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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Sa 18.10.2014 | | Autor: | mcx |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Einheitsvektoren die senkrecht auf der von den Vektoren
[mm] \vec{a}=3\vec{e_{x}}-2\vec{e_{y}}+4\vec{e_{z}} [/mm] und [mm] b=\vec{e_{x}}+\vec{e_{y}}-2\vec{e_{z}} [/mm] aufgespannten Ebene stehen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo,
ich hoffe ihr könnt mir bei der oben gestellten Frage helfen. Hier meine Bearbeitung bis hierhin:
Ich dachte mir um einen Vektor zu finden der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht ist das Kreuzprodukt sinnvoll.
[mm] \vec{A} \times \vec{B}= \pmat{ a_{2}b_{3} & - a_{3}b_{2}\\ a_{3}b_{1} & -a_{1}b_{3}\\ a_{1}b_{2} & -a_{2}b_{1}} [/mm] = [mm] (3\vektor{1 \\ 0\\ 0}-2\vektor{0 \\ 1\\ 0} +4\vektor{0 \\ 0\\ 1}) \times (\vektor{1 \\ 0\\ 0}+\vektor{0 \\ 1\\ 0} -2\vektor{0 \\ 0\\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -2\\ 4} \times \vektor{1 \\ 1\\ -2} [/mm] = [mm] \vektor{(-2)(-2)-(4)(1) \\ (4)(1)-(3)(-2)\\ (1)(1)-(-2)(1)} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 6\\ 3}
[/mm]
Jetzt normiere ich den Vektor noch damit er Länge 1 hat.
[mm] \bruch{1}{\parallel\vec{A}\times\vec{B}\parallel}(\vec{A}\times\vec{B}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{45}}\vektor{0 \\ 6\\ 3}.
[/mm]
Das habe ich als Antwort bekommen. In der Fragestellung steht aber das ich ALLE Einheitsvektoren finden soll. Ich habe jetzt aber nur einen gefunden oder geh ich dieses Problem total falsch an? Wie ist "alle" Einheitsvektoren zu verstehen.
Danke schonmal im Voraus
MCX
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Sa 18.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gibt noch den entgegengesetzten Einheutsvektor, den du auch durch [mm] B\times [/mm] A bekämst, aber wegen [mm] A\timesB=-B˜times [/mm] A nicht neu rechnen musst.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Sa 18.10.2014 | | Autor: | mcx |
Danke für die schnelle Antwort. Das bedeutet das meine Berechnung soweit korrekt ist? Ich dachte irgendwie das es unendlich viele einheitsvektoren auf der aufgespannten eben gibt. Wie kann ich mir das Graphisch vorstellen das es nur diesen einen gibt?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
korrekt ist das schon, wie Leduart aber bereits sagte, gibt es zwei Normalenvektoren, deren "Winkelunterschied" 180 Grad beträgt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Sa 18.10.2014 | | Autor: | mcx |
Ich glabe ich steh auf dem Schlauch. Wie kann ich A=-B [mm] \times [/mm] A verwenden um den entgegengesetzten Vektor zu A [mm] \times [/mm] B zu finden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
das glaub ich jetzt aber auch  .
Multipliziere ale seine Komponenten mit -1.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Sa 18.10.2014 | | Autor: | mcx |
Ok das probiere ich jetzt mal. Muss kurz mit dem Hund raus. Ich melde mich wieder in ca. 30 min mit der hoffentlich richtigen Antwort :).
Vielen Dank für die Hilfe bis jetzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 18.10.2014 | | Autor: | mcx |
So. Ich glaube ich habe es verstanden. Ich wusste nicht das bei dem Kreuzprodukt A [mm] \times [/mm] B [mm] \not= [/mm] B [mm] \times [/mm] A sondern A [mm] \times [/mm] B = -B [mm] \times [/mm] A gilt. Nachdem ich mir jetzt meine Notizen angeschaut habe ist das schon klarer.
Bezogen auf die Aufgabe vorher bekomme ich:
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -1\\ 2} \times \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -2\\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{(-1*4)-(2*-2) \\ (2*3)-(-1*4) \\ (-1*-2)-(-1*3)} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 10\\ 5}
[/mm]
Jetzt noch normieren [mm] \bruch{1}{\wurzel{125}}\vektor{0 \\ 10\\ 5}
[/mm]
Ich hoffe ich habe jetzt keinen Fehler gemacht.
Kombiniert is also meine Lösungsmenge von Vektoren die Senkrecht auf der oben angegebenen aufgespannten Ebene stehen:
[mm] \{ \bruch{1}{\wurzel{125}}\vektor{0 \\ 10\\ 5}, \bruch{1}{\wurzel{45}}\vektor{0 \\ 6\\ 3}\}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Sa 18.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
in meinem post war ein Druckfehler. es ist immer [mm] a\times [/mm] b= [mm] -b\times [/mm] a
deine 2 Vektoren sind gleich! [mm] \sqrt{125}=5*sqrt{5} [/mm] und [mm] sqrt{45}=3*\sqrt{5}
[/mm]
also sind beide richtig, es fehlt der negative dazu.
zu deiner Vorstellung: es gibt matürlich zu jedem Fußpunkt auf der Ebene einen da angebrachten Normalenvektor, aber zu dem Normalenvektor gehört kein Fußpunkt. kurz es gibt unendlich viele zur Ebene normale Geraden, aber nur 2 normale Richtungen, also einen der 2 Vektoren noch mit . Minus Zeichen-
[mm] n_1=1/\sqrt{5}*\vektor{0 \\ 2\\ 1}
[/mm]
[mm] n_2=-1/\sqrt{5}*\vektor{0 \\ 2\\ 1}
[/mm]
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Sa 18.10.2014 | | Autor: | mcx |
Ah! Danke! Das mit den Wurzeln wäre mir nicht aufgefallen. Wenn ich das also nochmal in meinen Worten zusammenfasse: Die Vektoren die Ich gefunden habe sind die beiden senkrechten Einheitsvektoren zu der Ebene die die beiden oben genannten Vektoren aufspannen. Meine Vektoren haben eine bestimmte Richtung die unabhängig von welchem Fußpunkt auf der ebene aus ich sie konstruiere in diese Richtung zeigen, was auch sinn macht da ein Vektor mit einer anderen Richtung ja nicht mehr im 90° Winkel zu der Ebene stehen würde. Ist das so richtig?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Sa 18.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, gewöhn dich dtan, dass Vektoren frei verschiebbar sind. es sei denn es geht um Ortsvektoren! Den Punkt (1,2) in der x-y Eben erreichst du von (0,0) aus mit dem "Ortsvektor " [mm] \vec{r}=\vektor{1\\ 2} [/mm] aber einen Vektor [mm] v=\vektor{1 \\ 2} [/mm] kannst du dir irgendwohin schieben! also z.B von Punkt (8,3) nach Punkt (9,5) usw.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Sa 18.10.2014 | | Autor: | mcx |
Danke für die Mühe!
Ich wünsche noch ein schönes Wochenende
Gruß
mcx
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