Eindeutige Lösbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Fr 21.10.2005 | | Autor: | viwaldi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Halli hallo. Hab gerade angefangen Mathe zu studieren und steh direkt vor einem Problem: Die Eindeutige Lösbarkeit von Gleichungen: Wir haben festgelgt das x+a=b und y*c= b ist. Allerdings verstehe ich folgende schlussfolgerung nicht: Es gibt genau ein Element 0 von K, so dass für alle a Elemtent von K gilt 0 + a = a.
Beweis: Wegen |K| größer, gleich 2 gibt es ein Element b von K -> logisch. Nach dem Lösbarkeitsaxiom gibt es
ein x Elent von K mit x + b = b -> wieso??. Für alle a Element von K gilt dann x + b + a = b + a, also (x + a) +b = a + b (wegen Kommutativ- und Assoziativgesetz). Dies impliziert x + a = a wegen der
Eindeutigkeitsbedingung im Lösbarkeitsaxiom.-> das versteh ich wiederum auch nicht. Wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte und vielleicht mir noch bei der beantwortung folgender frage helfen könnte: Man zeige dass b-a die eindeutige Lösung der gleichung x+a= a ist (c ungleich 0)
Vielen Dank!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Das Lösbarkeitsaxiom lautete vermutlich so:
Für alle [mm] $a,\, [/mm] b [mm] \in [/mm] K$ gibt es genau ein $x [mm] \in [/mm] K$ mit
$x + a=b$.
Wir wollen nun zeigen: Es gibt ein Element $0 [mm] \in [/mm] K$, so das
$0+a=a$ für alle $a [mm] \in [/mm] K$.
Zunächst sei $b [mm] \in [/mm] K$ beliebig, aber fest gewählt. In der obigen Bedingung dürfen wir natürlich auch $a=b$ wählen. Es gibt also ein Elemente $x [mm] \in [/mm] K$, das zunächst von $b$ abhängt, mit
(1) $x+b=b$.
Jetzt sei $a [mm] \in [/mm] K$ beliebig gewählt. Wir addieren auf beiden Seiten von (1) dieses $a$ und erhalten:
$(x + b) + a = b+a$.
Mit Hilfe des Assoziativ- und Kommutativgesetzes folgt:
(2) $(x+a) + b = a+b$.
So jetzt betrachten wir mal die Gleichung
$y + b = a+b$.
Diese hat nach dem Lösbarkeitsaxiom genau eine Lösung. Es ist klar, dass $y=a$ eine Lösung ist. Nach (2) ist aber auch $x+a$ eine Lösung. Daher muss wegen der Eindeutigkeit
$x+a=a$
gelten, was wir zeigen wollten. Wir können dieses Element $x$ nämlich jetzt $0$ taufen und sehen: Es gibt ein Element $0 [mm] \in [/mm] K$ mit
$0+a=a$ für alle $a [mm] \in [/mm] A$.
Für die andere Aufgabe würden wir gerne erst einen eigenen Ansatz von dir sehen... 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Fr 21.10.2005 | | Autor: | viwaldi |
Also so ganz hab ich das zwar immer noch nicht verstanden, hab aber nen Ansatz versucht zu schaffen, aber bitte ich bin nicht sooo dumm wie das gleich aussehen mag
Also ich soll zeigen, dass b-a eindeutige Lösung der Gleichung x+a= b ist
also das (b-a)+a = b ist
wenn x+b=b gilt und ich b-a einsetze erhalte ich
x+b-a+b= b-a+b
also (x-a)+b+b= b-a
und dann weiß ich nicht mehr weiter..
ist er völlig falsch der Ansatz??
Liebe Grüße
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