Einfaches Integral: Widerstand < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Sa 23.02.2013 | | Autor: | jackyooo |
Nabend.
Ich will den Widerstand berechnen.
Der Widerstand ist eines Halbzylinders der Länge l mit dem Radius [mm] r_0 [/mm] berechnen.
Es gilt:
[mm] $$\kappa(\phi )=\kappa [/mm] _0 [mm] \cos^2(\phi [/mm] )$$
Allgemein gilt ja:
[mm] $$R=\frac{l}{\kappa A}$$
[/mm]
Nur hab ich schwierigkeiten, das auf das Volumen zu übertragen.
Mein Ansatz [mm] ist:$$R=\int{\frac{l}{\kappa _0 \cos^2(\phi ) A}d\phi}=\frac{2l}{\kappa _0 \pi r^2}\int{\frac{d\phi }{\cos^2(\phi)}}$$
[/mm]
Stimmt der Ansatz? Wie komme ich jetzt weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Sa 23.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo jackyooo!
Zumindest zum Integral ein Tipp: betrachte mal die Ableitung der Tangens-Funktion (siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier).
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Sa 23.02.2013 | | Autor: | GvC |
Nach Deinen Angaben ist nur eine Durchströmung in axialer Richtung denkbar. Dann liegen die infinitesimal kleinen Teilelemente aber nicht in Reihe sondern parallel zueinander. Es sind also nicht infinesimal kleine Widerstände zu addieren (die gibt es nämlich gar nicht, da die infinitesimal kleinen Elemente einen unendlich hohen Widerstand haben), sondern infinitesimal kleine Leitwerte, woraus sich dann der Gesamtleitwert ergibt. Dessen Kehrwert ist der gesuchte Widerstand.
[mm]dG=\frac{\kappa(\varphi)\cdot dA}{l}[/mm]
[mm]G=\int dG=\int \frac{\kappa\cdot dA}{l}[/mm]
Integrationsgrenzen habe ich erstmal nicht eingesetzt, weil die sich automatisch ergeben, sobald Du herausgefunden hast, was Du für dA einzusetzen hast.
Du musst nun überlegen, wie die Elemente gleicher Länge l aussehen, aus denen sich dieser Halbzylinder zusammensetzt. Sie müssen jedenfalls so gewählt sein, dass ihre jeweilige Leitfähigkeit konstant ist. Da die abhängig von [mm] \varphi [/mm] ist, bleibt nur übrig, solche Elemente zu wählen, die praktisch konstantes [mm] \varphi [/mm] haben. Das sind unendlich viele infinitesimal schmale "Tortenstückchen" der "Dicke" l, die bzgl. des Stromes alle parallel liegen. Deine Aufgabe ist es nun, herauszufinden, wie groß die infinitesimal kleine Fläche dieser Tortenstücke ist, die Du dann in die Gleichung für G einsetzen kannst.
Übrigens: Wie Du bei der Querschnittsfläche eines Halbzylinders auf eine Vollkreisfläche kommst, bleibt schleierhaft. Und warum Du zunächst einen Widerstand mit Leitfähigkeit [mm] \kappa_0 [/mm] (falsch) berechnest und dann noch mit [mm]\int \frac{d\varphi}{\cos^2{\varphi}}[/mm] multiplizierst, eröffnet die Frage, ob Du das physikalische Szenario überhaupt erkannt hast. Formeln alleine bedeuten überhaupt nichts (das geht auch an die Adresse von Loddar). Sie bekommen erst eine Bedeutung, wenn sie die gegebene Aufgabenstellung auch wirklich beschreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Sa 23.02.2013 | | Autor: | jackyooo |
Hey, das ist super aufschlussreich, danke für die saubere Ausformulierung.
Ich hab das jetzt soweit ich das verstanden hab umgesetzt, jedoch fliegt jetzt wegen dem Integral von [mm] \cos [/mm] ^2(x) und den Grenzen [mm] \pi [/mm] und 0 das komplette Integral raus.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wo ist der Fehler? (das in dem Kasten ist die Mathematische Umformung fürs Integral von [mm] \cos [/mm] ^2(x).
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Sa 23.02.2013 | | Autor: | GvC |
Ich hab' nicht alles überprüft. Aber irgendwo hast Du einen Fehler gemacht. Ich würde vor der Integration das folgende Additionstheorem anwenden, welches man sich auch selber an einer kleinen Skizze herleiten kann:
[mm]\cos^2{\varphi}=\frac{1}{2}\cdot (1+\cos{(2\varphi)})[/mm]
Das lässt sich viel einfacher integrieren.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:01 Sa 23.02.2013 | | Autor: | jackyooo |
hat sich erledigt. Kann Post nicht löschen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Sa 23.02.2013 | | Autor: | jackyooo |
Quatsch, hab mich einfach blöd verrechnet. Das Integral passt.
[mm]G=\frac{\kappa }{l} \begin{bmatrix} \frac{\sin(\varphi) \cos(\varphi)+x}{2}\end{bmatrix}_0^\pi \frac{r_a^2}{2}=\frac{\kappa _0 \pi r_a ^2}{4l}[/mm]
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