Einfache Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | Sind [mm] a,\varepsilon \in \IR [/mm] mit [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so gilt
[mm] [a-\varepsilon, a+\varepsilon] [/mm] = {x [mm] \in \IR||x-a| \le \varepsilon [/mm] }
Der obige Ausdruck soll bewiesen werden. |
Hallo zusammen, ich beschäftige mich gerade mit der o. g. Aufgabe.
Folgendes: Wir beschäftigen uns gerade mit Folgen und Konvergenzen in der Vorlesung.
Zunächst mal eine Verständnisfrage:
In Worten gefasst steht da oben: Das geschlossene Intervall von ... bis... ist gleich der Menge x für die gilt |x-a| [mm] \le \varepsilon. [/mm] Right? ^^
Die Ungleichung ähnelt ja im Prinzip genau der "Abstandsungleichung" [mm] |a_n [/mm] - [mm] x_0| \le \varepsilon. [/mm] Im Rahmen der Vorlesung wurden dann diverse Wiederspruchsbeweise mit Hilfe der Dreiecksungleichung durchgeführt (z. B.: das jede Folge nur einen Grenzwert hat....)
Meine Frage: Löst man in diesem Fall auch die Aufgabe durch einen Wiederspruchsbeweis? Und wenn ja - das klingt jetzt blöd - aber: Welchen Wiederspruch muss ich denn hier zeigen?
Vielen Dank für die Hilfe!
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> Sind [mm]a,\varepsilon \in \IR[/mm] mit [mm]\varepsilon[/mm] > 0, so gilt
>
> [mm][a-\varepsilon, a+\varepsilon][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {x [mm]\in \IR||x-a| \le \varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Hallo,
zeigen mußt Du
1.
[mm]x\in [a-\varepsilon, a+\varepsilon][/mm] ==> [mm]x\in \{x \in \IR||x-a| \le \varepsilon \}[/mm]
und
2.
[mm] $x\in \{x \in \IR||x-a| \le \varepsilon \}$ [/mm] ==> [mm] $x\in [a-\varepsilon, a+\varepsilon]$
[/mm]
Zu 1.:
Sei [mm] $x\in [a-\varepsilon, a+\varepsilon]$.
[/mm]
Dann ist [mm] a-\varepsilon\le x\le a+\varepsilon
[/mm]
==> ...
Zu 2.:
Sei [mm] x\in \{x \in \IR||x-a| \le \varepsilon \}
[/mm]
Dann gilt
|x-a| [mm] \le \varepsilon.
[/mm]
==>
[mm] ...\le x-a\le [/mm] ...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo vielen Dank für die Antwort!
zu 1: [mm] x\in [a-\varepsilon, a+\varepsilon] \Rightarrow a-\varepsilon\le x\le a+\varepsilon
[/mm]
Kann ich hier jetzt z. B. sagen sei x = [mm] \dfrac{1}{a}. [/mm]
Dann ist x [mm] \ge a-\varepsilon. [/mm]
Hilft mir das hier eigentlich weiter? Oder brauche ich hier zwei Fälle? Für a >1 und a<1?
Vielen vielen Dank für den Tip! Ich weiß auf alle Fälle jetzt "worum" es geht!
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Hallo Sauri,
> Hallo vielen Dank für die Antwort!
>
> zu 1: [mm]x\in [a-\varepsilon, a+\varepsilon] \Rightarrow a-\varepsilon\le x\le a+\varepsilon[/mm]
>
> Kann ich hier jetzt z. B. sagen sei x = [mm]\dfrac{1}{a}.[/mm]
Nein, wieso solltest du das können? [mm]x[/mm] ist doch eine beliebige von den unendlich vielen Zahlen aus [mm][a-\varepsilon,a+\varepsilon][/mm]
Subtrahiere mal in der obigen Ungleichungskette überall [mm]a[/mm] ....
> Dann ist x [mm]\ge a-\varepsilon.[/mm]
>
> Hilft mir das hier eigentlich weiter? Oder brauche ich hier
> zwei Fälle? Für a >1 und a<1?
Nein
>
> Vielen vielen Dank für den Tip! Ich weiß auf alle Fälle
> jetzt "worum" es geht!
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Also in der Ganzen Kette "-a"
[mm] a-\varepsilon\ [/mm] -a [mm] \le x-a\le a+\varepsilon [/mm] -a
[mm] \Rightarrow -\varepsilon \le [/mm] x-a [mm] \le \varepsilon
[/mm]
so jetzt schauts ja schon etwas aus wie die Ursprungsgleichung. Muss man jetzt das [mm] -\varepsilon [/mm] auch noch wegbekommen?
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Hallo nochmal,
> Also in der Ganzen Kette "-a"
>
> [mm]a-\varepsilon\[/mm] -a [mm]\le x-a\le a+\varepsilon[/mm] -a
>
>
> [mm]\Rightarrow -\varepsilon \le[/mm] x-a [mm]\le \varepsilon[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> so jetzt schauts ja schon etwas aus wie die
> Ursprungsgleichung. Muss man jetzt das [mm]-\varepsilon[/mm] auch
> noch wegbekommen?
Nein, du musst zeigen, dass dieses [mm]x[/mm] in der Menge [mm]\{x\in\IR:|x-a|\le\varepsilon\}[/mm] ist.
Was bedeutet es denn für ein [mm]x\in\IR[/mm], in dieser Menge zu sein?
Dass [mm]|x-a|<\varepsilon[/mm] ist.
Das drösel mal auf, dann siehst du dass das bel. gewählte [mm]x\in[a-\varepsilon,a+\varepsilomn][/mm] es wohl tut!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 So 28.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Also |x-a| [mm] \le \varepsilon [/mm] wird wohl irgendein Abstand sein. #
Ich vermute einfach mal das der Abstand zur Intervalgrenze immer gleich ist. Kein x kann außerhalb liegen?
Ist der Weg der richtige?
Vielen Dank für den Tip!
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> Also |x-a| [mm]\le \varepsilon[/mm] wird wohl irgendein Abstand
> sein.
Hallo,
Du mußt Dir unbedingt angewöhnen, nicht zu spekulieren und zu schwadronieren.
Gearbeitet wird in der Mathematik mit Sätzen und Definitionen.
Die Aussagen, mit denen Du es am Anfang Deines Studiums in den Übungen zu tun hast, sind meist keine besonders aufregenden. Sie dienen dazu, daß Du lernst, streng zu denken und den Dir zur Verfügung stehenden Apparat an Definitionen etc. zu nutzen.
Wenn Du wissen willst, was es mit [mm] |x-a|\le \varepsilon [/mm] auf sich hat,
tust Du gut daran, erstmal zu schauen, wie der Betrag definiert ist.
Ich denke nicht, daß in dieser Definition irgendwas von "Abstand" vorkam...
Es ist [mm]|y|:=\begin{cases} ..., & \mbox{fuer } \\
..., & \mbox{fuer } \end{cases}.[/mm]
Also ist
[mm] $|x-a|:=\begin{cases} ..., & \mbox{fuer } \\ ..., & \mbox{fuer } \end{cases}.$
[/mm]
Also gilt
[mm] ...\le x-a\le [/mm] ... .
(Du hast natürlich recht, wenn Du sagst, daß das anschaulich etwas mit "Abstand" zu tun hat. Insofern war es etwas böse von mir, das als "schwadronieren" zu bezeichnen.
[mm] |x-a|\le \varepsilon [/mm] sagt:x hat von a höchstens den Abstand [mm] \varepsilon.)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 So 28.10.2012 | | Autor: | Sauri |
[mm] |y|:=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x\ge 0, & -x \mbox{ falls }x < 0 \end{cases}
[/mm]
[mm] |x-a|:=\begin{cases} x-a, &\mbox{falls} x\ge 0, &a-x \mbox{ falls } x<0 \end{cases}
[/mm]
[mm] \overbrace{-\varepsilon}^{0} \le x-a\le \varepsilon
[/mm]
Okay danke für den Hinweis! Muss man den jetzt hier auch eine Fallunterscheidung machen |x-a| [mm] \ge [/mm] 0 und |a-x| > 0 ?
Danke danke für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 28.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Also wir wissen ja, aus der Definition des Betrags, dass |x-a| = x-a ist, wenn x-a [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Also gilt:
0 [mm] \le [/mm] x-a [mm] \le \varepsilon
[/mm]
In der Menge sind dann also x deren Abstand zu a größer ist als 0.
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 So 28.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Also wir wissen ja, aus der Definition des Betrags, dass
> |x-a| = x-a ist, wenn x-a [mm]\ge[/mm] 0 ist.
Ja.
>
> Also gilt:
>
> 0 [mm]\le[/mm] x-a [mm]\le \varepsilon[/mm]
>
> In der Menge sind dann also x deren Abstand zu a größer
> ist als 0.
Alle Punkte, außer x selber haben zu x einen positiven Abstand. Wichtig ist, dass der Abstand kleiner also das [mm] \varepsilon [/mm] sein muss.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 So 28.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Jo genau!
Also ist x immer dann Teil der Menge, wenn der Abstand |a-x| positiv ist. Der Abstand selber kann aber maximal [mm] \varepsilon [/mm] sein.
Wie "zeige" oder beweise ich das denn am besten? Z.B.:
sei x [mm] \in [a-\varepsilon, a+\varepsilon] [/mm]
[mm] \Rightarrow a-\varepsilon \le [/mm] x [mm] \le a+\varepsilon [/mm] | -a
[mm] \Rightarrow \varepsilon \le [/mm] a-x [mm] \le \varepsilon
[/mm]
Aber zeigt das denn schon, dass x auch [mm] \in [/mm] {|x-a| [mm] \le \varepsilon [/mm] } ist?
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 So 28.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Jo genau!
>
> Also ist x immer dann Teil der Menge, wenn der Abstand
> |a-x| positiv ist. Der Abstand selber kann aber maximal
> [mm]\varepsilon[/mm] sein.
>
> Wie "zeige" oder beweise ich das denn am besten? Z.B.:
>
> sei x [mm]\in [a-\varepsilon, a+\varepsilon][/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a-\varepsilon \le[/mm] x [mm]\le a+\varepsilon[/mm] | -a
>
> [mm]\Rightarrow \varepsilon \le[/mm] a-x [mm]\le \varepsilon[/mm]
Links hast du ein - übersehen
>
> Aber zeigt das denn schon, dass x auch [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{|x-a| [mm]\le \varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } ist?
Ja, denn wenn du den Betrag auflöst, wird aus
$|x-a|\le \varepsilon$
entweder:
$x-a\le \varepsilon$
oder
-(x-a)\le\varepsilon.
Setze das mal in Verbindung mit $-\varepsilon \le a-x \le \varepsilon$
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 So 28.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Hey danke für den Hinweis! Für |x-a| [mm] \ge [/mm] 0 gilt x-a. Das heißt das in diesem Fall, dass x > a ist.
Ist |x-a| < 0, so heißt das a-x. Also ist hier a > x.
jetzt ist halt die Frage: für |x-a| < 0 gild -(x-a) [mm] \le \varepsilon. [/mm] Jetzt ändert sich ja quasi die Ungleichung wenn ich mit -1 multipliziere in a-x [mm] \ge \varepsilon. [/mm] Und es würde gelten:
[mm] \varepsilon \le [/mm] a-x [mm] \ge -\varepsilon
[/mm]
Vielen Vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Hey danke für den Hinweis! Für |x-a| [mm]\ge[/mm] 0 gilt x-a. Das
> heißt das in diesem Fall, dass x > a ist.
>
> Ist |x-a| < 0, so heißt das a-x. Also ist hier a > x.
Genau.
Wir wissen [mm] $-\varepsilon\le x-a\le\varepsilon$ [/mm] und wollen [mm] $|x-a|\le\varepsilon$ [/mm] zeigen.
> jetzt ist halt die Frage: für |x-a| < 0 gild -(x-a) [mm]\le \varepsilon.[/mm]
Das ist gerade zu zeigen.
Aus der Ungleichung [mm] $-\varepsilon\le [/mm] x-a$ folgt gerade (z.B. durch Addition von [mm] $\varepsilon$-(x-a)) [/mm] auf beiden Seiten die gesuchte Ungleichung [mm] $-(x-a)\le\varepsilon$.
[/mm]
> Jetzt ändert sich ja quasi die Ungleichung wenn ich mit -1
> multipliziere in a-x [mm]\ge \varepsilon.[/mm]
Du hast auf der linken Seite vergessen, mit -1 zu multiplizieren.
Damit hätten wir die Inklusion [mm] $[a-\varepsilon,a+\varepsilon]\subseteq\{x\in\IR\;|\;|x-a|\le\varepsilon\}$ [/mm] gezeigt.
Bleibt noch die andere Inklusion zu betrachten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 So 28.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo tobit09 vielen Dank für die Hilfe!
Ich schreibe der Vollständigkeit mal den ersten Teil komplett hin:
sei x [mm] \in [a-\varepsilon,a+\varepsilon] \Rightarrow a-\varepsilon \le [/mm] x [mm] \le a+\varepsilon. [/mm] Wir suptrahieren a und erhalten dann: [mm] -\varepsilon \le [/mm] x-a [mm] \le \varepsilon. [/mm]
Wir wissen [mm] -\varepsilon\le x-a\le\varepsilon [/mm] und wollen [mm] |x-a|\le\varepsilon [/mm] zeigen. Und wegen des Betrages gibt es jetzt zwei Fälle (Betrag [mm] \ge [/mm] 0 und Betrag < 0).
Im ersten Fall bleibt die Ungleichung bestehen: [mm] -\varepsilon \le [/mm] x-a [mm] \le \varepsilon
[/mm]
Im zweiten Fall ändert sie sich: [mm] -\varepsilon \le [/mm] -(x-a) [mm] \le \varepsilon.
[/mm]
Wir multiplizieren mit -1 und erhalten: [mm] \varepsilon \le [/mm] x-a [mm] \le -\varepsilon.
[/mm]
In beiden Fällen gilt also [mm] |x-a|\le\varepsilon [/mm] und es ist:
[mm] [a-\varepsilon,a+\varepsilon]\subseteq\{x\in\IR\;|\;|x-a|\le\varepsilon\}
[/mm]
Vielen vielen Dank für die Hilfe nochmal. Hoffentlich wird der zweite Beweisteil nicht noch schwieriger! ^^ Vielen vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich schreibe der Vollständigkeit mal den ersten Teil
> komplett hin:
Gute Idee!
>
> sei x [mm]\in [a-\varepsilon,a+\varepsilon] \Rightarrow a-\varepsilon \le[/mm]
> x [mm]\le a+\varepsilon.[/mm] Wir suptrahieren a und erhalten dann:
> [mm]-\varepsilon \le[/mm] x-a [mm]\le \varepsilon.[/mm]
>
> Wir wissen [mm]-\varepsilon\le x-a\le\varepsilon[/mm] und wollen
> [mm]|x-a|\le\varepsilon[/mm] zeigen.
> Und wegen des Betrages gibt es
> jetzt zwei Fälle (Betrag [mm]\ge[/mm] 0 und Betrag < 0).
Der Betrag ist immer [mm] $\ge0$. [/mm] Vielmehr könnte $x-a$ entweder [mm] $\ge0$ [/mm] oder $<0$ sein.
> Im ersten Fall bleibt die Ungleichung bestehen:
> [mm]-\varepsilon \le[/mm] x-a [mm]\le \varepsilon[/mm]
> Im zweiten Fall ändert sie sich: [mm]-\varepsilon \le[/mm] -(x-a)
> [mm]\le \varepsilon.[/mm]
Die Ungleichung bleibt in jedem Fall bestehen.
Einen Unterschied gibt es nur für die zu zeigende Ungleichung [mm] $|x-a|\le\varepsilon$.
[/mm]
> Wir multiplizieren mit -1 und erhalten:
> [mm]\varepsilon \le[/mm] x-a [mm]\le -\varepsilon.[/mm]
Die Ungleichheitszeichen drehen sich um!
> In beiden Fällen gilt also [mm]|x-a|\le\varepsilon[/mm]
Das hast du noch nicht gezeigt.
Im Falle [mm] $x-a\ge [/mm] 0$ gilt [mm] $|x-a|=x-a\le\varepsilon$.
[/mm]
Im Falle $x-a<0$ gilt [mm] $|x-a|=-(x-a)\le\varepsilon$, [/mm] wobei die Ungleichung [mm] $-(x-a)\le\varepsilon$ [/mm] aus [mm] $-\varepsilon\le [/mm] x-a$ folgt (z.B. durch Addition von [mm] $\varepsilon-(x-a)$ [/mm] auf beiden Seiten).
> und es ist:
>
> [mm][a-\varepsilon,a+\varepsilon]\subseteq\{x\in\IR\;|\;|x-a|\le\varepsilon\}[/mm]
Insgesamt schön ausführlich aufgeschrieben! Da könnten sich viele andere ein Beispiel dran nehmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 28.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Jo dankeschön! Jetzt ist der erste Teil ja zum Glück komplett.
zum zweiten Teil:
sei x [mm] \in [/mm] {x [mm] \in \IR [/mm] | |x-a| [mm] \le \varepsilon} \Rightarrow [/mm] |x-a| [mm] \le \varepsilon
[/mm]
Wir haben in diesem Fall wieder zwei Fälle
1. |x-a| [mm] \ge [/mm] 0
2. |x-a| < 0
zu1:
x-a [mm] \le \varepsilon. [/mm] Das kann ich umformen zu:
x [mm] \le [/mm] a + [mm] \varepsilon. [/mm] Und weil x [mm] \le [/mm] a + [mm] \varepsilon [/mm] ist, ist es auch Teil vom Intervall [mm] [a-\varepsilon, a+\varepsilon]. [/mm]
zu2:
a-x [mm] \le \varepsilon. [/mm] Kann ich umformen zu -x [mm] \le \varepsilon [/mm] - a.
Also ist auch -x vom Intervall erfasst.
Und alles ist gezeigt? :)
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> Jo dankeschön! Jetzt ist der erste Teil ja zum Glück
> komplett.
>
> zum zweiten Teil:
>
> sei x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{x [mm]\in \IR[/mm] | |x-a| [mm]\le \varepsilon \} \Rightarrow[/mm]
> |x-a| [mm]\le \varepsilon[/mm]
>
> Wir haben in diesem Fall wieder zwei Fälle
Hallo,
ja.
> 1. |x-a| [mm]\ge[/mm] 0
> 2. |x-a| < 0
Nein, das sind nicht die beiden Fälle.
Der Betrag einer Zahl ist niemals negativ.
Die beiden Fälle sind
1. [mm] x-a\ge [/mm] 0, also [mm] x\ge [/mm] a, dann ist |x-a|=x-a
2. x-a< 0, dann ist |x-a|=-(x-a).
>
> zu1:
>
|x-a|=
> x-a [mm]\le \varepsilon.[/mm] Das kann ich umformen zu:
> x [mm]\le[/mm] a + [mm]\varepsilon.[/mm] Und weil x [mm]\le[/mm] a + [mm]\varepsilon[/mm] ist,
und [mm] a-\varepsilon [/mm] < a [mm] \le [/mm] x,
> ist es auch Teil vom Intervall [mm][a-\varepsilon, a+\varepsilon].[/mm]
Du meinst: "Element des Intervalls".
>
> zu2:
|x-a|=
> a-x [mm]\le \varepsilon.[/mm] Kann ich umformen zu -x [mm]\le \varepsilon[/mm]
> - a.
Hier müßte noch was kommen. Immerhin wollen wir etwas über x wissen und nicht über -x.
> Also ist auch -x vom Intervall erfasst.
???
Wir wollen wissen, ob x im Intervall liegt.
>
> Und alles ist gezeigt? :)
Der Teil 1. ist bis auf den unglücklichen Start, die Fallunterscheidungen, die Du vielleicht "irgendwie" richtig meintest, jetzt richtig.
Teil 2. mußt Du überarbeiten.
LG Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 28.10.2012 | | Autor: | Sauri |
zu1)
|x-a|=x-a also x-a [mm] \le \varepsilon \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] a + [mm] \varepsilon [/mm] < a [mm] \le [/mm] x
zu2)
|x-a| = -(x-a) [mm] \Rightarrow [/mm] a-x [mm] \le \varepsilon \Rightarrow [/mm] -x [mm] \le \varepsilon [/mm] -a
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] a - [mm] \varepsilon
[/mm]
Also ist auch -(x-a) Element des Intervalls. Ich hab irgendwie zwei mal [mm] a+\varepsilon. [/mm] Weil ich bei 1) irgendwie anders umgeformt habe?
Vielen vielen vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 28.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Sorry ich komme gerade nicht drauf.
zu1) a [mm] \le [/mm] x
das heißt der Betrag ändert sich nicht weil "höchstens" null sein kann oder?
hier steht also x-a [mm] \le \varepsilon?
[/mm]
Wie komme ich denn dann auf: [mm] a-\varepsilon\le [/mm] x ?
Das gleiche für zu2) wie muss ich denn da umformen?
für -(x-a) ist doch schon gezeigt oder? Wie forme ich denn dann um, so dss trotzdem [mm] x\le a+\varepsilon [/mm] entsteht!
Vielen Dank tobit für die Hife!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> zu1) a [mm]\le[/mm] x
>
> das heißt der Betrag ändert sich nicht weil "höchstens"
> null sein kann oder?
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Ich verstehe leider nur Bahnhof...
> hier steht also x-a [mm]\le \varepsilon?[/mm]
> Wie komme ich denn
> dann auf: [mm]a-\varepsilon\le[/mm] x ?
Vergiss alles drumherum außer [mm] $a\le [/mm] x$. Es gilt wegen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] die Ungleichung [mm] $-\varepsilon<0$ [/mm] und damit
[mm] $a-\varepsilon=a+(-\varepsilon)
> Das gleiche für zu2) wie muss ich denn da umformen?
> für -(x-a) ist doch schon gezeigt oder? Wie forme ich denn
> dann um, so dss trotzdem [mm]x\le a+\varepsilon[/mm] entsteht!
Beginne mit
[mm] $x
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:04 So 28.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Ich bekomms' heute nicht mehr hin! Ich schreib morgen noch mal!
In jedem Fall sehr vielen Dank!!!!!
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Alles klar, bis morgen! 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 So 28.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]|y|:=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x\ge 0, & -x \mbox{ falls }x < 0 \end{cases}[/mm]
>
>
> [mm]|x-a|:=\begin{cases} x-a, &\mbox{falls} x\ge 0, &a-x \mbox{ falls } x<0 \end{cases}[/mm]
>
>
> [mm]\overbrace{-\varepsilon}^{0} \le x-a\le \varepsilon[/mm]
>
> Okay danke für den Hinweis! Muss man den jetzt hier auch
> eine Fallunterscheidung machen |x-a| [mm]\ge[/mm] 0 und |a-x| > 0 ?
Nein, mach dir mal klar, was mit der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um einen Punkt gemeint ist.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Sauri,
> [mm]|y|:=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x\ge 0, & -x \mbox{ falls }x < 0 \end{cases}[/mm]
Auf der rechten Seite müsste es y statt x heißen.
> [mm]|x-a|:=\begin{cases} x-a, &\mbox{falls } x\red{-a}\ge 0, \\a-x &\mbox{falls } x\red{-a}<0 \end{cases}[/mm]
> Okay danke für den Hinweis! Muss man den jetzt hier auch
> eine Fallunterscheidung machen |x-a| [mm]\ge[/mm] 0 und |a-x| > 0 ?
Das nicht, aber eine Fallunterscheidung nach [mm] $x-a\ge [/mm] 0$ und $x-a<0$.
Viele Grüße
Tobias
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