Eine Gleichung bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Mi 27.09.2006 | | Autor: | wm0061 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe folgende Aufgabenstellung, bei der ich einfach zu keiner Lösung finde:
| Aufgabe | | Bestimme die Gleichung der Parabel 3. Grades, welche die Parabel mit der Gleichung [mm] $y=0{,}25*x^2$ [/mm] in $0$ berührt und in $H=(5/6,25)$ ihren Hochpunkt hat. |
Ich schaffe es hierbei einfach nicht, eine solche Gleichung zu erstellen.
MfG
wm0061
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
das ist gar nicht so schwer, wie es scheint:
Vorgehen:
1. allg. Form der Funktion aufstellen
2. Ableitungen der allg. Form bilden (bis zur 2. Ableitung reicht in unserem Fall)
3. Bedingungen einsetzen
1 und 2 müssten machbar sein - bei 3 helfen wir gerne, wenn du uns deine Überlegungen verrätst. Es bringt dir mehr, wenn wir notfalls deine Gedanken unterstützen als sie dir abzunehmen.
Tipp: da steht das Wort "berühren" und "0"
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mi 27.09.2006 | | Autor: | wm0061 |
Danke für die Antwort,
also meine Gedanken waren folgende:
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx [/mm] Konstante fällt weg, da die Parabel durch den Ursprung geht.
f'(x)= [mm] 3ax^2+2bx+c
[/mm]
Und bei dem Berührpunkt muss ich f`(x) mit g`(x) gleichsetzen, dass weiß ich. Aber Punt 3 bei dir fällt mir schwer und da könnte ich Unterstützung gebrauchen.
MfG
wm0061
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Herby |
na dann...
> Danke für die Antwort,
> also meine Gedanken waren folgende:
> [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx[/mm] Konstante fällt weg, da die Parabel durch
> den Ursprung geht.
> f'(x)= [mm]3ax^2+2bx+c[/mm]
> Und bei dem Berührpunkt muss ich f'(x) mit g'(x)
> gleichsetzen, dass weiß ich. Aber Punt 3 bei dir fällt mir
> schwer und da könnte ich Unterstützung gebrauchen.
> MfG
> wm0061
Zum Berührpunkt: Wenn eine Parabel die Form x² hat, dann liegt der Scheitel bei P(0|0) und ist eine doppelte Nullstelle. Das heißt aber auch: wenn eine andere Funktion die Parabel in 0 berühert, dann liegt auch hier eine doppelte Nullstelle vor (je nach Ordnung können natürlich auch mehr Nullstellen auftreten).
d.h. weiterhin:
a. P(0|0) ist Nullstelle
b. P ist Tiefpunkt, denn eine Parabel dritter Ordnung hat nur max. drei Nullstellen im Reellen.
-- somit ist f'(0)=0
außerdem haben wir noch einen Hochpunkt --> f'(5)=0
reicht dir das?
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 27.09.2006 | | Autor: | wm0061 |
Jetzt habe ich noch eine Frage: Muss ich eigentlich die Bedingung
f'(x)=g'(x) einbauen? Und wenn wie kann ich diese nutzen? Ich hätte es so gemacht: [mm] 3ax^2+bx=0,5x [/mm]
Aber stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Mi 27.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Jetzt habe ich noch eine Frage: Muss ich eigentlich die
> Bedingung
> f'(x)=g'(x) einbauen? Und wenn wie kann ich diese nutzen?
> Ich hätte es so gemacht: [mm]3ax^2+bx=0,5x[/mm]
> Aber stimmt das?
Hallo
Das stimmt. Jetzt ist nur noch die Frage, an welcher Stelle x das geschehen soll. Kleiner Tipp: Was heisst, denn, dass sich zwei Graphen an einer Stelle berühren?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mi 27.09.2006 | | Autor: | wm0061 |
Ich habe mal noch eine grundlegende Frage: Sehe ich das überhaupt richtig, dass bei meiner Parabel 3.Grades das [mm] x^2 [/mm] weglassen kann, denn ich der Aufgabe heißt es ja, dass der Graph einen Hochpunkt hat, und wenn ich nur ungerade Exponenten habe, gibt es doch keine Extremwerte, oder?
MfG
wm0061
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mi 27.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Nein, das funktioniert so nicht.
Schau dir mal die Funktion f(x)=x³-5x²+x an, diese hat definitiv Extremstellen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Mi 27.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Schau dir mal bitte die Funktion f(x)=x³-20x an, diese hat nur ungerade Exponenten und trotzdem Extrema
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Ich habe mal noch eine grundlegende Frage: Sehe ich das
> überhaupt richtig, dass bei meiner Parabel 3.Grades das [mm]x^2[/mm]
> weglassen kann, denn ich der Aufgabe heißt es ja, dass der
> Graph einen Hochpunkt hat, und wenn ich nur ungerade
> Exponenten habe, gibt es doch keine Extremwerte, oder?
> MfG
> wm0061
Das war jetzt im Kreis gedreht: bei [mm] x^3 [/mm] gebe ich dir recht, dann bekommen wir einen Sattelpunkt, mit dem wir hier nix anfangen können.
Also muss dein x² drin bleiben, weil c und d ja schon 0 sind 
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
ich habe deine gesuchte Funktion (grün) mal Zeichen lassen. Die rote Kurve stellt y=0,25x² dar.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Herby
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mi 27.09.2006 | | Autor: | wm0061 |
Hallo Herby,
jetzt stehe ich endgültig auf dem Schlauch. Du scheinst j die Lösung zu kenne, könntest du mir nicht mal zeigen, wie du das gemacht hast. Du siehst ja, dassich mir Gedanken mache und nicht nur abschreiben möchte.
MfG
wm0061
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Hallo Herby,
> jetzt stehe ich endgültig auf dem Schlauch. Du scheinst j
> die Lösung zu kenne, könntest du mir nicht mal zeigen, wie
> du das gemacht hast. Du siehst ja, dassich mir Gedanken
> mache und nicht nur abschreiben möchte.
das hatte ich auch gar nicht gedacht, nur wir können halt besser auf Probleme eingehen, wenn wir sie kennen - logisch, oder 
Also, nochmal die Bedingungen und hier nenne ich die unbekannte Funktion dritten Grades (kubische Funktion) [mm] f(x):a*x^3+b*x^2+c*x+d
[/mm]
Wir wissen:
1. f(0)=0 daraus folgt: d=0
2. f'(0)=0 daraus folgt: c=0
3. f(5)=6,25 daraus folgt: [mm] 6,25=5^3*a+5^2*b
[/mm]
4. f'(5)=0 daraus folgt: [mm] 0=3*5^2*a+2*5*b
[/mm]
zwei Gleichungen - zwei Unbekannte ==> a=-0,1 und b=0,75
[mm] f(x)=-0,1*x^3+0,75*x^2
[/mm]
zu 1.: das dürfte klar sein, oder?
zu 2.: da f(x) die Parabel in 0 berühert, muss eine doppelte Nullstelle vorliegen und somit die erste Ableitung im Punkt 0 gleich Null sein.
zu 3.: dürfte auch klar sein
zu 4.: naja, die Ableitung im Hochpunkt ist auch 0
Wenn noch Fragen sind, dann los
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mi 27.09.2006 | | Autor: | wm0061 |
Hallo,
vielen vielen Dank, jetzt habe ich alles verstanden. Mein Problem war, dass bei mir [mm] bx^2 [/mm] immer aus der Ausgangsgleichung rausgeflogen ist und ich mit cx weitergemacht habe.
Ich mache die Aufgaben übrigens für die BA-Mannheim, bei der ich am Montag anfange und die Aufgaben zum Auffrischen nutze.
Vielleicht kannst du mir ja nochmal helfen.
Ableitungen zu folgenden zwei Gleichungen:
f(x)=(-cos(x))/(2*x*tan(x))
f(x)=sin( [mm] \wurzel{1-2*x} [/mm] )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mi 27.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
> vielen vielen Dank, jetzt habe ich alles verstanden. Mein
> Problem war, dass bei mir [mm]bx^2[/mm] immer aus der
> Ausgangsgleichung rausgeflogen ist und ich mit cx
> weitergemacht habe.
> Ich mache die Aufgaben übrigens für die BA-Mannheim, bei
> der ich am Montag anfange und die Aufgaben zum Auffrischen
> nutze.
> Vielleicht kannst du mir ja nochmal helfen.
> Ableitungen zu folgenden zwei Gleichungen:
> f(x)=(-cos(x))/(2*x*tan(x))
> f(x)=sin( [mm]\wurzel{1-2*x}[/mm] )
Hallo nochmal.
Ich vermute mal, du meinst
[mm] f(x)=\bruch{cos(x)}{2*x*tan(x)}
[/mm]
Dann leitest das jetzt mit der Quotientenregel ab.
[mm] f(x)=\bruch{cos(x)}{2*x*tan(x)}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{sin(x)*2x*tan(x)-cos(x)*\bruch{1}{cos²(x)}}{tan²(x}=\bruch{2x*cos(x)*tan(x)-\bruch{1}{cos(x)}}{tan²(x)}.
[/mm]
Zur zweiten Funktion
[mm] f(x)=sin(\wurzel{1-2*x})
[/mm]
Hier musst du die Kettenregel anwenden-und zwar geeich zweimal.
Fangen wir mal mit der Inneren Funktion [mm] g(x)=\wurzel{1-2*x} [/mm] an
Hier gilt (per Kettenregel)
[mm] g'(x)=\underbrace{-2}_{innereAbl.}*\underbrace{\bruch{1}{2\wurzel{1-2*x}}}_{aeuss.Abl.}=-\bruch{1}{\wurzel{1-2*x}}
[/mm]
Jetzt können wir die Gesamtfunktion f ableiten.
[mm] f'(x)=-\bruch{1}{\wurzel{1-2*x}}*cos(\wurzel{1-2*x})
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Di 17.10.2006 | | Autor: | belia269 |
| Aufgabe | | $ [mm] f(x)=\bruch{cos(x)}{2\cdot{}x\cdot{}tan(x)} [/mm] $ |
bei der quotientenregel heißt es ja (g'h-gh')/h². ist in diesem Fall h² nicht gleich 4x²*tan²(x)? ich habe das gefühl als hättest du bei deinen Berechnungen den Faktor 2x komplett außer Acht gelassen...
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> [mm]f(x)=\bruch{cos(x)}{2\cdot{}x\cdot{}tan(x)}[/mm]
> bei der quotientenregel heißt es ja (g'h-gh')/h². ist in
> diesem Fall h² nicht gleich 4x²*tan²(x)?
Ja.
>ich habe das
> gefühl als hättest du bei deinen Berechnungen den Faktor 2x
> komplett außer Acht gelassen...
Ja, das ist einiges durcheinander gegangen.
[mm]f(x)=\bruch{cos(x)}{2\cdot{}x\cdot{}tan(x)}[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{2x tanx*(-sinx) - cosx(2 tanx+2x\bruch{1}{cos^2x})}{4x^2 tan^2x}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2x tanx*(sinx) - (2 sinx+2x\bruch{1}{cosx})}{4x^2 tan^2x}
[/mm]
[mm] =\bruch{-x tanx*(sinx) - ( sinx+x\bruch{1}{cosx})}{2x^2 tan^2x},
[/mm]
was man dann noch weiter umformen kann.
Gruß v. Angela
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