Eindeutigkeit u. max.Intervall < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Di 18.11.2014 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | a) Es sei f: [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(t,y)=e^t [/mm] sin y für alle t,y [mm] \in \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass f lokal lipschitzstetig bezüglich y ist.
b) Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem
[mm] y'(t)=e^t [/mm] sin(y(t)), t>0, y(0)=1
eine eindeutige Lösung y: [mm] [0,\infty)\to \IR [/mm] besitzt.
c) Zeigen Sie dass y(t)>0 für alle t [mm] \ge [/mm] 0 gilt, wobei y die Lösung aus Aufgabenteil b) besitzt. |
Hallo,
zuerst einmal muss ich sagen, dass ich allgemein große Schwierigkeiten mit dem Thema Eindeutigkeit und der maximalen Lösung haben. Ich kann es mir einfach nicht vorstellen.
Hier mal was ich zu dieser Aufgabe glaube zu wissen:
a) f(t,y) ist eine Verknüpfung stetig (partiell) differenzierbarer Funktionen
=> f(t,y) ist stetig (partiell) differenzierbar
=> f ist lokal lipschitzstetig
b) aus der lokalen Lipschitzstetigkeit folgt, dass die Lipschitzbedingung erfüllt ist und daher laut dem Satz von Picard Lindelöff eine eindeutige lokale Lösung. Also weiß ich dass es ein Intervall gibt, worauf eine Lösung existiert. Allerdings weiß ich nicht, wie man zeigt, dass dieses Intervall von 0 bis unendlich geht.
c) hab ich bisher nicht versucht, dazu muss erstmal die b) klappen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> a) Es sei f: [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(t,y)=e^t[/mm] sin y für
> alle t,y [mm]\in \IR.[/mm] Zeigen Sie, dass f lokal lipschitzstetig
> bezüglich y ist.
> b) Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem
> [mm]y'(t)=e^t[/mm] sin(y(t)), t>0, y(0)=1
> eine eindeutige Lösung y: [mm][0,\infty)\to \IR[/mm] besitzt.
> c) Zeigen Sie dass y(t)>0 für alle t [mm]\ge[/mm] 0 gilt, wobei y
> die Lösung aus Aufgabenteil b) besitzt.
> Hallo,
> zuerst einmal muss ich sagen, dass ich allgemein große
> Schwierigkeiten mit dem Thema Eindeutigkeit und der
> maximalen Lösung haben. Ich kann es mir einfach nicht
> vorstellen.
>
> Hier mal was ich zu dieser Aufgabe glaube zu wissen:
> a) f(t,y) ist eine Verknüpfung stetig (partiell)
> differenzierbarer Funktionen
> => f(t,y) ist stetig (partiell) differenzierbar
> => f ist lokal lipschitzstetig
Das stimmt.
>
> b) aus der lokalen Lipschitzstetigkeit folgt, dass die
> Lipschitzbedingung erfüllt ist und daher laut dem Satz von
> Picard Lindelöff
Lindelöf nicht Lindelöff !
> eine eindeutige lokale Lösung. Also
> weiß ich dass es ein Intervall gibt, worauf eine Lösung
> existiert. Allerdings weiß ich nicht, wie man zeigt, dass
> dieses Intervall von 0 bis unendlich geht.
Ich bin nicht im Bilde, welche Versionen des Satzes von Picard-Lindelöf ihr hattet.
Zunächst gibt es ein b>0 mit: das obige AWP hat auf [0,b) genau eine Lösung
y:[0,b) [mm] \to \IR.
[/mm]
Zu zeigen ist: b= [mm] \infty.
[/mm]
Die Version des obigen Satzes, welche mir vorschwebt, besagt auch noch, zugeschnitten auf obige Situation, dass die Menge
$M:= [mm] \overline{\{(t,y(t)) : t \in [0,b)\}}$
[/mm]
keine(!) kompakte Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] ist.
Kannst Du damit etwas anfangen ?
FRED
>
> c) hab ich bisher nicht versucht, dazu muss erstmal die b)
> klappen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 Mi 19.11.2014 | | Autor: | xtraxtra |
Danke für die Antwort!
> Ich bin nicht im Bilde, welche Versionen des Satzes von
> Picard-Lindelöf ihr hattet.
>
> Zunächst gibt es ein b>0 mit: das obige AWP hat auf [0,b)
> genau eine Lösung
Dass dieses Intervall bei 0 losgeht weißt du wegen dem Startwert y(0)=1, oder?
> y:[0,b) [mm]\to \IR.[/mm]
>
> Zu zeigen ist: b= [mm]\infty.[/mm]
>
> Die Version des obigen Satzes, welche mir vorschwebt,
> besagt auch noch, zugeschnitten auf obige Situation, dass
> die Menge
>
> [mm]M:= \overline{\{(t,y(t)) : t \in [0,b)\}}[/mm]
>
> keine(!) kompakte Teilmenge des [mm]\IR^2[/mm] ist.
>
> Kannst Du damit etwas anfangen ?
Deine Überlegung war, dass, falls M nicht kompakt ist, so muss folgen, dass [mm] b=\infty [/mm] ist. Verstehe ich das richtig? Bleibt nur die Frage, wie man bezogen auf diese Aufgabe die Kompaktheit von M zeigt?
> FRED
>
>
>
> >
> > c) hab ich bisher nicht versucht, dazu muss erstmal die b)
> > klappen.
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort!
>
> > Ich bin nicht im Bilde, welche Versionen des Satzes von
> > Picard-Lindelöf ihr hattet.
> >
> > Zunächst gibt es ein b>0 mit: das obige AWP hat auf [0,b)
> > genau eine Lösung
> Dass dieses Intervall bei 0 losgeht weißt du wegen dem
> Startwert y(0)=1, oder?
> > y:[0,b) [mm]\to \IR.[/mm]
> >
> > Zu zeigen ist: b= [mm]\infty.[/mm]
> >
> > Die Version des obigen Satzes, welche mir vorschwebt,
> > besagt auch noch, zugeschnitten auf obige Situation, dass
> > die Menge
> >
> > [mm]M:= \overline{\{(t,y(t)) : t \in [0,b)\}}[/mm]
> >
> > keine(!) kompakte Teilmenge des [mm]\IR^2[/mm] ist.
> >
> > Kannst Du damit etwas anfangen ?
> Deine Überlegung war, dass, falls M nicht kompakt ist, so
> muss folgen, dass [mm]b=\infty[/mm] ist. Verstehe ich das richtig?
Ja
> Bleibt nur die Frage, wie man bezogen auf diese Aufgabe die
> Kompaktheit von M zeigt?
Gar nicht. Nach obigem Satz ist M nicht kompakt !
FRED
>
> > FRED
> >
> >
> >
> > >
> > > c) hab ich bisher nicht versucht, dazu muss erstmal die b)
> > > klappen.
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mi 19.11.2014 | | Autor: | xtraxtra |
Leider kann ich die Version des Satzes von Picard-Lindelöf, welche du benutzt hast nirgends finden. Evlt. kannst du mir kurz auf die Sprünge helfen. Oder vllt verstehe ich die gefundenen Sätze einfach nur falsch und kann es nicht auf meine Situation anwenden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Leider kann ich die Version des Satzes von
> Picard-Lindelöf, welche du benutzt hast nirgends finden.
> Evlt. kannst du mir kurz auf die Sprünge helfen. Oder vllt
> verstehe ich die gefundenen Sätze einfach nur falsch und
> kann es nicht auf meine Situation anwenden.
Ich kann unmöglich wissen, welche Versionen von Picard-Lindelöf Ihr hattet. Auch bin ich nicht im Bilde darüber, was Ihr zu den Themen "max. Existenzintervall", "nichtfortsetzbare Lösungen", .... behandelt habt.
FRED
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So war das nicht gemeint, sorry. Ich meinte, ob du mir zeigen kannst welche Version du genau benutzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 21.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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