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Einheitskugel + Kompaktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:30 Di 15.06.2010
Autor: waruna

Aufgabe
Zeigen Sie: Im unendlichdimensionalen Hilbertraum ist die (abgeschlossene) Einheitskugel nicht kompakt.

Ich habe versucht das so zu machen: annehmen, dass die Einheitskugel im unendlichdimensionalen Hilbertraum kompakt ist und dann mit der Definition (Fuer jede Folge ex. eine Teilfolge ... ) einen Widerspruch erhalten. Na ja, geht irgendwie nicht.
Ich kann mich nicht vorstellen, wie soll ich das beruecksichtigen, dass hier um unendlichdimensionalen Hilbertraum geht...


        
Bezug
Einheitskugel + Kompaktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:06 Di 15.06.2010
Autor: felixf

Moin!

> Zeigen Sie: Im unendlichdimensionalen Hilbertraum ist die
> (abgeschlossene) Einheitskugel nicht kompakt.
>  Ich habe versucht das so zu machen: annehmen, dass die
> Einheitskugel im unendlichdimensionalen Hilbertraum kompakt
> ist und dann mit der Definition (Fuer jede Folge ex. eine
> Teilfolge ... ) einen Widerspruch erhalten. Na ja, geht
> irgendwie nicht.

Doch. Du kannst in einem unendlichdimensionalen normierten Raum zeigen: es gibt eine Folge [mm] $(v_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Vektoren mit [mm] $\| v_n \| [/mm] = 1$ und [mm] $\| v_n [/mm] - [mm] v_m \| \ge [/mm] 1$ fuer $n [mm] \neq [/mm] m$.

In einem Hilbertraum hast du ein Skalarprodukt, also reicht es aus, ein (abzaehlbar) unendliches Orthonormalsystem zu finden. Das solltest du jetzt aber alleine hinbekommen.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Einheitskugel + Kompaktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:14 Mi 16.06.2010
Autor: waruna

Ok, ich weiss also, dass jede unendlichdim. Hilbertraum eine ONB hat.
Meine ONB besteht aus unendlich viele Vektoren, die folgende Eigenschaften haben:
[mm] ||u_{n}|| [/mm] = 1
[mm] [/mm] = [mm] \delta_{nm} [/mm]
Ich bekomme also (m [mm] \not= [/mm] n):
[mm] ||u_{n} [/mm] - [mm] u_{m}||^{2} [/mm] = [mm] [/mm] =  [mm] [/mm] - [mm] [/mm] - [mm] [/mm] + [mm] [/mm] = 2
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] ||u_{n} [/mm] - [mm] u_{m}|| [/mm] > 1, fuer alle m, n, so dass m [mm] \not= [/mm] n
Offensichtlich ex. keine Teilfolge der Folge, die aus den Vektoren der ONB besteht, die konvergiert (Cauchybedingung).
Einheitskugel im unendlichdim. Hilbertraum ist also nicht kompakt.
Geht das so?


Bezug
                        
Bezug
Einheitskugel + Kompaktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Mi 16.06.2010
Autor: felixf

Hallo!

> Ok, ich weiss also, dass jede unendlichdim. Hilbertraum
> eine ONB hat.
>  Meine ONB besteht aus unendlich viele Vektoren, die
> folgende Eigenschaften haben:
>  [mm]||u_{n}||[/mm] = 1
>  [mm][/mm] = [mm]\delta_{nm}[/mm]
>  Ich bekomme also (m [mm]\not=[/mm] n):
>  [mm]||u_{n}[/mm] - [mm]u_{m}||^{2}[/mm] = [mm][/mm] =  
> [mm][/mm] - [mm][/mm] - [mm][/mm] +
> [mm][/mm] = 2
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
>  [mm]||u_{n}[/mm] - [mm]u_{m}||[/mm] > 1, fuer alle m, n, so dass m [mm]\not=[/mm] n

>  Offensichtlich ex. keine Teilfolge der Folge, die aus den
> Vektoren der ONB besteht, die konvergiert
> (Cauchybedingung).

[ok]

>  Einheitskugel im unendlichdim. Hilbertraum ist also nicht
> kompakt.
>  Geht das so?

Ja.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Einheitskugel + Kompaktheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:53 Mi 16.06.2010
Autor: fred97


> Ok, ich weiss also, dass jede unendlichdim. Hilbertraum
> eine ONB hat.
>  Meine ONB besteht aus unendlich viele Vektoren, die
> folgende Eigenschaften haben:
>  [mm]||u_{n}||[/mm] = 1
>  [mm][/mm] = [mm]\delta_{nm}[/mm]
>  Ich bekomme also (m [mm]\not=[/mm] n):
>  [mm]||u_{n}[/mm] - [mm]u_{m}||^{2}[/mm] = [mm][/mm] =  
> [mm][/mm] - [mm][/mm] - [mm][/mm] +
> [mm][/mm] = 2
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
>  [mm]||u_{n}[/mm] - [mm]u_{m}||[/mm] > 1, fuer alle m, n, so dass m [mm]\not=[/mm] n

>  Offensichtlich ex. keine Teilfolge der Folge, die aus den
> Vektoren der ONB besteht, die konvergiert
> (Cauchybedingung).
>  Einheitskugel im unendlichdim. Hilbertraum ist also nicht
> kompakt.
>  Geht das so?



Ja

beachte: die ONB kann überabzählbar sein, aber Du kannst eine Folge [mm] (u_n) [/mm] aus dieser ONB wählen mit den obigen Eigenschaften

Edit:  gerade sehe ich, dass Felix diese Frage 2 Minuten vor mir beantwortet hat

FRED

>  


Bezug
        
Bezug
Einheitskugel + Kompaktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:12 Di 15.06.2010
Autor: fred97


> Zeigen Sie: Im unendlichdimensionalen Hilbertraum ist die
> (abgeschlossene) Einheitskugel nicht kompakt.
>  Ich habe versucht das so zu machen: annehmen, dass die
> Einheitskugel im unendlichdimensionalen Hilbertraum kompakt
> ist und dann mit der Definition (Fuer jede Folge ex. eine
> Teilfolge ... ) einen Widerspruch erhalten. Na ja, geht
> irgendwie nicht.
> Ich kann mich nicht vorstellen, wie soll ich das
> beruecksichtigen, dass hier um unendlichdimensionalen
> Hilbertraum geht...



Ergänzend zu Felix:

Diesen Satz hattet Ihr sicher:

               Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis.

Nimm Dir eine solche her. Diese kann überabzählbar sein (falls der Hilbertraum unendlich dim. ist und nicht separabel). Das macht aber nichts. Aus dieser ONB wählst Du eine abzählbare Teilmenge  (Folge)  [mm] (u_n) [/mm] aus mit

                             [mm] $u_n \ne u_m$ [/mm]  für n [mm] \ne [/mm] m

FRED

                        

>  


Bezug
                
Bezug
Einheitskugel + Kompaktheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:19 Di 15.06.2010
Autor: felixf

Guten Morgen Fred!

> Ergänzend zu Felix:
>  
> Diesen Satz hattet Ihr sicher:
>  
> Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis.
>  
> Nimm Dir eine solche her. Diese kann überabzählbar sein
> (falls der Hilbertraum unendlich dim. ist und nicht
> separabel). Das macht aber nichts. Aus dieser ONB wählst
> Du eine abzählbare Teilmenge  (Folge)  [mm](u_n)[/mm] aus mit
>  
> [mm]u_n \ne u_m[/mm]  für n [mm]\ne[/mm] m

Solch "schweren Geschuetze" braucht man gar nicht -- man nimmt einfach ein abzaehlbar unendliches linear unabhaengiges System von Vektoren, und wendet Gram-Schmidt darauf an. Dann braucht man nichteinmal das Auswahlaxiom :-)

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Einheitskugel + Kompaktheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:28 Di 15.06.2010
Autor: fred97


> Guten Morgen Fred!
>  
> > Ergänzend zu Felix:
>  >  
> > Diesen Satz hattet Ihr sicher:
>  >  
> > Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis.
>  >  
> > Nimm Dir eine solche her. Diese kann überabzählbar sein
> > (falls der Hilbertraum unendlich dim. ist und nicht
> > separabel). Das macht aber nichts. Aus dieser ONB wählst
> > Du eine abzählbare Teilmenge  (Folge)  [mm](u_n)[/mm] aus mit
>  >  
> > [mm]u_n \ne u_m[/mm]  für n [mm]\ne[/mm] m
>  
> Solch "schweren Geschuetze" braucht man gar nicht -- man
> nimmt einfach ein abzaehlbar unendliches linear
> unabhaengiges System von Vektoren, und wendet Gram-Schmidt
> darauf an. Dann braucht man nichteinmal das Auswahlaxiom
> :-)
>  
> LG Felix
>  

Hallo Felix,

Du hast (teilweise) recht. Aber wenn man den von mir zitierten Satz schon hat, kann man ihn auch verwenden.

Zum Auswahlaxiom: bei "Deiner Methode" kommst Du da auch nicht drumrum.

             " abzaehlbar unendliches linear unabhaengiges System von Vektoren,"


Grüße FRED

Bezug
                                
Bezug
Einheitskugel + Kompaktheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:38 Di 15.06.2010
Autor: felixf

Hallo Fred,

> Du hast (teilweise) recht. Aber wenn man den von mir
> zitierten Satz schon hat, kann man ihn auch verwenden.

ja, da hast du voellig Recht :)

> Zum Auswahlaxiom: bei "Deiner Methode" kommst Du da auch
> nicht drumrum.
>  
> " abzaehlbar unendliches linear unabhaengiges System von
> Vektoren,"

Nun, da der Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, muss es ein solches System geben: andernfalls wuerde es ein maximales endliches linear unabhaengiges System geben, womit (ganz ohne Auswahlaxiom) der Vektorraum endlichdimensional waer.

LG Felix


Bezug
                                        
Bezug
Einheitskugel + Kompaktheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:40 Di 15.06.2010
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > Du hast (teilweise) recht. Aber wenn man den von mir
> > zitierten Satz schon hat, kann man ihn auch verwenden.
>  
> ja, da hast du voellig Recht :)
>  
> > Zum Auswahlaxiom: bei "Deiner Methode" kommst Du da auch
> > nicht drumrum.
>  >  
> > " abzaehlbar unendliches linear unabhaengiges System von
> > Vektoren,"
>  
> Nun, da der Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, muss es
> ein solches System geben: andernfalls wuerde es ein
> maximales endliches linear unabhaengiges System geben,
> womit (ganz ohne Auswahlaxiom) der Vektorraum
> endlichdimensional waer.

O.K. , ich ziehe meinen Einwand zurück. Noch etwas verschlafen dachte ich an:

                   "jeder Vektorraum besitzt eine Basis"

FRED

>  
> LG Felix
>  


Bezug
                                        
Bezug
Einheitskugel + Kompaktheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:49 Di 15.06.2010
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > Du hast (teilweise) recht. Aber wenn man den von mir
> > zitierten Satz schon hat, kann man ihn auch verwenden.
>  
> ja, da hast du voellig Recht :)
>  
> > Zum Auswahlaxiom: bei "Deiner Methode" kommst Du da auch
> > nicht drumrum.
>  >  
> > " abzaehlbar unendliches linear unabhaengiges System von
> > Vektoren,"
>  
> Nun, da der Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, muss es
> ein solches System geben: andernfalls wuerde es ein
> maximales endliches linear unabhaengiges System geben,
> womit (ganz ohne Auswahlaxiom) der Vektorraum
> endlichdimensional waer.

So ganz richtig bin ich damit nicht einverstanden.

Aber induktiv erhält man ein abzaehlbar unendliches linear unabhaengiges System von Vektoren:

Wähle in V ein [mm] u_1 \ne [/mm] 0. Da V nicht endlich erzeugt ist, gibt es ein [mm] u_2 [/mm] in V mit

                      [mm] $\{u_1,u_2 \}$ [/mm] ist linear unabhängig.

Wieder, weil V nicht endlich erzeugt ist, gibt es in V ein [mm] u_3 [/mm] mit

                      [mm] $\{u_1,u_2, u_3 \}$ [/mm] ist linear unabhängig.

Etc. ...............


FRED


>  
> LG Felix
>  


Bezug
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