Eindeutigkeit gemischte Randb. < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:18 Do 23.06.2011 | | Autor: | JohnK |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega \subset \IR^{n} [/mm] ein beschränktes Gebiet mit einem glatten Rand [mm] \partial \Omega [/mm] = [mm] \Gamma_{1} \cup \Gamma_{2} [/mm] mit [mm] |\Gamma_{1}| \not= [/mm] 0, [mm] |\Gamma_{2}| \not= [/mm] 0 gegeben, und seien [mm] u_{1}, u_{2} \in C^{2}(\Omega [/mm] *) zwei Lösungen des gemischten Randwertproblems für die Poisson-Geichung:
[mm] \Delta [/mm] u(x) = f(x), x [mm] \in \Omega
[/mm]
[mm] \bruch{\partial u(x)}{\partial \nu}=h(x), [/mm] x [mm] \in \Gamma_{1}
[/mm]
u(x)=g(x), x [mm] \in \Gamma_{2}
[/mm]
Zeige, dass [mm] w=u_{1} [/mm] - [mm] u_{2} \equiv [/mm] 0 für alle x [mm] \in \Omega [/mm] * |
Mein Ansatz geht folgendermaßen mit der Energie-Methode
[mm] -\integral_{\Omega}^{}{w\*\Delta w dV}=0
[/mm]
dann benutzte ich, dass gilt [mm] w\Delta w=\nabla\* (w\nabla w)-(\nabla w)^{2} [/mm] und erhalte
[mm] -\integral_{\Omega}^{}{\nabla\* (w\nabla w) dV}+\integral_{\Omega}^{}{(\nabla w)^{2} dV}=0
[/mm]
dann wende ich den Divergenzsatz an und bekomme
[mm] -\integral_{\partial\Omega}^{}{w\bruch{\partial w}{\partial \nu} dS}+\integral_{\Omega}^{}{(\nabla w)^{2} dV}=0
[/mm]
das erste Integral kann ich dann entsprechen der Aufgabestellung in die zwei Bereiche aufteilen und die Bedingungen h(x)=h und g(x)=g einsetzen
[mm] -\integral_{\partial\Omega}^{}{wh dS}-\integral_{\partial\Omega}^{}{g\bruch{\partial w}{\partial \nu} dS}+\integral_{\Omega}^{}{(\nabla w)^{2} dV}=0
[/mm]
jetzt muss ich irgendwie sagen, dass die beiden ersten Integrale negativ oder null sind, um daraus folgern zu können, dass w=0 sein muss und damit meine Lösung eindeutig ist.
Hier hängt es, ich weiß nicht wie ich das zeigen kann. Wäre schon wenn jemand mir hier weiterhelfen könnte.
LG
John
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 So 26.06.2011 | | Autor: | JohnK |
Alles klar es hat sich erledigt mir ist mein Fehler klar geworden. Wenn ich die w=u1-u2 annehme, was ich ja gemacht habe, ändern sich auch meine Randbedingungen. D.h. beide Randbedingungen sind =0. Daraus folgt, dass die beiden ersten Integrale null sind.
Für das zweite Integral muss demnach zwingend gelten, dass [mm] \Delta [/mm] w=0, da sonst die Gleichung nicht erfüllt werden kann.
Wenn [mm] \Delta [/mm] w=0 dann folgt daraus, dass w=konst sein muss. Meine Randbedingung sagt mir aber, dass w=0 am Rand sein muss und somit, da w konstant ist, über den gesamt Bereich.
Daraus folgt, dass die Gleichung stimmt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Di 28.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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