Einheit Z/nZ , ggt(a,n)=1 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:02 Mi 07.08.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
| Aufgabe | | a Einheit in [mm] Z_n \gdw [/mm] ggt(a,n)=1 |
Guten Tag,
Beweis:
a Einheit in [mm] Z_n \Rightarrow \exists [/mm] b mit a*b=1 mod n
[mm] \Rightarrow [/mm] ab=r*n+1
[mm] \Rightarrow [/mm] a und n teilerfrembt
Sei x Nullteiler
wie zeige ich das x die Geleichung nicht erfüllen kann?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Mi 07.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> a Einheit in [mm]Z_n \gdw[/mm] ggt(a,n)=1
> Guten Tag,
> Beweis:
> a Einheit in [mm]Z_n \Rightarrow \exists[/mm] b mit a*b=1 mod n
> [mm]\Rightarrow[/mm] ab=r*n+1
> [mm]\Rightarrow[/mm] a und n teilerfrembt
Was ist " teilerfrembt" ? Ein Verschreiber kann das nicht sein, wenn ich auf meine Tastatur schaue ! Gemeint ist wohl "teilerfremd".
Die Richtung [mm] "\Rightarrow" [/mm] ist O.K. Was ist mit der Richtung [mm] "\Leftarrow" [/mm] ?
>
> Sei x Nullteiler
> wie zeige ich das x die Geleichung nicht erfüllen kann?
Von welcher Gleichung sprichst Du ????
FRED
>
> Danke
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Mi 07.08.2013 | | Autor: | SaskiaCl |
> > Sei x Nullteiler
> > wie zeige ich das x die Geleichung nicht erfüllen kann?
>
> Von welcher Gleichung sprichst Du ????
x*b=r*n +1
wobei mich das wohl nicht zum Ziel bringt
Für einen Nullteiler x gilt:
x*b=r*n
Leider komme ich da nicht weiter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Mi 07.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Sei x Nullteiler
> > > wie zeige ich das x die Geleichung nicht erfüllen kann?
> >
> > Von welcher Gleichung sprichst Du ????
>
> x*b=r*n +1
> wobei mich das wohl nicht zum Ziel bringt
>
> Für einen Nullteiler x gilt:
> x*b=r*n
Mit $0 < b < |n|$, das ist hier noch wichtig.
Aber weisst du denn schon, dass jede Nicht-Einheit in [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] bereits ein Nullteiler ist? Das ist durchaus eine nicht-triviale Aussage!
> Leider komme ich da nicht weiter
Zeige doch lieber die andere Richtung: ist $ggT(a, n) = 1$, so ist $a + [mm] n\IZ$ [/mm] eine Einheit in [mm] $\IZ/n\IZ$. [/mm] Dazu verwende das Lemma von Bezout.
LG Felix
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