Eindeutigkeit eines Fixpunktes < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei g: <0,1> [mm] \to [/mm] <0,1> stetig und auf (0,1) diffbar,so dass g`(x) [mm] \not= [/mm] 1 für alle x in (0,1) gilt.
Zeigen Sie, dass dann g genau einen Fixpunkt in <0,1> hat. |
Ich weiss dass fixpunkt bedeutet: [mm] g(x_{0}) [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] aber warum sollte es in obiger funktion nur einen davon geben???
|
|
| |
|
Hiho,
betrachte [mm]h(x) := g(x) - x[/mm].
Warum bringt dir das was?
Was sagt dir der Zwischenwertsatz?
Was weisst du über h'(x) und damit über h(x)?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
na eigentlich weiss ich nur dass [mm] g`\not= [/mm] 0...aber das sagt mir doch nix über h oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Do 09.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Hätte g mehr als eine Fixpunkt, so hätte h mehr als eine Nullstelle.
Was sagt der Satz von Rolle dazu ?
FRED
|
|
|
| |
|
aber der satz von rolle hat doch als Voraussetzung,dass g(a)=g(b) ist...wo taucht das bei uns auf....
die ns von h berechne ich doch mit: 0=g(x)-x was soll ich für g(x) denn einsetzen?g(x) ist doch zwischen 0und1 und x auch zwischen 0und1 mehr weiss ich nicht oder?(der Fixpunkt hätte doch die gleichung 0=0-0 ??)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Fr 10.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Also .............
Es war $h(x) = g(x)-x$
Dann: $h(0)=g(0)-0 = g(0) [mm] \ge [/mm] 0$ und $h(1) = g(1)-1 [mm] \le [/mm] 1-1 = 0$
Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, sichert nun die Existenz eines [mm] x_0 \in [/mm] [0,1] mit [mm] $h(x_0) [/mm] = 0$.
Somit gilt: [mm] $g(x_0) [/mm] = [mm] x_0$
[/mm]
g hat slso einen Fixpunkt.
Annahme: g hat in [0,1] einen weiteren Fixpunkt [mm] x_1 \not= x_0. [/mm] Dann gilt:
[mm] $h(x_1) [/mm] = [mm] h(x_0) [/mm] = 0$
Nach dem Satz von Rolle existiert ein [mm] \mu [/mm] zwischen [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] mit [mm] $h'(\mu) [/mm] = 0$. Das liefert aber den Widerspruch
[mm] $g'(\mu) [/mm] = 1$
FRED
|
|
|
| |
|
DANKE kannst du mir noch sagen wie du auf h(x1) = h(x0) = 0 kommst??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Fr 10.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Es war $ h(x) = g(x)-x $ und [mm] $g(x_0) [/mm] = [mm] x_0$ [/mm] und [mm] $g(x_1) [/mm] = [mm] x_1$
[/mm]
FRED
|
|
|
|
