Eindeutig. d. Riemann-Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei (f; I) [mm] \mapsto [/mm] J(f; I) eine Abbildung, die jedem Paar einer auf [mm] \IR [/mm] stetigen Funktion f [mm] \in C^0(\IR;\IR)
[/mm]
und eines kompakten Intervalls I = [a; b] eine reelle Zahl zuordnet, so daß folgende Eigenschaften
erfüllt sind:
(a) |I| [mm] inf_I [/mm] f [mm] \le [/mm] J(f; I) [mm] \le [/mm] |I| [mm] sup_I [/mm] f, wobei |I| = b - a, (Mittelwerteigenschaft)
(b) J(f; [mm] I_1\cup I_2) [/mm] = J(f; [mm] I_1)+J(f; I_2) [/mm] für alle kompakten Intervalle [mm] I_1 [/mm] = [a; b], [mm] I_2 [/mm] = [b; c], a < b < c.
(Additivität).
Zeige: Durch diese beiden Eigenschaften ist das Riemannsche Integral eindeutig bestimmt:
J(f; I) [mm] =\integral_{a}^{b}{f(x) dx}; [/mm] f.a. f [mm] \in C^0(\IR); [/mm] I = [a; b] :
(4 Punkte) |
Hallo liebes Team,
bei der Aufgabe sehe vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr. Ich habe überhaupt keinen Ansatz und keine Idee.
Ich wäre für Tipps dankbar!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:34 Fr 24.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei (f; I) [mm]\mapsto[/mm] J(f; I) eine Abbildung, die jedem
> Paar einer auf [mm]\IR[/mm] stetigen Funktion f [mm]\in C^0(\IR;\IR)[/mm]
>
> und eines kompakten Intervalls I = [a; b] eine reelle Zahl
> zuordnet, so daß folgende Eigenschaften
> erfüllt sind:
> (a) |I| [mm]inf_I[/mm] f [mm]\le[/mm] J(f; I) [mm]\le[/mm] |I| [mm]sup_I[/mm] f, wobei |I| = b
> - a, (Mittelwerteigenschaft)
> (b) J(f; [mm]I_1\cup I_2)[/mm] = J(f; [mm]I_1)+J(f; I_2)[/mm] für alle
> kompakten Intervalle [mm]I_1[/mm] = [a; b], [mm]I_2[/mm] = [b; c], a < b <
> c.
> (Additivität).
>
> Zeige: Durch diese beiden Eigenschaften ist das
> Riemannsche Integral eindeutig bestimmt:
> J(f; I) [mm]=\integral_{a}^{b}{f(x) dx};[/mm] f.a. f [mm]\in C^0(\IR);[/mm]
> I = [a; b] :
> (4 Punkte)
>
> Hallo liebes Team,
>
> bei der Aufgabe sehe vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr.
> Ich habe überhaupt keinen Ansatz und keine Idee.
Also, das Riemann-Integral ist doch so definiert:
Zu $f : [a, b] [mm] \to \IR$ [/mm] nimmst du eine Folge von Treppenfunktionen [mm] $\psi_n, \phi_n [/mm] : [a, b] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $\psi_n \le [/mm] f [mm] \le \phi_n$ [/mm] und mit [mm] $\int_a^b \psi_n(x) [/mm] - [mm] \phi_n(x) [/mm] dx [mm] \to [/mm] 0$ fuer $n [mm] \to \infty$; [/mm] dann ist [mm] $\int_a^b [/mm] f(x) dx := [mm] \lim_{n\to\infty} \int_a^b \psi_n(x) [/mm] dx = [mm] \lim_{n\to\infty} \int_a^b \phi_n(x) [/mm] dx$.
Zeige jetzt folgendes:
1) Das Riemann-Integral stimmt mit $J$ fuer Treppenfunktionen ueberein. (Mach dazu Induktion ueber die Anzahl der Zwischenstellen und benutz Eigenschaften (a) und (b) -- (a) um den Wert von $J$ fuer einen konstanten Teilabschnitt zu bekommen und (b) um das fuer die ganze Treppenfunktion zusammenzusetzen.)
2) Zeige, dass fuer Treppenfunktionen [mm] $\psi, \phi$ [/mm] und Funktionen $f$ mit [mm] $\psi \le [/mm] f [mm] \le \phi$ [/mm] gilt [mm] $J(\psi) \le [/mm] J(f) [mm] \le J(\phi)$. [/mm] Das kannst du im Prinzip genauso wie in 1) machen: zeige das zuerst fuer Konstante Abschnitte der Treppenfunktionen (du kannst die beide so verfeinern durch Hinzufuegen von Stuetzstellen, das beide die selben Stuetzstellen haben).
3) Nimm dir eine Funktion $f$ und zwei Folgen von Treppenfunktionen [mm] $\psi_n, \phi_n$ [/mm] wie oben. Jetzt benutz Teil 1) fuer [mm] $\lim_{n\to\infty} J(\psi_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} J(\phi_n)$, [/mm] und zeige mit Teil 2) das beides mit $J(f)$ uebereinstimmt. Dann benutze schliesslich Teil 1) fuer den letzten Schritt $J(f) = [mm] \lim_{n\to\infty} J(\psi_n) [/mm] = [mm] \int_a^b [/mm] f(x) dx$.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine ausführliche Antwort!!!!
Ich komme leider damit nicht ganz so zu Recht.
[mm] \
[/mm]
[mm] lim_{n\to\infty} \int_a^b \psi_n(x) [/mm] dx = [mm] \lim_{n\to\infty} \int_a^b \phi_n(x) [/mm] dx
[mm] \psi_n(x) [/mm] ist doch die Untersumme
[mm] \phi_n(x):= [/mm] ist doch die Obersumme
bei 1): Wie sieht die Induktion aus? Meinst du mit Zwischenstellen, die Teilintervalle?
Ich glaube , das ich schon die Abbildung nicht verstehe.
Mein Bild, dieser Abbildung ist doch das Riemann-Integral???
LG
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> Hallo Felix,
>
> danke für deine ausführliche Antwort!!!!
>
> Ich komme leider damit nicht ganz so zu Recht.
> [mm]\[/mm]
> [mm]lim_{n\to\infty} \int_a^b \psi_n(x)[/mm] dx = [mm]\lim_{n\to\infty} \int_a^b \phi_n(x)[/mm]
> dx
>
> [mm]\psi_n(x)[/mm] ist doch die Untersumme
> [mm]\phi_n(x):=[/mm] ist doch die Obersumme
>
> bei 1): Wie sieht die Induktion aus? Meinst du mit
> Zwischenstellen, die Teilintervalle?
Hallo,
wenn Du eine Induktion über die Anzahl der Zwischenstellen machst, kannst Du dies natürlich als Induktion über die Anzahl der Teilintervalle auffassen.
Mit "Zwischenstellen" meint Felix (und andere) die Stellen, die die Teilintervalle trennen.
>
> Ich glaube , das ich schon die Abbildung nicht verstehe.
> Mein Bild, dieser Abbildung ist doch das
> Riemann-Integral???
Dies ist zu erst zu zeigen. Genau dies ist die Aufgabe.
Zunächst mal hast Du (grob gesagt) vorgegeben, daß Du eine Abbildung J hast, welche jeder Funktion eine Zahl zuordnet. In welcher Weise das geschieht, wird überhaupt nicht gesagt, sondern bloß, daß diese Abbildung J nach Voraussetzung die beiden Eigenschaften (a) und (b) hat.
Deine Aufgabe ist es nun, zu zeigen, daß diese Funktion keine andere sein kann als die, die jeder Funktion ihr Integral zuordnet.
Gruß v. Angela
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