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Forum "Regelungstechnik" - Einheiten beim Kalmanfilter
Einheiten beim Kalmanfilter < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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Einheiten beim Kalmanfilter: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:55 Fr 12.05.2017
Autor: kalmanfilterPLS

Moin zusammen,

ich hätte da mal eine Frage zu den Einheiten beim Kalman-Filter. Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: []Matheplanet; dies vor etwa einer Woche, allerdings wollte ich mangels Antworten auch die schlauen Köpfe dieses Forums integrieren ;)
Zwecks Plausibilitätsüberprüfung habe ich meine Gleichungen des Beobachters anhand der Einheiten überprüft und bin hierbei auf Widersprüche gestoßen.

Randbedingungen
Als System habe ich eine Bewegungsgleichung der Form

F = ma+bv -> [mm] a=-\frac{b}{m}v+\frac{1}{m}F,\hfill [/mm] (1)

wobei $F$ die externe Kraft, $a$ die Beschleunigung, $v$ die Geschwindigkeit, $m$ die Masse des Körpers und $b$ der Dämpfungskoeffizient seien.
Diese wird in die Zustandsraum-Darstellung überführt, $p$ beschreibe dabei die Position des Körpers. Mit der Konvention, dass Matrizen doppelt und Vektoren einfach unterstrichen sind, folgt

[mm] x_1 [/mm] = p [mm] \\ [/mm]

[mm] x_2 [/mm] = [mm] \dot{x}_1 [/mm] = v [mm] \\ [/mm]

[mm] \underline{\dot{x}}_1 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -\frac{b}{m} \end{bmatrix}\\ [/mm]

y = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0\end{bmatrix} \underline{x}\\ [/mm]

[mm] \underline{\underline{A}} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -\frac{b}{m} \end{bmatrix}\\ [/mm]

[mm] \underline{B} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 0\\ \frac{1}{m} \end{bmatrix}\\ [/mm]

[mm] \underline{C} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}1 & 0 \end{bmatrix}\\ [/mm]

D = 0.

Für den Kalmanfilter gelte (geschätzte Größen sind mit einer Tilde gekennzeichnet)

[mm] \underline{\dot{\tilde{x}}} [/mm] = [mm] \underline{\underline{A}} \underline{\tilde{x}}+ \underline{B}u+ \underline{K}(y-\tilde{y}).\hfill [/mm] (2)

Verständnisfragen
Beobachter können als ein Satz von P-Reglern interpretiert werden, welche den Beobachtungsfehler (mit ggf. $
[mm] \underline{C} =\begin{bmatrix}1 & 1 \end{bmatrix})) y-\tilde{y}$ [/mm] auf die einzelnen Zustände zurückführen. Sind die Zustände mit den SI-Einheiten

[mm] [\underline{x}] [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} m \\ m/s \end{pmatrix} [/mm]
bzw.
[mm] [\underline{\dot{x}}] =\begin{pmatrix} m/s \\ m/s^2 \end{pmatrix}\hfill [/mm] (3)

versehen, folgt für den Beobachtungsfehler

[mm] [\underline{e}] [/mm] = [mm] [\underline{x}-\underline{\tilde{x}}] [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} m \\ m/s \end{pmatrix}\hfill [/mm] (4)

und so müsste von der Plausibilität her für die Einheiten von [mm] $\underline{K}$ [/mm] gelten:

[mm] [\underline{K}] [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1/s \\ 1/s^2 \end{pmatrix}\hfill [/mm] (5)

Frage 1: Ist dies soweit korrekt?

Nun zur Auslegung des Filters für das anfangs beschriebene System, angenommen auf die beschriebene Strecke wirke eine Prozessstörung [mm] $\underline{v}$ [/mm] in Form einer Störbeschleunigung und der Sensor unterliege einem Rauschen $w$, einheitentechnisch gilt somit

[mm] [\underline{v}] [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ m/s^2\\ \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \newline [/mm]
[w] = m.

In dem Buche Entwurf robuster Regelungen von Kai Müller ist angegeben, dass die Verstärkung des Kalmanfilters gemäß

[mm] \underline{K} [/mm] = [mm] \underline{\underline{P}}\underline{C}^TR^-1 [/mm]

errechnet werden kann, wobei [mm] $\underline{\underline{P}}$ [/mm] die Kovarianzmatrix des Schätzfehlers [mm] $\underline{e}$ [/mm] ist und $R$ die Kovarianz(-matrix) des Messfehlers ist. Die Kovarianz lässt sich nach

[mm] Cov(x,y)=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}[(x_i [/mm] - [mm] \overline{x})(y_i-\overline{y})]\hfill [/mm] (6)

berechnen, wobei [mm] $\overline{x}$ [/mm] und [mm] $\overline{y}$ [/mm] die Mittelwerte darstellen. Für [mm] $\underline{\underline{P}}$ [/mm] als Matrix gilt mit der Definition von [mm] $\underline{e}$ [/mm] von weiter oben

[mm] \underline{\underline{P}} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} Cov(e_1,e_1) & Cov(e_1,e_2) \\ Cov(e_2,e_1) & Cov(e_2,e_2) \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sigma_{e_1e_1}^2 & Cov(e_1,e_2) \\ Cov(e_2,e_1) & \sigma_{e_2e_2}^2) \\ \end{pmatrix}\hfill [/mm] (7)

und mit den Einheiten

[mm] [\underline{\underline{P}}] [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} m^2 & m^2/s \\ m^2/s & m^2/s^2 \\ \end{pmatrix}\hfill [/mm] (8)

Für $R$ als Kovarianz des Messfehlers folgt in SI letztlich

[R] = [Cov(w,w)] = [mm] [\sigma_{ww}^2] [/mm] = [mm] m^2. \hfill [/mm] (9)

Frage 2: Soweit richtig?

Jetzt kann das ganze eingesetzt werden, mit

[mm] \underline{K} [/mm] = [mm] \underline{\underline{P}}\underline{C}^TR^-1 [/mm]

folgt mit der verwendeten Systembeschreibung

[mm] \underline{K} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} m^2 & m^2/s \\ m^2/s & m^2/s^2 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{m^2}=\begin{pmatrix} m^2 \\ m^2/s \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{m^2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1/s \end{pmatrix}\hfill [/mm] (10)

Frage 3: Jetzt komme ich zu einem Einheitenkonflikt und der eigentlichen Frage. Die berechneten Einheiten für [mm] $\underline{K}$ [/mm] stimmen nicht mit denen aus der Plausibilitätsbetrachtung in Gleichung (5) überein, d.h.

[mm] [\underline{K}] [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1/s \\ 1/s^2 \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} 1 \\ 1/s \end{pmatrix} [/mm]

Kann jemand einen Fehler erkennen oder mir erklären, warum das ganze dennoch funktioniert?

Vielen Dank schon mal,

Alex

/* Crosspostguard
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=228092

        
Bezug
Einheiten beim Kalmanfilter: Einheiten in der Gleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Fr 12.05.2017
Autor: Infinit

Hallo kalmanfilterPLS,
herzlich willkommen hier im Forum.
Ich habe zunächst einmal probiert, Deine Ausgangsgleichung einheitenmäßig zu verstehen. Da komme ich allerdings schon nicht weiter.
[mm] F = ma [/mm] ist ja noch bekannt und stimmt auch mit den Einheiten, aber der zweite Term kann so nicht stimmen. Ein Reibungskoeffizient ist dimensionslos und die Geschwindigkeit hat die Einheit m/s. Da werden schon Äpfel und Birnen addiert und dass der Rest nicht stimmen kann, ist dann einleuchtend. Bitte überprüfe doch zunächst einmal Deine Ausgangsgleichung, bevor Du Umformungen machst.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                
Bezug
Einheiten beim Kalmanfilter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:43 Mo 15.05.2017
Autor: kalmanfilterPLS

Hallo Infinit,

lieben Dank dass Du Dir die Zeit genommen hast um das Problem anzuschauen :). Ich war das Wochenende unterwegs und kann daher erst jetzt qualifiziert anworten.

Ich habe saloppe Terminologie verwendet, b ist kein Reibungskoeffizient sondern beschreibt das Dämpfungsverhalten. Damit es von den Einheiten her passt, sind in der Bewegungsdifferentialgleichung
F = ma+bv = [mm] m\ddot{x}+b\dot{x} [/mm]
die Einheiten
[mm] \frac{kg\cdot m}{s^2} [/mm] = [mm] kg\frac{m}{s^2} [/mm] + [mm] \frac{kg}{s}\frac{m}{s} [/mm]
und die Einheit für b geht daraus als nicht dimensionslos hervor. Daher würde ich sagen dass meine Frage noch offen ist.

Abseits davon gebe ich Dir aber vollkommen recht, ist wäre b ein dimensionsloser Reibungskoeff., so wäre die ganze Folgerechnung murks gewesen :)

Liebe Grüße,

Alex

Bezug
        
Bezug
Einheiten beim Kalmanfilter: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Mo 12.06.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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