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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte und Eigenvektor
Eigenwerte und Eigenvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwerte und Eigenvektor: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 Mo 07.10.2013
Autor: ellegance88

Aufgabe
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A=

[mm] \begin{pmatrix} cos(phi) & sin(phi) \\ sin(phi) & -cos(phi) \end{pmatrix} [/mm]

in Abhängigkeit der reellen Zahl Phi

Servus,

Habe als erstes das chra. Polynom gebildet.

[mm] \Lambda^2-1=0 [/mm]

dann ist [mm] \Lambda [/mm] = +-1

das sind gleichzeitig auch die Eigenwerte, also einmal -1 und einmal +1.

Mein Problem falls es bis hierhin richtig war, sind die Eigenvektoren bei dieser Aufgabe.

der zu einem Eigenwert [mm] \Lambda_i [/mm] gehörende Eigenvektor [mm] x_i [/mm] ist die Lösung der Gleichung [mm] (A-\Lambda_iE)x_i=0 [/mm]

[mm] \begin{pmatrix} cos(phi) & sin(phi) \\ sin(phi) & -cos(phi) \end{pmatrix} -1\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] = 0

das wäre doch

[mm] \begin{pmatrix} cos(phi)-1 & sin(phi) |0\\ sin(phi) & -cos(phi)-1|0 \end{pmatrix} [/mm]

komme halt hier nicht weiter, gehe mal von aus das schon vorher was falsch ist.

MfG

ellegance88

        
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Eigenwerte und Eigenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 Mo 07.10.2013
Autor: Diophant

Hallo,

kurz und knapp: bis hierher ist alles richtig. [ok]


Gruß, Diophant

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Eigenwerte und Eigenvektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Di 08.10.2013
Autor: ellegance88

ok, wenn ich darauf dass Gaußverfahren anwende bekomme ich

[mm] \begin{pmatrix} (cos(phi)-1)sin(phi) & sin^2(phi)|0 \\ 0 & -cos^2(phi)+1 |0 \end{pmatrix} [/mm]

ich habe die erste Gleichung mal sin(phi) genommen die zweite Gleichung mal cos(phi)-1 dann anschließend die zweite Gleichung minus die erste Gleichung.

LG

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Bezug
Eigenwerte und Eigenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Di 08.10.2013
Autor: MathePower

Hallo ellegance88,

> ok, wenn ich darauf dass Gaußverfahren anwende bekomme
> ich
>  
> [mm]\begin{pmatrix} (cos(phi)-1)sin(phi) & sin^2(phi)|0 \\ 0 & -cos^2(phi)+1 |0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> ich habe die erste Gleichung mal sin(phi) genommen die
> zweite Gleichung mal cos(phi)-1 dann anschließend die
> zweite Gleichung minus die erste Gleichung.
>  


Nach Anwendung des Gaußverfahrens muß die
zweite Zeile eine Nullzeile sein, sonst gäbe es
keinen Eigenvektor.


> LG



Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte und Eigenvektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Di 08.10.2013
Autor: ellegance88

mit welcher Rechenoperation komme ich denn auf die Nullzeile?
oder war der Ansatz von mir richtig dass ich die erste Zeile mal sin(phi) genommen habe bzw die zweite mit cos(phi)-1 und habe es nur falsch ausgerechnet?

LG

Bezug
                                        
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Eigenwerte und Eigenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Di 08.10.2013
Autor: MathePower

Hallo ellegance88,

> mit welcher Rechenoperation komme ich denn auf die
> Nullzeile?
>  oder war der Ansatz von mir richtig dass ich die erste
> Zeile mal sin(phi) genommen habe bzw die zweite mit
> cos(phi)-1 und habe es nur falsch ausgerechnet?
>  


Der Ansatz von Dir ist richtig.
Demnach hat wohl bei der Berechnung
der Fehlerteufel zugeschlagen.


> LG


Gruss
MathePower

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Eigenwerte und Eigenvektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Di 08.10.2013
Autor: ellegance88

[mm] \begin{pmatrix} -sin(phi)+cos(phi) & -sin(phi)cos(phi)-sin(phi) |0 \\ 0 & 0 | 0 \end{pmatrix} [/mm]

falls es nun richtig ist, wie erkenne ich denn die eigenvektoren?
und meine zweite frage muss es immer eine Nullzeile geben sprich linear Abhängig sein damit ich die Eigenvektoren bestimmen kann?

LG

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Bezug
Eigenwerte und Eigenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 Mi 09.10.2013
Autor: leduart

Hallo
setze x1 =r beliebig, daraus dann y2 oder umgekehrt.
merke : zu hedem _EV sind auch alle Vielfache desselben EW  aus Ax=x folgt A*rx=rx
Gruss leduart

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