4).
>  T^(-1)*A*T=D kann man unformen zu AT=TD
>  D ist für mich die Diagonalmatix mit den Eigenwerten.
>  
> Wenn AT und TD ausrechne kommen unterschiedliche Sachen
> raus, also ist A nicht Diagonalähnlich?
>  


Die Matrizenprodukte AT und TD müssen gleich sein.

Ergo, poste die Diagonalmatrix D.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 So 09.01.2011
Autor: Sup

Ok wenn ich dass dann weiterrechne und auflöse bekomme ich die Einheitsmatrix als Diagonalmatrix raus.
Also
D= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 So 09.01.2011
Autor: MathePower

Hallo  Sup,

> Ok wenn ich dass dann weiterrechne und auflöse bekomme ich
> die Einheitsmatrix als Diagonalmatrix raus.
>  Also
> D= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>  


Die Diagonalmatrix muss so aussehen:

D= [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i }[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:45 So 09.01.2011
Autor: Sup

Hast recht hab nen zahlendreher drin gehabt.

Danke für die Hilfe

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 So 09.01.2011
Autor: Sup

Aufgabe
Es sei [mm] A=\pmat{ 3 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 3 } [/mm]
a) Besteimmen sie den Kern A
b)Bestimmen sie das char. Polynom
c)Berechnen sie die eigenwerte von A
d)Bestimmen Sie zu den Eigenwerten jeweils eine Basis des durch die zugehörigen Eigenvektoren aufgespannten Raumes

Hm hab bei einer Aufgabe nochmal eine Frage

Erstmal die "Routine"
a) Kern A = 0
b) [mm] P_{A} (\lambda) [/mm] = [mm] (\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-6) [/mm]
c) Also sind die Eigenmwerte [mm] \lambda1=2, \lambda2=2, \lambda3=2, \lambda4=6 [/mm]

d)so für [mm] \lambda4=6 [/mm] habe ich den Eigenvektor v4= [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 1} [/mm]

wenn ich [mm] \lambda1=2 [/mm] einseitze kann ich durch Zeilenumformung 3 Zeilen der Matrix durch Nullen darstellen.
Sieht bei mir dann so aus
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]

Dann ahbe ich die Gleichung:
-a+b+c-d=0 da stehen

Wie löse ich das denn auf?
Und wie bestimme ich eine Basis des durch die Eigenvektoren aufgespannten Raumes (-> Eigenraum)?


Bezug
                                                
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 So 09.01.2011
Autor: angela.h.b.


> Es sei [mm]A=\pmat{ 3 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 3 }[/mm]
>  
> a) Besteimmen sie den Kern A
>  b)Bestimmen sie das char. Polynom
>  c)Berechnen sie die eigenwerte von A
>  d)Bestimmen Sie zu den Eigenwerten jeweils eine Basis des
> durch die zugehörigen Eigenvektoren aufgespannten Raumes
>  Hm hab bei einer Aufgabe nochmal eine Frage
>  
> Erstmal die "Routine"
>  a) Kern A = 0
>  b) [mm]P_{A} (\lambda)[/mm] =
> [mm](\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-6)[/mm]
>  c) Also sind die Eigenmwerte [mm]\lambda1=2, \lambda2=2, \lambda3=2, \lambda4=6[/mm]
>  
> d)so für [mm]\lambda4=6[/mm] habe ich den Eigenvektor v4= [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 1}[/mm]

Hallo,

alles ist richtig bisher.

>  
> wenn ich [mm]\lambda1=2[/mm] einseitze kann ich durch
> Zeilenumformung 3 Zeilen der Matrix durch Nullen
> darstellen.
>  Sieht bei mir dann so aus
>  [mm]\pmat{ -1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>  
> Dann ahbe ich die Gleichung:
>  -a+b+c-d=0 da stehen

Du weißt jetzt: alle Vektoren [mm] \vektor{a\\b\\c\\d}, [/mm] für welche -a+b+c-d=0 gilt, lösen das System.

Es ist also, falls es sich um eine Lösung handelt,  a=b+c-d.

Also lösen alle Vektoren der Machart  

[mm] \vektor{a\\b\\c\\d}=\vektor{b+c-d\\b\\c\\d}=b*\vektor{1\\1\\0\\0}+ c*\vektor{1\\0\\1\\d} [/mm] + [mm] d*\vektor{-1\\0\\0\\1} [/mm] das System.

Die drei Vektoren [mm] \vektor{1\\1\\0\\0}, \vektor{1\\0\\1\\d}, \vektor{-1\\0\\0\\1} [/mm] bilden zusammen eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 2.

Gruß v. Angela




Bezug
                                                        
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 So 09.01.2011
Autor: Sup


> Die drei Vektoren [mm]\vektor{1\\1\\0\\0}, \vektor{1\\0\\1\\d}, \vektor{-1\\0\\0\\1}[/mm]
> bilden zusammen eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert
> 6.
>  
> Gruß v. Angela

Danke erstmal habe soweit alles verstanden bis auf eins:

Waruim bilden die 3 Vektoren eine Basis zum Eigenwert 6 und nicht 2?

Bezug
                                                                
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 So 09.01.2011
Autor: angela.h.b.


> > Die drei Vektoren [mm]\vektor{1\\ 1\\ 0\\ 0}, \vektor{1\\ 0\\ 1\\ d}, \vektor{-1\\ 0\\ 0\\ 1}[/mm]
> > bilden zusammen eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert
> > 6.
>  >  
> > Gruß v. Angela
>  
> Danke erstmal habe soweit alles verstanden bis auf eins:
>  
> Waruim bilden die 3 Vektoren eine Basis zum Eigenwert 6 und
> nicht 2?

Hallo,

sie bilden eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 2, ich hatte das durcheinandergebracht.

Gruß v. Angela



Bezug
                                                                        
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Mo 10.01.2011
Autor: Sup

Aufgabe
Es sei A [mm] \in \IR^{3x3} [/mm] eine Matrix mit dem eigenwerten 3, 4i, -4i. sind die Matrizen B= [mm] A^3+3A^2-4A [/mm] , [mm] C=A^4-8A^2-9I [/mm] , B,C [mm] \in \IR^{3x3}, [/mm] regulär?
(I ist die 3x3 Einheitsmartix)

Langsam wirds irgendwie peinlich, aber ich hab nochn Problem.

Wie komme ich denn von den Eigenwerten von A auf die Matrix bzw. wie sollte ich das sonst ausrechnen?

Eine Matrix ist regulär, wenn sie invertierbar ist. Wie kann man das denn am besten Beweisen oder kann man das direkt irgendwie erkennen?

Gruß
Sup

Bezug
                                                                                
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:02 Di 11.01.2011
Autor: angela.h.b.


> Es sei A [mm]\in \IR^{3x3}[/mm] eine Matrix mit dem eigenwerten 3,
> 4i, -4i. sind die Matrizen B= [mm]A^3+3A^2-4A[/mm] , [mm]C=A^4-8A^2-9I[/mm] ,
> B,C [mm]\in \IR^{3x3},[/mm] regulär?
>  (I ist die 3x3 Einheitsmartix)
>  Langsam wirds irgendwie peinlich, aber ich hab nochn
> Problem.
>  
> Wie komme ich denn von den Eigenwerten von A auf die Matrix
> bzw. wie sollte ich das sonst ausrechnen?

Hallo,

die Matrix A hat drei verschiedene Eigenwerte.
Sie ist also diagonalisierbar, dh. es gibt eine invertierbare Matrix D mit

[mm] A=D^{-1}*\pmat{3&0&0\\0&4i&0\\0&0&-4i}*D. [/mm]

Mithilfe dieser Erkenntnis kannst Du die Matrizen B und C schreiben als
[mm] D^{-1}*Diagonalmatrix*D [/mm]
und leicht entscheiden, ob sie invertierbar sind oder nicht.

Die matrix D braucht man hier nicht zu kennen. Da Wissen, daß es eine invertierbare Matrix ist, reicht.

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                                        
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:45 Di 11.01.2011
Autor: Sup

Ok ich muss also nicht explizit B und C ausrechnen.

Du sagst A=D^(-1)* D * D
Daraus folgt doch A=I*D=D.
Kommt mit allerdings etwas komisch vor.

Ich nehme mal an ich soll dann das in die Formel für B und C einsetzen.
Was muss dann dabei rauskommen?


Bezug
                                                                                                
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:53 Di 11.01.2011
Autor: fred97


> Ok ich muss also nicht explizit B und C ausrechnen.
>  
> Du sagst A=D^(-1)* D * D



Nein. Angela hat geschrieben:


$ A= [mm] D^{-1}\cdot{}Diagonalmatrix\cdot{}D [/mm] $

Die Diagonalmatrix ist nicht Dein D !

FRED

> Daraus folgt doch A=I*D=D.
>  Kommt mit allerdings etwas komisch vor.
>  
> Ich nehme mal an ich soll dann das in die Formel für B und
> C einsetzen.
>  Was muss dann dabei rauskommen?
>  


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:05 Di 11.01.2011
Autor: Sup

Hmm ok.
Ich nenne mal die Diagonalmatrix D und das D von oben T damit übersichtlicher ist.

Dann habe ich für B da stehen:
B= [mm] (T^{-1}*D*T)^3 [/mm] + [mm] 3*(T^{-1}*D*T)^2 [/mm] - 4*(T^(-1)*D*T)

Wie löse ich das denn auf?
Und woran erkenne ich ob B und C invertierbar sind. Sprich wie muss das Ergebnis aussehen?

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:14 Di 11.01.2011
Autor: angela.h.b.


> Hmm ok.
>  Ich nenne mal die Diagonalmatrix D und das D von oben T
> damit übersichtlicher ist.
>  
> Dann habe ich für B da stehen:
>  B= [mm](T^{-1}*D*T)^3[/mm] + [mm]3*(T^{-1}*D*T)^2[/mm] - 4*(T^(-1)*D*T)
>  
> Wie löse ich das denn auf?

Hallo,

überleg Dir mal, was [mm] (T^{-1}*D*T)^n [/mm] ist.

Überleg Dir dann, was das Ergebnis ist, wenn man eine Diagonalmatrix "hoch n" nimmt.

Überleg Dir weiter, daß [mm] T^{-1}*D_1*T+T^{-1}*D_2*T+T^{-1}*D_3*T [/mm] dasselbe ist wie [mm] T^{-1}(D_1+D_2+D_3)T. [/mm]

Bringe mit diesen Überlegungen B in die Form [mm] T^{-1}*Diagonalmatrix*T. [/mm]
Wenn Du so weit bist, können wir uns über Invertierbarkeit unterhalten.

Gruß v. Angela


>  Und woran erkenne ich ob B und C invertierbar sind. Sprich
> wie muss das Ergebnis aussehen?


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:37 Di 11.01.2011
Autor: Sup

Ok habe dann am Ende:

B= T^(-1)* [mm] (D^3+3*D^2-4*D)*T [/mm]


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:16 Di 11.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Sup,


> Ok habe dann am Ende:
>
> [mm]B= T^{-1}* [/mm][mm](D^3+3*D^2-4*D)*T[/mm]

[ok]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Di 11.01.2011
Autor: fred97

Mit der folgenden Argumentation wird die Lösung sehr einfach. Ich weiß allerdings nicht ob Ihr das hattet.

Die Matrizen B und C sind Polynome in A.

Allgemein gilt:  ist p ein Polynom und S:=p(A), so hat man:

       S ist singuär  

       [mm] \gdw [/mm]  

       0 ist Eigenwert von S    

       [mm] \gdw [/mm]  

       es ex. ein Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A mit  [mm] p(\lambda)=0. [/mm]

Somit:

      S ist regulär  [mm] \gdw p(\lambda) \ne [/mm] 0  für jeden Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A


FRED

Bezug
                                                                                        
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:17 Di 11.01.2011
Autor: Sup

Kann sein dass wir das hatten, bin mir da aber nicht sicher. Müsste ich zu Hause nochmal schaun.

Wenn man mein Ergenis für B nimmt, dann kommt ja raus, das B ebenfalls Diagonalisierbar ist. Und da die Werte der Diagonalmatrix keine 0 beinhaltet, ist sie invertierbar, also regulär.

Bezug
                                                                                                
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:30 Di 11.01.2011
Autor: angela.h.b.


> Wenn man mein Ergenis für B nimmt dann kommt ja raus, das
> B ebenfalls Diagonalisierbar ist. Und da die Werte der
> Diagonalmatrix keine 0 beinhaltet, ist sie invertierbar,
> also regulär.

Hallo,

ja, genau.

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte und Diagonalmatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:49 Di 11.01.2011
Autor: Sup

Gut, dann bedanke ich mich nochmal bei allen.
Habt mir echt weitergeholfen

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de