Einheitsvektor und Nullvektor < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 So 30.03.2008 | | Autor: | Post-it |
Ich schreibe nächste Woche eine Klausur über Vektoren. Dazu habe ich noch Begriffsprobleme.
Unter Einheitsvektor verstehe ich die Länge (Betrag) eines Vektors der genau eins ist.
Unter Nullvektor kann ich mir nichts vorstellen.
Kann mir viel. einer anhand von Beispielen die Begriffe Einheitsvektor und Nullvektor erklären?
Ich habe auch bisher noch keine Aufgabe gesehen, wo ich den Einheitsvektor brauche?
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Der Nullvektor ist der einzige Vektor, der in keine Richtung zeigt. Es ist wie ein Punkt in der Mitte des Koordinatensystems, bei (0,0) oder (0,0,0).
Es empfiehlt sich bei diesem Vektor, ihn nicht unbedingt als Richtungs-, sondern mehr als Ortsvektor aufzufassen.
Definiert wird er analytisch so:
Die Vektoraddition des Nullvektors mit einem beliebigen Vektor ergibt wieder den beliebigen Vektor, es gilt also: [mm]\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}[/mm]
Man nennt den Nullvektor das "additiv neutrale".
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Ein Einheitsvektor ist, wie du richtig gesagt hast, ein Vektor mit der Länge 1. Man benötigt solche Vektoren nicht unbedingt, aber für manche Darstellungen in der Linearen Algebra ist er wichtig. Z.b. arbeitet die "Hessesche Normalform" für Ebenendarstellung mit einem Einheitsvektor.
Es gibt auch Aufgaben wie zum Beispiel:
Sie befinden sich bei (9,9) Gehen sie eine Einheit in die Richtung, in die der Vektor (1,2) zeigt.
Dazu könnte man den Vektor erst normieren [mm] \hat= [/mm] ihm die Länge 1 geben. Und danach addiert man ihn einfach auf den vorgegebenen Punkt.
Die speziellen Einheitsvektoren (1,0), (0,1) bzw. (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) werden "kanonische Einheitsvektoren" genannt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 So 30.03.2008 | | Autor: | abakus |
Eigentlich gibt es ohne Einheitsvektoren nicht mal ein Koordinatensystem.
Die drei Achsen unseres dreidimensionalen Koordinatensystems werden erst einmal durch die drei Einheitsvektoren [mm] \vektor{1 \\ 0\\0}, \vektor{0 \\ 1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\ 0\\1} [/mm] bestimmt. Da diese drei Vektoren die Basis für das Koordinatensystem bilden, werden diese speziellen Einheitsvektoren auch Basisvektoren genannt.
Jeder beliebige Ortsvektor (z.B. [mm] \vektor{2 \\ -4\\3}) [/mm] ist dann eine Linearkombination dieser drei Basisvektoren (im Beispiel gilt [mm] \vektor{2 \\ -4\\3}=2* \vektor{1 \\ 0\\0}-4* \vektor{0 \\ 1\\0} +3*\vektor{0\\ 0\\1}).
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 So 30.03.2008 | | Autor: | Post-it |
Erstmal DANKE für Eure schnellen Antworten!!
Den Einheitsvektor brauche ich dann eigentlich nur wenn ich eine Strecke genauer definieren will, oder? Aber da jeder Vektor vom Einheitsvektor linear abhängig ist, ist dies doch egal, dann kann ich ja den Betrag des Vektors über [mm] \wurzel{(x1-x1)^2 ...} [/mm] berechnen. Oder täusche ich mich damit?
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Hallo!
Du hast in gewisser Weise recht.
Du solltest Einheitsvektor auch nicht als all zu starren Begriff nehmen. Es ist einfach ein Vektor der Länge 1, das Wort Einheitsvektor beschreibt nur eine Eigenschaft, aber nicht direkt einen Vektor.
Es hat oft Vorteile, wenn man einen Vektor zu einem Einheitsvektor macht:
Beispielsweise hast du eine Grade
[mm] $\vec x=\vec a+\lambda *\vec [/mm] b$
Das [mm] \lambda [/mm] sagt dir, wie weit du in Richtung [mm] $\vec [/mm] b$ gehst, um zu einem punkt auf der Graden zu gelangen. Die Entfernung von deinem Startpunkt [mm] $\vec [/mm] a$ zu diesem Punkt ergibt sich aus [mm] $|\lambda *\vec [/mm] b|$ . Ist [mm] $\vec [/mm] b$ aber nun ein Einheitsvektor, was nichts weiter heißen soll, als daß seine Länge 1 ist, so kannst du die Entfernung z.B. auch direkt angeben, das ist nämlich einfach nur [mm] \lambda [/mm] .
Generell werden Einheitsvektoren jedoch an sehr vielen Stellen benutzt, bei denen es nicht unbedingt um die Längenbestimmung einer Graden geht, da solltest du einfach mal abwarten, was da noch kommt.
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