Einfache Stammfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 So 22.03.2009 | | Autor: | powerKid |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral.
[mm] \integral_{-2}^{0}{(-2/(1-x)^3 dx} [/mm] |
Die Funktion ist also [mm] -2/(1-x)^3 [/mm] = -2*(1-x)^-3.
Ich habe daraus gebildet [ (-2/-2)*(1-x)^-2 ] -> die Stammfunktion lautet also [mm] [1/(1-x)^2].
[/mm]
Die richtige Lösung wäre aber [mm] -1/(1-x)^2.
[/mm]
Was mache ich falsch?
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Hallo powerKid,
> Berechnen Sie das Integral.
> [mm]\integral_{-2}^{0}{(-2/(1-x)^3 dx}[/mm]
> Die Funktion ist also
> [mm]-2/(1-x)^3[/mm] = -2*(1-x)^-3.
>
> Ich habe daraus gebildet [ -2/-2*(1-x)^-2 ] -> die
> Stammfunktion lautet also [mm][1/(1-x)^2].[/mm]
Leite mal ab (innere Ableitung beachten!)
>
>
> Die richtige Lösung wäre aber [mm]-1/(1-x)^2.[/mm]
>
> Was mache ich falsch?
Du hast ein [mm] $\cdot{}(-1)$ [/mm] unterschlagen, das sich aus der inneren Funktion $(1-x)$ ergibt.
[mm] $f(x)=-2\cdot{}(1-x)^{-3}\Rightarrow F(x)=\frac{-2}{-2}\cdot{}(1-x)^{-2}\red{\cdot{}(-1)}$ [/mm] ...
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 So 22.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie das Integral.
> [mm]\integral_{-2}^{0}{(-2/(1-x)^3 dx}[/mm]
> Die Funktion ist also
> [mm]-2/(1-x)^3[/mm] = -2*(1-x)^-3.
>
> Ich habe daraus gebildet [ (-2/-2)*(1-x)^-2 ] -> die
> Stammfunktion lautet also [mm][1/(1-x)^2].[/mm]
>
>
> Die richtige Lösung wäre aber [mm]-1/(1-x)^2.[/mm]
>
> Was mache ich falsch?
selbstverständlich hat Schachuzipus eigentlich schon erklärt, was Du falsch gemacht hast und wie Du das nachprüfen kannst.
Der direkte Weg würde über eine Substitution laufen, z.B. mit [mm] $y\,=\,y(x)\,:=\,1-x$ [/mm] gilt [mm] $\text{d}y=-\text{d}x$ [/mm] bzw. [mm] $\text{d}x=-\text{d}y$ [/mm] und somit folgt
[mm] $$\int_{-2}^{0} -2/(1-x)^3dx=\int_{-2}^{0} -2*(1-x)^{-3}\text{d}x=\int_{y(-2)}^{y(0)} -2*y^{-3}\;(-\text{d}y)=2\int_{3}^{1} y^{-3}\text{d}y\,.$$
[/mm]
Bzw. wenn es nur um eine Stammfunktion zu $x [mm] \mapsto -2/(1-x)^3$ [/mm] geht
[mm] $$\int -2/(1-x)^3dx=\int -2*(1-x)^{-3}\text{d}x=\int -2*y^{-3}\;-\text{d}y$$
[/mm]
[mm] $$=2\int y^{-3}\text{d}y=-\,y^{-2}\;\underset{Resubstitution\;y=(1-x)}{=}\,-(1-x)^{-2}=-1/(1-x)^2\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 So 22.03.2009 | | Autor: | powerKid |
Vielen Dank für eure Hilfe!
Die innere Ableitung vergessen....was für ein dämlicher Schusselfehler!
Danke! :D
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