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Hallo,
bei mir im Skript steht folgender Satz über die Existenz von Eigenvektoren:
Zu einer Matrix A [mm] \in M_n_n(K) [/mm] gibt es genau dann einen Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda, [/mm] wenn [mm] \lambda [/mm] Nullstelle des charakteristischen Polynoms [mm] \chi_A [/mm] ist.
Jetzt meine Frage dazu:
Bedeutet das mit anderen Worten, dass es immer wenn eine Matrix einen Eigenwert besitzt es dazu auch Eigenvektoren gibt. Da ja Eigenwerte Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind???
Und das eine Matrix nur dann keine Eigenvektoren hat, wenn sie auch keine Eigenwerte besitzt??
Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!!
Viele Grüße, S.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Di 24.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Zu einer Matrix A [mm]\in M_n_n(K)[/mm] gibt es genau dann einen
> Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda,[/mm] wenn [mm]\lambda[/mm] Nullstelle
> des charakteristischen Polynoms [mm]\chi_A[/mm] ist.
>
> Jetzt meine Frage dazu:
>
> Bedeutet das mit anderen Worten, dass es immer wenn eine
> Matrix einen Eigenwert besitzt es dazu auch Eigenvektoren
> gibt. Da ja Eigenwerte Nullstellen des charakteristischen
> Polynoms sind???
ja.
> Und das eine Matrix nur dann keine Eigenvektoren hat, wenn
> sie auch keine Eigenwerte besitzt??
ja.
> Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!!
wenn's weiter nichts war...
Zu einem einzigen Eigenwert kann es maximal so viele linear unabhängige Eigenvektoren geben, wie die Vielfachheit der Nullstelle im char. Polynom. Man nennt die auch "algebraische Vielfachheit". Die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zu diesem Eigenwert (und damit die Dimension des sog. Eigenraums) nennt man geometrische Vielfachheit.
> Viele Grüße, S.
LG
Will
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Vielen Dank nochmal und viele Grüße!!
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