Eine "kubische" Parabelschar < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Also habe hier eine Aufgabe zu einer sogenannten kubischen Parabel
Aufgabentext:
Gegeben ist eine Schar kubischer Parabeln [Vermerk des Lehrers kubische Parabel = Parabel 3. Grades (meiner Meinung nach der Form f(x) = [mm]a*x^3+b*x^2+c*x+d[/mm])]. Diese kubische Parabelschar geht durch den Punkt P(3/0) und ist punktsymmetrisch zum Ursprung [meiner Meinung nach -f(x) =f(-x)]. Welche Parabel mit negativer Steigung im Ursprung (f(0)=0[mm]\wedge[/mm]f'(0)<0) schließt mit der ersten Winkelhalbierenden (f(x) = x) eine Fläche kleinsten Inhalts ein? Wie groß ist die Fläche?
So, dass ist dann mal die Textaufgabe und ich dachte eine kubische Parabel ist eine, wie von meinem Lehrer mitgeteilt Funktion 3. Grades, also nach meinem Wissen nach f(x) = [mm] a*x^3 [/mm] + [mm] b*x^2+c*x+d
[/mm]
Ist das so korrekt? Denn als ich in die Lösung sah, da stand dann
f(x) = [mm] ax(x^2 [/mm] - 9)
Kann mir da jemand weiterhelfen und evtl. die Aufgabe ganz durchrechnen? Wenn's geht übersichtlich (???) (ich kenne ja mich  )
MfG euer neues Mitglied,
DerMathematiker
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Willkommen im MatheRaum!
> Aufgabentext:
> Gegeben ist eine Schar kubischer Parabeln [Vermerk des
> Lehrers kubische Parabel = Parabel 3. Grades (meiner
> Meinung nach der Form f(x) = [mm]a*x^3+b*x^2+c*x+d[/mm])]. Diese
> kubische Parabelschar geht durch den Punkt P(3/0) und ist
> punktsymmetrisch zum Ursprung [meiner Meinung nach -f(x)
> =f(-x)]. Welche Parabel mit negativer Steigung im Ursprung
> (f(0)=0[mm]\wedge[/mm]f'(0)<0) schließt mit der ersten
> Winkelhalbierenden (f(x) = x) eine Fläche kleinsten Inhalts
> ein? Wie groß ist die Fläche?
>
> So, dass ist dann mal die Textaufgabe und ich dachte eine
> kubische Parabel ist eine, wie von meinem Lehrer mitgeteilt
> Funktion 3. Grades, also nach meinem Wissen nach f(x) =
> [mm] a*x^3 [/mm] + [mm] b*x^2+c*x+d
[/mm]
>
ok, das ist schon mal richtig
> Ist das so korrekt?
> Denn als ich in die Lösung sah, da
> stand dann
>
> f(x) = [mm] ax(x^2 [/mm] - 9)
>
Multiplizier' doch mal aus, dann ist das eine Parabel 3. Ordnung.
> Kann mir da jemand weiterhelfen und evtl. die Aufgabe ganz
> durchrechnen? Wenn's geht übersichtlich (???) (ich kenne ja
> mich )
>
Aber Du willst doch 'was lernen?!
Also: überlege mal, was die Bedingung "punktsymmetrisch" hinsichtlich der Exponenten heißen kann.
Was bedeutet das für die Koeffinzienten?
Und die Bedingung: "geht durch den Punkt P(3/0)" gibt Dir eine weitere Möglichkeit, die Koeffizienten einzugrenzen.
Schreib mal, was Du 'rausgefunden hast; dann sehen wir weiter.
Nicht gleich nach der fertigen Lösung fragen, sondern selber drauf kommen 
Viel Erfolg wünscht
Informix
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Danke informix,
du hast mich mit den Worten
überlege mal, was die Bedingung "punktsymmetrisch" hinsichtlich der Exponenten heißen kann.
auf die Richtige Spur gebracht.
Habe die Ansatzlösung und somit das was ich wollte, erreicht.
Hier für alle die sich dafür interessieren den Lösungsweg:
also Ausgangsgleichung ist:
f(x) = a*[mm]x^3[/mm] + b* [mm]x^2[/mm] + c*x + d
Nun stand im Original-Aufgaben-Text folgendes:
kubische Parabelschar ist punktsymmetrisch zum Ursprung
D.h., dass nur ungerade Exponenten in der Endgleichung erscheinen dürfen als sieht die Gleichung jetzt folgendermaßen aus:
f(x) = a*[mm]x^3[/mm] + c*x + d
Dann gab es die Bedingung:
Welche Parabel mit negativer Steigung im Ursprung
d.h. f(0) = 0 [mm]\wedge [/mm] f'(0)<0
Nun mit f(0) = 0
erhält man durch einsetzen:
a*0 + c* 0 + d = 0 ==> d = 0
also erhalten wir nun folgende Gleichung:
f(x) = a*[mm]x^3[/mm] + c*x
Durch die Bedingung
geht durch den Punkt P(3/0)
erhalten wir
f(3) = 0
27 * a + 3*c = 0
[mm]\gdw [/mm] 27 a = - 3 c
[mm]\gdw [/mm] c = -9 a
Nun fragt man sich welches Vorzeichen a und c haben dürfen bzw. sollen, da hilft uns die Ableitung, aufgrund folgenden Satzes der Aufgabenstellung:
Welche Parabel mit negativer Steigung im Ursprung
d.h. f`(x) = 3 * a* [mm]x^2[/mm] + c
f'(0)<0
es bleibt c<0 übrig, und da c = -9 * a ist MUSS MUSS a > 0 sein!!!
Somit erhalten wir folgende Gleichung:
f(x) = a * [mm]x^3[/mm] - 9ax
dieses entspricht nach dem Ausklammern der Lösung:
f(x) = ax ([mm]x^2[/mm] - 9)
Das wars...war im Enddefekt eigentlich sau einfach und der Rest ist wirklich nicht mehr schwer.
MfG DerMathematiker
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerMathematiker,
super, wie du die Lösung vollkommen korrekt dargestellt hast! Es ist selten, dass jemand das macht, wenn seine Frage bereits beantwortet ist. Die Erklärungen sind auch so verständlich, dass ich hoffe, dass du dem MatheRaum erhalten bleibst
Eine kleine Optimierung hätte ich aber doch:
> D.h., dass nur ungerade Exponenten in der Endgleichung
> erscheinen dürfen als sieht die Gleichung jetzt
> folgendermaßen aus:
>
> f(x) = a*[mm]x^3[/mm] + c*x + d
Aus der obigen Bedingung folgt bereits, dass $d=0$ ist, denn $d$ ist der Koeffizient zu [mm] $x^0$, [/mm] also einer Potenz mit geradem Exponenten.
> Nun mit f(0) = 0
>
> erhält man durch einsetzen:
>
> a*0 + c* 0 + d = 0 ==> d = 0
>
> also erhalten wir nun folgende Gleichung:
>
> f(x) = a*[mm]x^3[/mm] + c*x
Das Stückchen kann man sich dann sparen.
Die Aufgabe ist aber noch nicht vollständig gelöst, oder? Wenn du magst, kannst du uns ja auch noch den weiteren Lösungsweg vorstellen.
Hoffentlich bis bald mal wieder im MatheRaum,
Marc
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Hallo Marc,
ich werde sicherlich eine Zeitlang in eurem Forum erhalten bleiben und mir wurde es auch von anderen Leuten schon gesagt, dass ich Analysis und auch Vektorrechnung wirklich gut und verständlich erklären kann.
Wenn wir schon gerade beim erklären sind, kann man bei euch irgendwie Moderator werden? Oder gibt es so eine Funktion bei euch überhaupt?
MfG DerMathematiker
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerMathematiker,
> ich werde sicherlich eine Zeitlang in eurem Forum erhalten
> bleiben und mir wurde es auch von anderen Leuten schon
> gesagt, dass ich Analysis und auch Vektorrechnung wirklich
> gut und verständlich erklären kann.
Das freut mich sehr
> Wenn wir schon gerade beim erklären sind, kann man bei euch
> irgendwie Moderator werden? Oder gibt es so eine Funktion
> bei euch überhaupt?
Klar gibt es die, siehe Rollenverteilung. Aus historischen Gründen heißt Moderator bei uns "Tutor".
Wir haben uns auf folgende Vorgehensweise geeinigt: Mitglieder, die in neun unterschiedlichen Diskussionssträngen Antworten gegeben haben (das entspricht zwei blauen Sternen) werden von uns automatisch gefragt, ob sie nicht als Tutor bei uns Verantwortung übernehmen möchten. So kann man sich erst mal "näher" kennenlernen.
Es würde mich freuen, wenn du bald dazugehören würdest!
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mathematiker,
naja, bei Leuten, die mit 18 schon ihren Doktortitel haben, können wir natürlich eine Ausnahme machen und sie früher zu Tutoren ernennen.
Vielleicht kannst du das bei Gelegenheit in deinem Profil mal richtigstellen, auch wenn es natürlich absichtlich eingestellt und witzig gemeint war.
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen,
natürlich kann man die Aufgabe bis zu diesem Schritt auch viel einfacher lösen, aber ich denke mal das ist allen auch klar. Ich schreibe es nur zur Verdeutlichung noch einmal auf:
Nach Voraussetzung sind [mm]x=0[/mm] und [mm]x=3[/mm] Nullstellen (und wegen der Punktsymmetrie dann auch [mm]x=-3[/mm]). Mehr Nullstellen kann eine kubische Polynomfunktion nicht haben. Daher hat [mm]f[/mm] die Form:
[mm]f(x) = a \cdot x \cdot (x-3)\cdot (x+3) = a \cdot x \cdot (x^2-9)[/mm]
mit einem [mm]a \in \mathbb{R}[/mm].
Liebe Grüße
Stefan
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