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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte und Matrix
Eigenwerte und Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwerte und Matrix: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:53 Mi 20.06.2018
Autor: sancho1980

Aufgabe
Sei A = [mm] (a_{jk}) [/mm] eine beliebige (2,2)-Matrix mit Eigenwerten [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2}. [/mm] Zeigen Sie: [mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] =  [mm] \lambda_{1} [/mm] +  [mm] \lambda_{2} [/mm] und [mm] (a_{11} [/mm] - [mm] a_{22})^2 [/mm] + 4 [mm] a_{12}a_{21} [/mm] = [mm] (\lambda_{1} [/mm] - [mm] \lambda_{2})^2 [/mm]

Hallo

versuche mich an obiger Aufgabe.
Den ersten Teil habe ich soweit fertig. Bin mir aber nicht sicher, ob das so zulässig ist:

[mm] (a_{11} [/mm] -  [mm] \lambda)(a_{22} [/mm] -  [mm] \lambda) [/mm] - [mm] a_{12}a_{21} [/mm] = [mm] (\lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda) (\lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda) [/mm]
[mm] \lambda [/mm] - [mm] (a_{11} [/mm] + [mm] a_{22}) [/mm] + [mm] \bruch{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}}{\lambda} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] - [mm] (\lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}) [/mm] + [mm] \bruch{\lambda_{1} \lambda_{2}}{\lambda} [/mm]
[mm] (a_{11} [/mm] + [mm] a_{22}) [/mm] - 0 = [mm] (\lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}) [/mm] - 0

Beim zweiten Teil der Aufgabe weiß ich leider nicht so richtig, wie ich auf die gewünschte Form komme! Kann mir einer weiterhelfen?

Gruß und Danke,

Martin

        
Bezug
Eigenwerte und Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 Do 21.06.2018
Autor: fred97


> Sei A = [mm](a_{jk})[/mm] eine beliebige (2,2)-Matrix mit
> Eigenwerten [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2}.[/mm] Zeigen Sie: [mm]a_{11}[/mm] +
> [mm]a_{22}[/mm] =  [mm]\lambda_{1}[/mm] +  [mm]\lambda_{2}[/mm] und [mm](a_{11}[/mm] -
> [mm]a_{22})^2[/mm] + 4 [mm]a_{12}a_{21}[/mm] = [mm](\lambda_{1}[/mm] - [mm]\lambda_{2})^2[/mm]
>  Hallo
>  
> versuche mich an obiger Aufgabe.
>  Den ersten Teil habe ich soweit fertig. Bin mir aber nicht
> sicher, ob das so zulässig ist:
>  
> [mm](a_{11}[/mm] -  [mm]\lambda)(a_{22}[/mm] -  [mm]\lambda)[/mm] - [mm]a_{12}a_{21}[/mm] =
> [mm](\lambda_1[/mm] - [mm]\lambda) (\lambda_2[/mm] - [mm]\lambda)[/mm]
>  [mm]\lambda[/mm] - [mm](a_{11}[/mm] + [mm]a_{22})[/mm] + [mm]\bruch{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}}{\lambda}[/mm]
> = [mm]\lambda[/mm] - [mm](\lambda_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2})[/mm] +
> [mm]\bruch{\lambda_{1} \lambda_{2}}{\lambda}[/mm]

Das ist ein großes Durcheinander mit [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda. [/mm] Für mich ist das nicht so richtig nachvollziehbar. Desweiteren teilst Du durch [mm] \lambda [/mm] , das geht nur wenn es  [mm] \ne [/mm] 0 ist.


> - 0 = [mm](\lambda_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2})[/mm] - 0
>  
> Beim zweiten Teil der Aufgabe weiß ich leider nicht so
> richtig, wie ich auf die gewünschte Form komme! Kann mir
> einer weiterhelfen?
>  
> Gruß und Danke,
>  
> Martin


Sei [mm] $p(\lambda)=\lambda^2 [/mm] +a [mm] \lambda [/mm] +b$  das char Polynom von A.

Dann ist (zeige dies !)

[mm] a=-(a_{11}+a_{22}) [/mm] und [mm] b=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} [/mm] = [mm] \det(A). [/mm]


Nun bemühe die Auflösungsformel für quadratische Gleichungen. Damit bekommst Du locker

$ [mm] a_{11} [/mm]  +  [mm] a_{22} [/mm]  =  [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] $

Die zweite Gleichung bekommst Du ebenso mit dieser Auflösungsformel:

Berechne [mm] \lambda_1- \lambda_2, [/mm] quadriere und rechne !

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte und Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:21 Fr 22.06.2018
Autor: sancho1980

Danke! Da hab ich es mir ja unnötig schwer gemacht...
Aber zur Erklärung meiner Rechnung: Ich habe das charakteristische Polynom auf der einen Seite als Determinante von A - [mm] \lambda [/mm] I angeschrieben und auf der anderen Seite als [mm] (\lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda) (\lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda). [/mm] Dann auf beiden Seiten durch [mm] \lambda [/mm] geteilt und [mm] {\lambda}^2 [/mm] subtrahiert. Da auf auf beiden Seiten [mm] \bruch{c}{\lambda} [/mm] Nullfolgen sind, gilt [mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] = [mm] {\lambda}_{1} [/mm] + [mm] {\lambda}_{2} [/mm]
Ergibt das für dich Sinn?

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte und Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Fr 22.06.2018
Autor: fred97


> Danke! Da hab ich es mir ja unnötig schwer gemacht...
>  Aber zur Erklärung meiner Rechnung: Ich habe das
> charakteristische Polynom auf der einen Seite als
> Determinante von A - [mm]\lambda[/mm] I angeschrieben und auf der
> anderen Seite als [mm](\lambda_1[/mm] - [mm]\lambda) (\lambda_2[/mm] -
> [mm]\lambda).[/mm] Dann auf beiden Seiten durch [mm]\lambda[/mm] geteilt und
> [mm]{\lambda}^2[/mm] subtrahiert. Da auf auf beiden Seiten
> [mm]\bruch{c}{\lambda}[/mm] Nullfolgen sind, gilt [mm]a_{11}[/mm] + [mm]a_{22}[/mm] =
> [mm]{\lambda}_{1}[/mm] + [mm]{\lambda}_{2}[/mm]
>  Ergibt das für dich Sinn?

Nein ! Teilen durch [mm] \lanbda [/mm] geht nur wenn [mm] \lambda \ne [/mm] 0 ist.

Was meinst Du denn mit " [mm]\bruch{c}{\lambda}[/mm] Nullfolge" ????


Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte und Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Fr 22.06.2018
Autor: sancho1980

Nullfolge war vielleicht der falsche Begriff.
Was ich sagen will: Das charakteristische Polynom einer Matrix ist letzten Endes doch eine Funktion [mm] f(\lambda). [/mm] Ich kann dieses Polynom einerseits anschreiben als

[mm] (a_{11} [/mm] - [mm] \lambda)(a_{22} [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] - [mm] a_{12} a_{21} [/mm]

und andererseits als

[mm] ({\lambda}_1 [/mm] - [mm] \lambda) ({\lambda}_2 [/mm] - [mm] \lambda) [/mm]

Ich starte also mit der Gleichung

[mm] (a_{11} [/mm] - [mm] \lambda)(a_{22} [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] - [mm] a_{12} a_{21} [/mm] = [mm] ({\lambda}_1 [/mm] - [mm] \lambda) ({\lambda}_2 [/mm] - [mm] \lambda) [/mm]

und stelle um zu:

[mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] - [mm] \bruch{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}{\lambda} [/mm] = [mm] {\lambda}_{1} [/mm] + [mm] {\lambda}_{2} -\bruch{{\lambda}_{1} {\lambda}_{2}}{\lambda} [/mm]

Sowohl [mm] a_{11} a_{22} [/mm] - [mm] a_{12} a_{21} [/mm] als auch [mm] {\lambda}_{1} {\lambda}_{2} [/mm] sind von [mm] \lambda [/mm] unabhängige, also konstante Ausdrücke ("c"), und der Grenzwert jeder Funktion [mm] \bruch{c}{x} [/mm] oder eben [mm] \bruch{c}{\lambda} [/mm] ist 0.

Daher nur meine Frage, ob es zulässig ist, die qua Aufgabe zu zeigende Relation

[mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] = [mm] {\lambda}_{1} [/mm] + [mm] {\lambda}_{2} [/mm]

aus der umgestellten Gleichung zu schlussfolgern.

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte und Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:09 Sa 23.06.2018
Autor: angela.h.b.


Moin!

> Ich starte also mit der Gleichung

>

> [mm](a_{11}[/mm] - [mm]\lambda)(a_{22}[/mm] - [mm]\lambda)[/mm] - [mm]a_{12} a_{21}[/mm] =
> [mm]({\lambda}_1[/mm] - [mm]\lambda) ({\lambda}_2[/mm] - [mm]\lambda)[/mm]

Jetzt mach kein Gedöns, sondern multipliziere die Klammern aus, sortiere und besinne Dich darauf, daß zwei Polynome gleich sind, wenn ihre Koeffizienten gleich sind.

So bekommst Du dann
[mm] a_{11}+a_{22}=\lambda_1+\lambda_2 [/mm]
und
[mm] a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=\lambda_1\lambda_2. [/mm]

Dann kann es weitergehen.

LG Angela


>

> und stelle um zu:

>

> [mm]a_{11}[/mm] + [mm]a_{22}[/mm] - [mm]\bruch{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}{\lambda}[/mm]
> = [mm]{\lambda}_{1}[/mm] + [mm]{\lambda}_{2} -\bruch{{\lambda}_{1} {\lambda}_{2}}{\lambda}[/mm]

>

> Sowohl [mm]a_{11} a_{22}[/mm] - [mm]a_{12} a_{21}[/mm] als auch [mm]{\lambda}_{1} {\lambda}_{2}[/mm]
> sind von [mm]\lambda[/mm] unabhängige, also konstante Ausdrücke
> ("c"), und der Grenzwert jeder Funktion [mm]\bruch{c}{x}[/mm] oder
> eben [mm]\bruch{c}{\lambda}[/mm] ist 0.

>

> Daher nur meine Frage, ob es zulässig ist, die qua Aufgabe
> zu zeigende Relation

>

> [mm]a_{11}[/mm] + [mm]a_{22}[/mm] = [mm]{\lambda}_{1}[/mm] + [mm]{\lambda}_{2}[/mm]

>

> aus der umgestellten Gleichung zu schlussfolgern.


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