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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Eingeschränkte Metrik
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Eingeschränkte Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Sa 17.05.2014
Autor: rollroll

Aufgabe
(X,d) metr. Raum und Y [mm] \subset [/mm] X versehen mit der eingeschränkten Metrik [mm] d_{Y}. [/mm]
Zeige:
a) Eine Teilmenge U [mm] \subset [/mm] Y ist genau dann offen in (Y, [mm] d_{Y}), [/mm] wenn eine in (X,d) offene Teilmenge V existiert mit U = V [mm] \cap [/mm] Y.
b) Eine Teilmenge K [mm] \subset [/mm] Y ist genau dann kompakt in (Y, [mm] d_{Y}) [/mm] wenn sie kompakt in (X,d) ist.

Hallo,

bei a) habe ich die Rückrichtung schon gezeigt. Bei die ersten Richtung hänge ich aber.

Sei U [mm] \subset [/mm] Y [mm] \subset [/mm] X offen in (Y, [mm] d_Y) [/mm]
Sei [mm] \epsilon [/mm] >0. Dann ist [mm] B_{epsilon}(y) \subset [/mm] U für alle y [mm] \in [/mm] U, wobei
[mm] B_{epsilon}(y) [/mm] = {x [mm] \in [/mm] Y| d(x,y) [mm] \le \epsilon} [/mm]
Wie mache ich dann weiter?

        
Bezug
Eingeschränkte Metrik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:19 Sa 17.05.2014
Autor: rollroll

Hilft bei b der Satz von Heine Borel oder ist es besser ueber Folgen zu argumentieren?

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Bezug
Eingeschränkte Metrik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:04 So 18.05.2014
Autor: rollroll

Hallo.

Gibt es keine Ideen. ?

Wäre euch wirklich sehr dankbar!

Bezug
        
Bezug
Eingeschränkte Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 So 18.05.2014
Autor: fred97


> (X,d) metr. Raum und Y [mm]\subset[/mm] X versehen mit der
> eingeschränkten Metrik [mm]d_{Y}.[/mm]
>  Zeige:
>  a) Eine Teilmenge U [mm]\subset[/mm] Y ist genau dann offen in (Y,
> [mm]d_{Y}),[/mm] wenn eine in (X,d) offene Teilmenge V existiert mit
> U = V [mm]\cap[/mm] Y.
>  b) Eine Teilmenge K [mm]\subset[/mm] Y ist genau dann kompakt in
> (Y, [mm]d_{Y})[/mm] wenn sie kompakt in (X,d) ist.
>  Hallo,
>  
> bei a) habe ich die Rückrichtung schon gezeigt. Bei die
> ersten Richtung hänge ich aber.
>  
> Sei U [mm]\subset[/mm] Y [mm]\subset[/mm] X offen in (Y, [mm]d_Y)[/mm]
>  Sei [mm]\epsilon[/mm] >0. Dann ist [mm]B_{epsilon}(y) \subset[/mm] U für
> alle y [mm]\in[/mm] U,


Das ist i.a. falsch.

Ist x [mm] \in [/mm] U, so ex. ein [mm] r_x>0: B_{r_x}(x) \cap [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] U.

Wobei [mm] B_{r_x}(x) =\{z \in X: d(x,z)
Zeige :

   [mm] $U=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)) \cap [/mm] Y$

FRED




> wobei
>  [mm]B_{epsilon}(y)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= {x [mm]\in[/mm] Y| d(x,y) [mm]\le \epsilon}[/mm]

>  Wie mache
> ich dann weiter?


Bezug
                
Bezug
Eingeschränkte Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 So 18.05.2014
Autor: rollroll

$ [mm] U=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)) \cap [/mm] Y $ [mm] =\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(y)). [/mm] Und damit wäre ja U schon offen in Y, oder?

Wie gehe ich bei b) vor? Welche Kompaktheits-Definition bringt einen da zum Ziel?

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Eingeschränkte Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 So 18.05.2014
Autor: fred97


> [mm]U=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)) \cap Y[/mm] [mm]=\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(y)).[/mm]


Nach dem 2. "=" steht kompletter Unsinn !!



Setze [mm] V:=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)). [/mm] Dann ist U = V [mm] \cap [/mm] Y. Ist V offen (in X) ?


> Und damit wäre ja U schon offen in Y, oder?
>  
> Wie gehe ich bei b) vor? Welche Kompaktheits-Definition
> bringt einen da zum Ziel?

Warum probierst Du das nicht aus ???


FRED


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Eingeschränkte Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 So 18.05.2014
Autor: rollroll

Ja, V ist offen in X als Vereinigung offener Mengen.

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Bezug
Eingeschränkte Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 So 18.05.2014
Autor: fred97


> Ja, V ist offen in X als Vereinigung offener Mengen.

Richtig

FRED


Bezug
                                                
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Eingeschränkte Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 So 18.05.2014
Autor: rollroll

Ich verstehe allerdings immer noch nicht ganz, was ich erhalte, wenn ich $ [mm] U=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)) \cap [/mm] Y $  bilde. Warum erhalte ich dann schon U?

Bezug
                                                        
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Eingeschränkte Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 So 18.05.2014
Autor: fred97


> Ich verstehe allerdings immer noch nicht ganz, was ich
> erhalte, wenn ich [mm]U=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)) \cap Y[/mm]
>  bilde. Warum erhalte ich dann schon U?


Komische Frage .....


Wir haben: $ [mm] B_{r_x}(x) \cap [/mm] $ Y $ [mm] \subseteq [/mm] $ U für jedes  x [mm] \in [/mm] U.

So, nun bemühe simpelste Mengenlehre und zeige:  [mm]U=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)) \cap Y[/mm]

FRED



Bezug
                                                                
Bezug
Eingeschränkte Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:57 Di 20.05.2014
Autor: rollroll

Danke!

zu b) Man braucht, da wir uns ja nicht im [mm] IR^n [/mm] befinden, denke ich die Definition der Kompaktheit mittels Überdeckungen. Wie gehe ich dazu vor?

Bezug
                                                                        
Bezug
Eingeschränkte Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Di 20.05.2014
Autor: fred97


> Danke!
>  
> zu b) Man braucht, da wir uns ja nicht im [mm]IR^n[/mm] befinden,
> denke ich die Definition der Kompaktheit mittels
> Überdeckungen.

Damit kannst Du das machen, aber es geht auch mit Folgen.

> Wie gehe ich dazu vor?

Sei K eine Teilmenge von Y.

1. Sei K kompakt in (X,d) und  [mm] (U_i)_{i \in I} [/mm] eine Überdeckung von K mit in [mm] (Y,d_Y) [/mm] offenen Mengen [mm] U_i. [/mm]

Nach a) ex. zu jedem i [mm] \in [/mm] I ein in (X,d) offenes [mm] V_i [/mm] mit: [mm] U_i =V_i \cap [/mm] Y.

Damit ist [mm] (V_i)_{i \in I} [/mm] eine in (X,d) offene Überdeckung von K. Da K kompakt in (X,d) ist, existieren [mm] i_1,...,i_n \in [/mm] I mit

    K [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{n}V_{i_n} [/mm]

Damit gilt auch

    K [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{n}U_{i_n}. [/mm]

K ist also kompakt in [mm] (Y,d_Y). [/mm]

2. Nun versuche Du  mal zu zeigen: K  kompakt in [mm] (Y,d_Y) \Rightarrow [/mm]  K  kompakt in (X,d)

FRED



Bezug
                                                                                
Bezug
Eingeschränkte Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:53 Di 20.05.2014
Autor: rollroll

Sei K kompakt in (Y, [mm] d_Y) [/mm] und [mm] (U_i)_{i \in I} [/mm] eine Überdeckung von K mit in (X, d) offenen mengen [mm] V_i [/mm] mit [mm] V_i=U_i \cap [/mm] Y. Nach a existiert ein in [mm] (Y,d_Y) [/mm] offenes [mm] U_i [/mm] mit [mm] U_i \subset [/mm] Y. Damit ist [mm] (U_i)_{i \in I} [/mm] eine in [mm] (Y,d_Y) [/mm] offene Überdeckung von K.

Soweit richtig?

Bezug
                                                                                        
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Eingeschränkte Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Di 20.05.2014
Autor: fred97


> Sei K kompakt in (Y, [mm]d_Y)[/mm] und [mm](U_i)_{i \in I}[/mm] eine
> Überdeckung von K mit in (X, d) offenen mengen [mm]V_i[/mm] mit
> [mm]V_i=U_i \cap[/mm] Y. Nach a existiert ein in [mm](Y,d_Y)[/mm] offenes [mm]U_i[/mm]
> mit [mm]U_i \subset[/mm] Y. Damit ist [mm](U_i)_{i \in I}[/mm] eine in
> [mm](Y,d_Y)[/mm] offene Überdeckung von K.
>  
> Soweit richtig?

Nein. Das ist völlig chaotisch. Versuchs nochmal.

FRED


Bezug
                                                                                                
Bezug
Eingeschränkte Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Di 20.05.2014
Autor: rollroll

Ok...
Ich habe halt auch wieder versucht, die a) zu nutzen. Ist das bei dieser Richtung falsch?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Eingeschränkte Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Di 20.05.2014
Autor: fred97


> Ok...
>  Ich habe halt auch wieder versucht, die a) zu nutzen. Ist
> das bei dieser Richtung falsch?

Nein

FRED


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Eingeschränkte Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Di 20.05.2014
Autor: rollroll

Sei K eine Teilmenge von Y.

1. Sei K kompakt in [mm] (Y,d_Y) [/mm] und  $ [mm] (U_i)_{i \in I} [/mm] $ eine Überdeckung von K mit in $ (X,d) $ offenen Mengen $ [mm] U_i. [/mm] $

Nach a) ex. zu jedem i $ [mm] \in [/mm] $ I ein in [mm] (Y,d_Y) [/mm] offenes $ [mm] V_i [/mm] $ mit: $ [mm] U_i =V_i \cap [/mm] $ X.

Damit ist $ [mm] (V_i)_{i \in I} [/mm] $ eine in [mm] (Y,d_Y) [/mm] offene Überdeckung von K. Da K kompakt in [mm] (Y,d_Y) [/mm] ist, existieren $ [mm] i_1,...,i_n \in [/mm] $ I mit

     K $ [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{n}V_{i_n} [/mm] $

Damit gilt auch

     K $ [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{n}U_{i_n}. [/mm] $

K ist also kompakt in $ (X,d). $


So? Also analog zur Rückrichtung?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Eingeschränkte Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Di 20.05.2014
Autor: fred97


> Sei K eine Teilmenge von Y.
>
> 1. Sei K kompakt in [mm](Y,d_Y)[/mm] und  [mm](U_i)_{i \in I}[/mm] eine
> Überdeckung von K mit in [mm](X,d)[/mm] offenen Mengen [mm]U_i.[/mm]
>  
> Nach a) ex. zu jedem i [mm]\in[/mm] I ein in [mm](Y,d_Y)[/mm] offenes [mm]V_i[/mm]
> mit: [mm]U_i =V_i \cap[/mm] X.

Das ist doch Unsinn ! Dann wäre ja [mm] U_i=V_i [/mm]

FRED

>
> Damit ist [mm](V_i)_{i \in I}[/mm] eine in [mm](Y,d_Y)[/mm] offene
> Überdeckung von K. Da K kompakt in [mm](Y,d_Y)[/mm] ist, existieren
> [mm]i_1,...,i_n \in[/mm] I mit
>
> K [mm]\subseteq \bigcup_{i=1}^{n}V_{i_n}[/mm]
>  
> Damit gilt auch
>
> K [mm]\subseteq \bigcup_{i=1}^{n}U_{i_n}.[/mm]
>  
> K ist also kompakt in [mm](X,d).[/mm]
>  
>
> So? Also analog zur Rückrichtung?


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Eingeschränkte Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Di 20.05.2014
Autor: rollroll

Dann hab ich keine Ahnung wie ich es noch machen soll...

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Bezug
Eingeschränkte Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:15 Mi 21.05.2014
Autor: fred97


> Dann hab ich keine Ahnung wie ich es noch machen soll...

So macht man (oft) einen Beweis:

Man überlege sich zunächst:

1. Was ist die Voraussetzung ?

2. Wo will ich hin ?

3. Was habe ich an Hilfsmitteln zur Verfügung ?

Zu 1. K ist Teilmenge von Y und K ist kompakt in [mm] (Y,d_y) [/mm]

Zu 2. ich möchte zeigen: K ist kompakt in (X,d)

Zu 3. auf jeden Fall Aufgabenteil a).



Sei also [mm] (V_i)_{i \in I} [/mm] eine Überdeckung von K mit in (X,d) offenen Mengen [mm] V_i. [/mm]

Nun wagen(!) wir es , a) zu benutzen und definieren(!)

   [mm] U_i:=V_i \cap [/mm] Y.

Jedes [mm] U_i [/mm] ist dann offen in [mm] (Y,d_Y). [/mm] Da K eine Teilmenge von Y ist, ist [mm] (U_i)_{i \in I} [/mm] eine Überdeckung von K

Nach Vor. existieren also [mm] i_1,....,i_m \in [/mm] I mit:

    K [mm] \subseteq \bigcup_{j=1}^{m}U_{i_j}. [/mm]

Nun überlege Dir, das dann gilt:

     K [mm] \subseteq \bigcup_{j=1}^{m}V_{i_j}. [/mm]

FRED




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