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hallo, ich komme bei der aufgabe einfach auf garnichts:
Sei V ein Vektorraum und sei U´ein affiner Unterraum, d.h. es existiert ein Unterraum U [mm] \subset [/mm] V
und ein Vektor x [mm] \in [/mm] V mit U'= x+U := {x +u | u [mm] \in [/mm] U}
Zeigen Sie, dass der Unterraum U, der
zu U´ gehört, eindeutig bestimmt ist ????
Gilt dies auch für den Vektor x [mm] \in [/mm] V ?????
schonmal danke für die hilfe
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> hallo, ich komme bei der aufgabe einfach auf garnichts:
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> Sei V ein Vektorraum und sei U´ein affiner Unterraum, d.h.
> es existiert ein Unterraum U [mm]\subset[/mm] V
> und ein Vektor x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V mit U'= x+U := {x +u | u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U}
> Zeigen Sie, dass der Unterraum U, der
> zu U´ gehört, eindeutig bestimmt ist ????
> Gilt dies auch für den Vektor x [mm]\in[/mm] V ?????
>
> schonmal danke für die hilfe
Hallo,
nimm an, daß U' zwei Darstellungen hat.
U'=x+U und U'=x''+U''.
Angenommen, U [mm] \not=U''.
[/mm]
Dann gibt es ein mit [mm] y\in [/mm] U \ U'' oder [mm] y\in [/mm] U'' \ U.
Sei [mm] y\in [/mm] U \ U''.
Es ist x+y [mm] \in [/mm] U'
Nun mußt Du ein bißchen mit den beiden Darstellungen von U' spielen und einen Widerspruch erzeugen.
Gruß v. Angela
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ok.
also muss ich jetzt nachweisen, dass x+U=x´´+U´´
nur dann existiert, wenn x=x´´ und U=U´´
da ich anfangs annehme U not= U´´ kann also nur ein widerspruch folgen.
hab ich des richtig verstanden.
aber ich komme leider nicht drauf, wie es aussehen soll, bzw. wie es rechnierisch aussieht.
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> ok.
> also muss ich jetzt nachweisen, dass x+U=x´´+U´´
> nur dann existiert, wenn x=x´´ und U=U´´
Zunächst einmal, daß daraus folgt, daß U=U''.
Das mit x=x'' kommt erst später. Es gilt übrigens nicht.
Hast Du eigentlich eine Vorstellung von einem affinen Unterraum?
Eher nicht, würd' ich raten. Deshalb ein kleines Beispiel (bitte aufzeichnen!):
Der [mm] \IR^2, [/mm] den du Dir als Koordinatenebene vorstellen kannst, ist ja ein Vektorraum. Nimm Dir als Unterraum U nun eine beliebige Gerade durch den Nullpunkt, etwa die von [mm] \vektor{4 \\ 5} [/mm] aufgespannte Gerade [mm] U=<\vektor{4 \\ 5}> [/mm] (oder wie oft in der Schule geschrieben U: [mm] \vektor{x \\ y}=\lambda\vektor{4 \\ 5}, \lambda \in \IR.)
[/mm]
Einen affinen unterraum bekommst Du, wenn Du diese Gerade an einen beliebigen Punkt "anheftest", etwa an [mm] x=\vektor{1 \\ 2}. [/mm] Dein affiner Unterraum ist dann die Gerade durch [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] in Richtung [mm] \vektor{4 \\ 5}, [/mm] in der Schule haben wir geschrieben [mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{1 \\ 2}+\lambda\vektor{4 \\ 5}. [/mm] Aufgepaßt: diese Gerade ist KEIN Untervektorraum von [mm] \IR^2. [/mm] (Wieso?)
Wenn Du nun dieses Bild vor Augen hast, solltest Du entscheiden können, ob x zwangsläufig gleich x'' sein muß.
Ich hoffe auch, daß Du beim Anblick dieses Bildes das Gefühl bekommst, daß Du nur mit diesem einen Unterraum U genau diese Gerade bauen kannst.
So, nun zurück zum Beweis:
>Angenommen,
>U'=x+U und U'=x''+U''
>und U $ [mm] \not=U''. [/mm] $
>Dann gibt es ein mit $ [mm] y\in [/mm] $ U \ U'' oder $ [mm] y\in [/mm] $ U'' \ U.
>Sei $ [mm] y\in [/mm] $ U \ U''.
>Es ist x+y $ [mm] \in [/mm] $ U'
Also ist x+y [mm] \in [/mm] x''+U''
==> y [mm] \in [/mm] (x''-x)+U''
Weil [mm] y\not\in [/mm] U'' folgt hieraus x-x'' [mm] \not\in [/mm] ???
==> [mm] x\not\in [/mm] ???
Es ist aber ??? . Widerspruch.
Die Für die x=x''?-Geschichte laß Dich vom Bild inspirieren.
Gruß v. Angela
> da ich anfangs annehme U not= U´´ kann also nur ein
> widerspruch folgen.
> hab ich des richtig verstanden.
> aber ich komme leider nicht drauf, wie es aussehen soll,
> bzw. wie es rechnierisch aussieht.
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