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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A=
[mm] \begin{pmatrix}
cos(phi) & sin(phi) \\
sin(phi) & -cos(phi)
\end{pmatrix}
[/mm]
in Abhängigkeit der reellen Zahl Phi |
Servus,
Habe als erstes das chra. Polynom gebildet.
[mm] \Lambda^2-1=0
[/mm]
dann ist [mm] \Lambda [/mm] = +-1
das sind gleichzeitig auch die Eigenwerte, also einmal -1 und einmal +1.
Mein Problem falls es bis hierhin richtig war, sind die Eigenvektoren bei dieser Aufgabe.
der zu einem Eigenwert [mm] \Lambda_i [/mm] gehörende Eigenvektor [mm] x_i [/mm] ist die Lösung der Gleichung [mm] (A-\Lambda_iE)x_i=0
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
cos(phi) & sin(phi) \\
sin(phi) & -cos(phi)
\end{pmatrix} -1\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] = 0
das wäre doch
[mm] \begin{pmatrix}
cos(phi)-1 & sin(phi) |0\\
sin(phi) & -cos(phi)-1|0
\end{pmatrix}
[/mm]
komme halt hier nicht weiter, gehe mal von aus das schon vorher was falsch ist.
MfG
ellegance88
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Hallo,
kurz und knapp: bis hierher ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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ok, wenn ich darauf dass Gaußverfahren anwende bekomme ich
[mm] \begin{pmatrix}
(cos(phi)-1)sin(phi) & sin^2(phi)|0 \\
0 & -cos^2(phi)+1 |0
\end{pmatrix}
[/mm]
ich habe die erste Gleichung mal sin(phi) genommen die zweite Gleichung mal cos(phi)-1 dann anschließend die zweite Gleichung minus die erste Gleichung.
LG
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Hallo ellegance88,
> ok, wenn ich darauf dass Gaußverfahren anwende bekomme
> ich
>
> [mm]\begin{pmatrix}
(cos(phi)-1)sin(phi) & sin^2(phi)|0 \\
0 & -cos^2(phi)+1 |0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> ich habe die erste Gleichung mal sin(phi) genommen die
> zweite Gleichung mal cos(phi)-1 dann anschließend die
> zweite Gleichung minus die erste Gleichung.
>
Nach Anwendung des Gaußverfahrens muß die
zweite Zeile eine Nullzeile sein, sonst gäbe es
keinen Eigenvektor.
> LG
Gruss
MathePower
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mit welcher Rechenoperation komme ich denn auf die Nullzeile?
oder war der Ansatz von mir richtig dass ich die erste Zeile mal sin(phi) genommen habe bzw die zweite mit cos(phi)-1 und habe es nur falsch ausgerechnet?
LG
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Hallo ellegance88,
> mit welcher Rechenoperation komme ich denn auf die
> Nullzeile?
> oder war der Ansatz von mir richtig dass ich die erste
> Zeile mal sin(phi) genommen habe bzw die zweite mit
> cos(phi)-1 und habe es nur falsch ausgerechnet?
>
Der Ansatz von Dir ist richtig.
Demnach hat wohl bei der Berechnung
der Fehlerteufel zugeschlagen.
> LG
Gruss
MathePower
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[mm] \begin{pmatrix}
-sin(phi)+cos(phi) & -sin(phi)cos(phi)-sin(phi) |0 \\
0 & 0 | 0
\end{pmatrix}
[/mm]
falls es nun richtig ist, wie erkenne ich denn die eigenvektoren?
und meine zweite frage muss es immer eine Nullzeile geben sprich linear Abhängig sein damit ich die Eigenvektoren bestimmen kann?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Mi 09.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
setze x1 =r beliebig, daraus dann y2 oder umgekehrt.
merke : zu hedem _EV sind auch alle Vielfache desselben EW aus Ax=x folgt A*rx=rx
Gruss leduart
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