Einen Term Integrieren < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{1}{2-y^2}} [/mm] |
ich beschäftige mich grad mit differentialgleichungen und wollte versuchen ein integral zu lösen.
zuerst hab ich gedacht das wäre irgendwas mit arctan(y) aber
[mm] \integral{\bruch{1}{1+y^2}}=arctan(y)
[/mm]
dann dacht ich es wäre der arccot(y) aber das stimmt auch nicht
[mm] \integral{\bruch{1}{-1-y^2}}=arccot(y)
[/mm]
dann wollt ich es mit substitution versuchen, indem ich gesagt hab
[mm] 2-y^2=z
[/mm]
[mm] y^2=2-z
[/mm]
aber dann müsste ich eine fallunterscheidung machen wegen der wurzel.
partielle integration kommt auch nicht in frage.
kann mir jemand helfen?
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> [mm]\integral{\bruch{1}{2-y^2}}[/mm]
Man kann den Nenner in zwei Faktoren zerlegen
(Hinweis: binomische Formel) und dann den Bruch
in zwei Partialbrüche zerlegen.
Nebenbei: du solltest auch das Differential hinschreiben,
also:
[mm]\integral{\bruch{1}{2-y^2}}\ dy[/mm]
LG
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ich kriegs einfach nicht hin:
[mm] \integral{\bruch{1}{2-y^2}dy}=\integral{\bruch{-1}{(y-\wurzel{2})*(y+\wurzel{2})}dy}
[/mm]
und jetzt?
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> ich kriegs einfach nicht hin:
>
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> [mm]\integral{\bruch{1}{2-y^2}dy}=\integral{\bruch{-1}{(y-\wurzel{2})*(y+\wurzel{2})}dy}[/mm]
>
> und jetzt?
nagut wenn ich jetzt die partialbruchzerlegung anwende komme ich auf:
[mm] \bruch{-1}{(y-\wurzel{2})*(y+\wurzel{2})}=\bruch{A}{y-\wurzel{2}}+\bruch{B}{y+\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] -1=A*(y+\wurzel{2})+B*(y-\wurzel{2})
[/mm]
einsetzen von günstigen werten:
[mm] y=\wurzel{2}
[/mm]
[mm] -1=A*2*\wurzel{2}
[/mm]
[mm] A=-\bruch{1}{2\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] y=-\wurzel{2}
[/mm]
[mm] -1=B-2\wurzel{2}
[/mm]
[mm] B=\bruch{1}{2\wurzel{2}}
[/mm]
damit ergibt sich:
[mm] \bruch{-1}{(y-\wurzel{2})*(y+\wurzel{2})}=-\bruch{1}{2*\wurzel{2}*y-4}+\bruch{1}{2*\wurzel{2}*y+4}
[/mm]
das sieht aber immernoch kompliziert zu integrieren aus
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Hey, das sieht vielleicht kompliziert aus, ist aber einfach 
[mm] $\integral{\frac{1}{ax+b} dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{a} [/mm] * ln(ax+b)$
Grüße Patrick
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> > ich kriegs einfach nicht hin:
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> >
> [mm]\integral{\bruch{1}{2-y^2}dy}=\integral{\bruch{-1}{(y-\wurzel{2})*(y+\wurzel{2})}dy}[/mm]
> >
> > und jetzt?
>
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> nagut wenn ich jetzt die partialbruchzerlegung anwende
> komme ich auf:
>
> [mm]\bruch{-1}{(y-\wurzel{2})*(y+\wurzel{2})}=\bruch{A}{y-\wurzel{2}}+\bruch{B}{y+\wurzel{2}}[/mm]
>
> [mm]-1=A*(y+\wurzel{2})+B*(y-\wurzel{2})[/mm]
>
> einsetzen von günstigen werten:
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> [mm]y=\wurzel{2}[/mm]
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> [mm]-1=A*2*\wurzel{2}[/mm]
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> [mm]A=-\bruch{1}{2\wurzel{2}}[/mm]
>
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> [mm]y=-\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]-1=B-2\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]B=\bruch{1}{2\wurzel{2}}[/mm]
>
> damit ergibt sich:
>
> [mm]\bruch{-1}{(y-\wurzel{2})*(y+\wurzel{2})}=-\bruch{1}{2*\wurzel{2}*y-4}+\bruch{1}{2*\wurzel{2}*y+4}[/mm]
>
> das sieht aber immernoch kompliziert zu integrieren aus
>
ok ich glaub ich habs:
[mm] \integral{\bruch{1}{2-y^2}dy}=\integral{-\bruch{1}{2*\wurzel{2}*y-4 }dy}+\integral{\bruch{1}{2*\wurzel{2}*y+4 }dy}=-\bruch{1}{2*\wurzel{2}}*ln(2*\wurzel{2}*y-4) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}*ln(2*\wurzel{2}y+4)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\wurzel{2}}*(ln(2*\wurzel{2}*y+4)-ln(2*\wurzel{2}*y-4))
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\wurzel{2}}*(\bruch{ln(2*\wurzel{2}*y)*ln(4)}{ln(2*\wurzel{2}*y-4)})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\wurzel{2}}*(\bruch{ln(2*\wurzel{2}*y)*ln(4)}{\bruch{ln(2*\wurzel{2}*y)}{ln(4)}})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\wurzel{2}}*ln^2(4)
[/mm]
ist das richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Di 26.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
> Hallo BlubbBlubb!
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> >
> [mm]=\bruch{1}{2*\wurzel{2}}*(ln(2*\wurzel{2}*y+4)-ln(2*\wurzel{2}*y-4))[/mm]
>
> Bis hierher sieht es gut aus. Dann wird es (mathematischer)
> Horror ... ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
:D :P stimmt hab die logarithmengesetze vollkommen versemmelt :D , das ist echt brutal was ich da angestellt hab ^^
thx für eure hilfe
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Partialbruchzerlegung
Logarithmusgesetze