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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Mo 14.11.2005 | | Autor: | bravo |
Hey,
eine unserer aufgaben bestand darin, die eigenwerte der matrizen
[mm] \pmat{-3 & 1 & -3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 6 & 1 & 6 } [/mm] und [mm] \pmat{3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 3 } [/mm] und die dazugehörigen eigenräume zu bestimmen.
Habe mich bisher nur mit der ersten matrix beschäftigt. Dort habe ich als eigenwerte [mm] \mu_{1} [/mm] = -1 und [mm] \mu_{2} [/mm] = 3 erhalten. Für die eigenräume habe ich die eigenvektoren [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-2,5 \\ 1 \\ 2 } [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] erhalten. Die Frage ist nun wie ich das mit den Eigenräumen aufschreibe. Gehe davon aus, dass der hier dazugehörige eigenraum einfach das erzeugnis von [mm] v_{1} [/mm] und v'_{2} ist. Im fischer steht zum eigenraum aber eine andere schreibweise...Bin mir daher nicht ganz sicher.
Bin dankbar für die richtige schreibweise. Wenn jemand lust hat kann er auch zur kontrolle die eigenwerte oder eigenvektoren berechnen.
Grüsse, Sebastian Bravo Lutz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 14.11.2005 | | Autor: | BennoO. |
hi.
also einen eigenraum schreibt man im allg. so auf: Gegeben ein k.V.R V, F aus End(V), [mm] \lambda [/mm] aus K.
[mm] Eig(F,\lambda):={v aus V| F(u)= \lambda v} [/mm] heißt eigenraum von F bezgl. [mm] \lambda.
[/mm]
Also in deinem bespiel so:
Eig(A,-1)=< [mm] \vektor{-2,5\\ 1 \\ 2}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 2} [/mm] >
die "<>" bedeuten, das die angegebenen vektoren ein erzeugniss aind, also den eigenraum zum eigenwert [mm] \lambda=-1, [/mm] aufspannen.
viele grüße benno
P.S deine werte nachzurechnen hatte ich jetzt keinen bock mehr, sorry 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Di 15.11.2005 | | Autor: | BennoO. |
hey.
ja, das siehst du ganz richtig. wenn deine eigenwerte stimmen, dann erhälst du für [mm] \lambda_1= [/mm] -1 und für [mm] \lambda_3 [/mm] = -1 zwei lin. abhängige vektoren. das heißt, wenn der eigenvektor zum eigenwert [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_3 [/mm] lin. unabhängig zum eigenvektor des eigenwertes [mm] \lambda_2 [/mm] ist, wird dein eigenraum nur von zwei vektoren aufgespannt. das würde bedeuten, das deine matrix nicht diagonalisierbar ist. (das nur so am rande, weiß ja nicht genau, ob ihr das schon besprochen habt)
viele grüße benno
P.S ich werde deine eigenwerte heute abend mal kontrollieren.
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