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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Kurvenschar mit der Gleichung [mm] f_{k}(x)=x²+kx-k [/mm] (k [mm] \in \IR).
[/mm]
...
d) Geben sie ein k an, für das der Graf der Funktion eine, zwei, keine Nullstelle hat. |
Hiho, Leute!
Naja, ich komme zwa auch ein richtiges Ergebnis, aber nur durch Methode "scharfer Blick".
0=x²+kx-k
[mm] x_{1,2}: [/mm] - [mm] \bruch{k}{2}\pm\wurzel{\bruch{k²}{4}+k}
[/mm]
Dann hab ich natürlich der Ausdruck unter der Wurzel betrachtet und musste nun schauen, wann er kleiner, größer, gleich 0 wird.
[mm] \bruch{k²}{4}+k=0
[/mm]
k²+4k=0
k(k+4)=0
k=0, k=-4. Bis hier hin ja easy (auch mit beweisen etc.)
Nun zu den Ungleichungen:
[mm] \bruch{k²}{4}+k>0
[/mm]
k²+4k>0
k(k+4)>0
Wie könnte ich hier weitermachen?
:(k+4) würde mir k>0 bringen, was ja auch stimmt. [mm] (\{4} [/mm] natürlich)
:k bringt mir k>-4, was aber nicht stimmt. Stattdessen stimmt k<-4.
[mm] \bruch{k²}{4}+k<0
[/mm]
k²+4k<0
k(k+4)<0
Es kann ja nur das herauskommen, was übrig bleibt, oder? also
-4<k<0.
Aber wie kann ich das besser beweisen?
Vielen Dank für Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Teufel,
wenn du bei k(k+4)>0 angekommen bist, verfährst du folgendermassen:
Du hast ein Produkt.Wann ist das Produkt positiv?
Wenn
1: beide Faktoren positiv sind
oder
2: beide negativ sind.
Im 1.Fall also k>0 und [mm] k+4>0\gdw [/mm] k>-4 . Diese beiden Bedingungen lassen sich zu k>0 zusammenfassen (denn dann ist automatisch auch k>-4)
Im 2.Fall: k<0 und [mm] k+4<0\gdw [/mm] k<-4. Diese beiden Bedingungen lassen sich zu k<-4 zusammenfassen.
Insgesamt hast du k(k+4)>0 für k>0 oder k<-4
Genauso kannst du auch für k(k+4)<0 verfahren.
Schneller gehts aber so: k(k+4)<0 genau da, wo es nicht positiv ist, also für -4<k<0 .
Eine weitere Alternative: [mm] k(k+4)=k^2+4k [/mm] ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist. Nachdem du die NST bestimmt hast (k=0 und k=-4) ist dann klar, dass sie zwischen den NSTen unterhalb der x-Achse liegt, dort also negativ ist.(und da die NSt einfach sind(d.h. dort liegt ein Vorzeichenwechsel vor), ansonsten positiv)
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Teufel |
Ah klasse, danke dir :) Das mit dem Zusammenfassen hab ich noch nie gemacht und es hat mich etwas verwirrt. Aber jetzt ist mir ja alles klar! Danke.
Könnte ich auch mit der Ortskurve der Tiefpunkt argumentieren? Diese ist ja eine nach unten geöffnete Parabel (könnte man noch ausrechnen, hab ich aber jetzt keine Lust zu :)). Zwischen ihren Nullstellen sind also die y-Werte der Tiefpunkte der Funktion [mm] f_{k}(x)>0 [/mm] und da diese nach oben geöffnete Parabeln sind gibt es keine Nullstellen.
Naja, aber wie dem auch sei, ich schaffs jetzt sicher.
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