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| Aufgabe | [mm] \IR [/mm] wurde in der Vorlesung als die Äquivalenzklassen der monoton wachsenden beschränkten Folgen aus [mm] \IQ [/mm] eingführt. Die Äquivalenzrelation ist:
[mm] x_{n}\sim y_{n} \gdw [/mm] Für q [mm] \in \IQ [/mm] gilt: [mm] x_{n} \le [/mm] q [mm] \gdw y_{n} \le [/mm] q
Also wenn beide Folgen die gleichen oberen Schranken haben.
Hierzu sollte nun ein Algorithmus zum Bestimmen von [mm] x^{-1}, [/mm] also einem multiplikativ Inversen angegeben werden. Dieser sieht wie folgt aus:
Gesucht ist eine Folge [mm] s_{n} \in [/mm] [s], so dass s * x [mm] \sim [/mm] (1,1,.....1) . (Die Multiplikation ist schon definiert worden.)
Wir nehmen zunächst den Fall [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] x_{n} [/mm] > 0 für n [mm] \ge [/mm] N an.
Sei p [mm] \in \IQ [/mm] obere Schranke von [mm] x_{n} \in [/mm] [x] . Dann wähle [mm] s_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p} [/mm] . Für [mm] s_{1} [/mm] schaut man nun, ob [mm] \bruch {1}{s_{0} + \bruch{1}{2}} [/mm] eine obere Schranke von [mm] x_{n} [/mm] ist. Falls ja, dann nehme [mm] s_{0} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] als [mm] s_{1}, [/mm] falls nein, nehme [mm] s_{0}. [/mm] Im nächsten Schritt verkürzt man dann die Schrittweite falls gefordert auf [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und so weiter.
Das Problem an der ganzen Sache liegt nun am Ende. Zu zeigen bleibt, dass [mm] s_{n} [/mm] * [mm] x_{n} [/mm] := [mm] {max(0,s_{n}) * max(0,x_{n})} \sim [/mm] (1,1...,1) ist, also das beide Folgen die gleichen oberen Schranken haben. |
Guten Abend lieber Matheraum,
Vielleicht könnt ihr mir bei dem Problemchen ja weiterhelfen.
Die Rückrichtung ist klar, denn falls q eine obere Schranke der 1-Folge ist, dann ist 1 [mm] \le [/mm] q und [mm] s_{n} [/mm] * [mm] x_{n} [/mm] < [mm] s_{n} [/mm] * [mm] \bruch{1}{s_{n}} [/mm] = 1 [mm] \le [/mm] q .
Bei der Hinrichtung komme ich einfach auf keine Abschätzung. Denn wenn q eine obere Schranke von [mm] s_{n} [/mm] * [mm] x_{n} [/mm] ist, dann ist der Fall 1 [mm] \le [/mm] q klar, denn dann ist q trivialerweise obere Schranke von (1,1....1).
Daher müsste man jetzt die Annahme q < 1 zum Widerspruch führen.
Nur wie?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Liebe Grüße
Blueevan
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> [mm]\IR[/mm] wurde in der Vorlesung als die Äquivalenzklassen der
> monoton wachsenden beschränkten Folgen aus [mm]\IQ[/mm] eingeführt.
> Die Äquivalenzrelation ist:
> [mm]x_{n}\sim y_{n} \gdw[/mm] Für q [mm]\in \IQ[/mm] gilt: [mm]x_{n} \le q\gdw y_{n} \le q[/mm]
Da fehlen bestimmt gewisse Quantoren !
Oder was ist denn mit [mm] x_n [/mm] gemeint ? Eine Zahlenfolge oder das
n-te Glied einer Zahlenfolge ?
> Also wenn beide Folgen die gleichen oberen Schranken haben.
> Bei der Hinrichtung komme ich einfach auf keine Abschätzung.
(... aha, aber bei der Hinrichtung spielt doch das wahrscheinlich
auch keine Rolle mehr ...)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Blueevan |
Hallo,
Mit [mm] x_{n} [/mm] und [mm] y_{n} [/mm] sind monoton wachsende beschränkte Zahlenfolgen mit Elementen aus [mm] \IQ [/mm] gemeint.
Sonst würde der Begriff obere Schranke auch keinen Sinn machen.
Also, any suggestions für die Hinrichtung?
Grüße
blueevan
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Hallo,
falls ich das jetzt richtig verstanden habe, ist die Frage
folgende:
Eine gewisse "reelle Zahl" ist durch den Limes x einer
gewissen monoton steigenden und beschränkten Folge
[mm] _{n\in\IN} [/mm] bestimmt.
Gesucht ist ein Rezept, um aus der Folge [mm] _{n\in\IN} [/mm] eine
neue Folge [mm] _{n\in\IN} [/mm] zu konstruieren, die ebenfalls
monoton steigend und beschränkt ist und gegen den
Limes [mm] s=\frac{1}{x} [/mm] konvergiert.
(Natürlich muss man dann im eigentlichen Beweis
die hier zur Beschreibung verwendeten Bezeichnungen
reeller Zahlen wie x, s, [mm] \frac{1}{x} [/mm] vermeiden)
Habe ich das richtig interpretiert, oder kann man [mm]
[/mm]
auch als fallende monotone Folge einführen - das wäre
wahrscheinlich einfacher...
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:45 Di 10.11.2009 | | Autor: | Blueevan |
Hey,
Ja, das ist natürlich das Problem: Die Folge muss auch monoton wachsend und beschränkt mit Elementen aus [mm] \IQ [/mm] sein. Sonst wäre Sie ja gar nicht in der Grundmenge auf der die Äquivalenrelation definiert ist.
Die Folge ist ja auch schon richtig konstruiert mit Hilfe des o.g. Algorithmus.
Danke für die Mühe..
blueevan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 11.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hey,
Ich bin immernoch auf der Suche nach der richtigen Abschätzung.
Die Folge nähert sich ja offenbar von unten der 1 an, d.h. man müsste vermutlich ein Folgenglied konstruieren welches größer als q ist, also zwischen q und 1 liegt. Nur wie?
Vielen Dank für eure Hilfe.
blueevan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 14.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[offtopic]](/images/smileys/offtopic.gif "[offtopic]"){kind=small}
, konnt's mir aber nicht verkneifen 