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Eindeutigkeit Treppen-N-Form: Verständnis Beweis
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 00:29 Mi 09.09.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Lemma: Seien T, T' [mm] \in M_{mn}(\IK) [/mm] Matrizen in Treppennormalform. Sei G eine invertierbare Matrix in [mm] M_{mm}(\IK) [/mm] mit GT = T'. Dann gilt T = T'.

Hallo,

ich habe hier einen Beweis dafür. Allerdings habe ich an einer Stelle eine Verständnisfrage. Deswegen poste ich den Beweis mal im Folgenden:

"Beweis: Wir beweisen die Behauptung mit Induktion nach n, der Anzahl der Spalten von T und T'.

Sei n = 1, das heißt, T und T' sind Spalten. Da T und T' Matrizen in Treppennormalform sind, gilt T, T' [mm] \in \{ \vektor{0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0} \}. [/mm]

Fall 1: T = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}. [/mm] Dann gilt G [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}, [/mm] und T und T' = GT stimmen überein.

Fall 2: T = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}. [/mm] Dann gilt [mm] G^{-1} [/mm] T' = T = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}. [/mm] Es folgt, dass T' keine Nullspalte ist (sonst w#re T auch eine), und dies impliziert T' = T. Der Induktionsanfang ist daher richtig.

Sei nun n [mm] \ge [/mm] 1. Für den Induktionsschritt nehmen wir an: Wenn S, S' [mm] \in M_{mn}(\IK) [/mm] Matrizen in Treppennormalform sind, und wenn es eine invertierbare Matrix G [mm] \in M_{mm}(\IK) [/mm] mit GS = S' gibt, dann stimmen S und S' überein.

Seien nun T = [mm] (t_{ij}) \in M_{m, n+1}(\IK) [/mm] und T' = [mm] ({t'}_{ij}) \in M_{m, n+1}(\IK) [/mm] Matrizen in Treppennormalform, und sei G [mm] \in M_{mm} (\IK) [/mm] invertierbar mit GT = T'.

Dann sind T und T' von der Form

T = [mm] \pmat{ S & R } [/mm] mit R = [mm] \vektor{t_{1, n+1} \\ \vdots \\ t_{m, n+1}} [/mm] und T' = [mm] \pmat{ S' & R' } [/mm] mit R' = [mm] \vektor{{t'}_{1, n+1} \\ \vdots \\ {t'}_{m, n+1}}, [/mm] und S und S' sind Matrizen in [mm] M_{mn}(\IK) [/mm] in Treppennormalform. Es gilt GS = S', und mit der Annahme folgt, dass S und S' gleich sind. Wir müssen also nur zeigen, dass die (n + 1)-ten Spalten von T und T' übereinstimmen.

Seien (1, [mm] j_1), [/mm] ..., (r, [mm] j_r) [/mm] die Pivot-Positionen von T, und seien (1, [mm] {j'}_1), [/mm] ..., (r', [mm] {j'}_r) [/mm] die Pivot-Positionen von T'.

Wenn T die Nullmatrix ist, dann ist auch T' die Nullmatrix, und wir sind fertig. Wir müssen also annehmen, dass T mindestens eine Pivot-Position hat.

Fall 1: Es ist [mm] j_r \le [/mm] n, das heißt, T hat an der Stelle (r, n+1) keine Pivot-Position.

Dann ist T = [mm] \pmat{ S & | & R } [/mm] mit R = [mm] \vektor{t_{1,n+1} \\ \vdots \\ t_{r,n+1} \\ 0 \\ \vdots \\ 0}, [/mm] und es ist T' = [mm] \pmat{ S & | & R } [/mm] mit R = [mm] \vektor{{t'}_{1,n+1} \\ \vdots \\ {t'}_{r,n+1} \\ {t'}_{r+1,n+1} \\ \vdots \\ {t'}_{m,n+1}}. [/mm]

Sei G = [mm] \pmat{ g_{11} & \cdots & g_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{m1} & \cdots & g_{mm} }. [/mm]

Wir werden nun die ersten r Spalten von G berechnen. Dazu sei i [mm] \in [/mm] {1, ..., r}. Wir berechnen die [mm] j_i-te [/mm] Spalte von T'. Diese stimmt mit der [mm] j_i-ten [/mm] Spalte von T überein, und beide enthalten in der i-ten Zeile eine 1 und sonst nur Nullen. Es folgt

[mm] (g_{i1} \cdots g_{im}) \vektor{t_{1j_{1}} \\ \vdots \\ t_{mj_{1}}} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{m}g_{ik}t_{kj_i} [/mm] = 0 + ... + 0 + [mm] g_{ii} [/mm] * 1 + 0 + ... + 0 = [mm] g_{ii} [/mm] = [mm] {t'}_{ij_i} [/mm] = 1.

Für l [mm] \not= [/mm] i, l [mm] \in [/mm] {1, ..., m} gilt

[mm] (g_{l1} \cdots g_{lm}) \vektor{t_{1j_{1}} \\ \vdots \\ t_{mj_{1}}} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{m}g_{lk}t_{kj_i} [/mm] = 0 + ... + 0 + [mm] g_{li} [/mm] * 1 + 0 + ... + 0 = [mm] g_{li} [/mm] = [mm] {t'}_{ij_i} [/mm] = 0.

Wir sehen also: Für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] r und alle 1 [mm] \le [/mm] l [mm] \le [/mm] m gilt [mm] g_{li} [/mm] = [mm] f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } i = l \\ 0, & \mbox{falls } i \not= l \end{cases}. [/mm]

Nun berechnen wir die letzte Spalte von T'. Für alle 1 [mm] \le [/mm] l [mm] \le [/mm] m gilt

[mm] {t'}_{l, n+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{m} g_{li} t_{i,n+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{r} g_{li} t_{i,n+1} [/mm] + [mm] \summe_{i=r+1}^{m} g_{li} t_{i,n+1} [/mm] = [mm] t_{l,n+1}, [/mm] denn [mm] g_{li} [/mm] = 0 für alle l [mm] \not= [/mm] i und 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] r und [mm] t_{i,n+1} [/mm] = 0 für alle i [mm] \ge [/mm] r+1, da T in Treppennormalform ist. Die letzten Spalten von T und T' stimmen also überein.

Fall 2: Es ist [mm] {j'}_{r'} \le [/mm] n, das heißt, T' hat an der Stelle (r', n+1) keine Pivot-Position.

Es gilt [mm] G^{-1} [/mm] T' = T, und wenn wir G und [mm] G^{-1} [/mm] sowie T und T' die Rollen tauschen lassen, so folgt wie im Fall 1, dass T' = T ist.

Fall 3: Es ist [mm] j_r [/mm] = n+1 = [mm] {j'}_{r'}. [/mm]

Dann hat S genau r - 1 Pivot-Positionen und S' hat r' - 1 Pivot-Positionen. Da S = S' folgt r - 1 = r' - 1, also r = r'. Die letzten Spalten von T und T' haben also in der r-ten Zeile eine 1, und alle anderen Einträge sind 0. Es gilt also T = T'."


Was mich bei Fall 3 irritiert ist bereits die Formulierung "Es ist [mm] j_r [/mm] = n+1   = [mm] {j'}_{r'} [/mm] ."

Wenn T in der letzten Spalte eine weitere Pivot-Position im Vergleich zu S hat, wieso folgt dann automatisch, dass auch T' eine zusätzliche Pivot-Position im Vergleich zu S' hat? Mit anderen Worten, wieso kann es nicht sein, dass die Anzahl r' der Pivot-Positionen in T' gleich der Anzahl der Pivot-Positionen in S' ist?

Danke und Gruß,

Martin

        
Bezug
Eindeutigkeit Treppen-N-Form: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:36 Mi 09.09.2020
Autor: sancho1980

Falls sich jemand reingedachte hat bzw reindenken will: Ich hab's jetzt verstanden.
Fall 3 schließt ja gerade aus, dass [mm] {j'}_{r'} \le [/mm] n, da dies ja bereits in Fall 2 betrachtet wird!

Bezug
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