Einheitswurzel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Mi 20.04.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Uberprufen Sie, ob die beiden folgenden komplexen Zahlen Einheitswurzeln sind:
[mm]\bruch{3}{11}\wurzel{7} + i \bruch{2}{5}\wurzel{3}[/mm]
[mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2-\wurzel{3}} - i \bruch{1}{2}\wurzel{2+\wurzel{3}}[/mm] |
irgendwie weiß ich nicht, wie ich das mache.
wir haben einheitswurzel so definiert:
[mm] z \in \IC [/mm] mit [mm]z^n =1 [/mm], dann ist z eine n-te Einheitswurzel.
Aber ich kann das nicht richtig auf die Aufgabe übertragen...
ich kann [mm]z=a+ib[/mm] ja auch schreiben als [mm]z=|z|*e^{i\varphi}[/mm], hilft mir das weiter?
muss einfach nur [mm]|z| =1[/mm] sein?? Dann liegt das ja auf den Einheitsreis....
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Hallo ella,
in der Tat muss |z|=1 sein, sonst kann z ja keine Einheitswurzel sein.
Außerdem muss aber auch [mm] \varphi=\bruch{2\pi}{n} [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] sein. Wenn Du übrigens n ermitteln kannst, weißt Du auch, zu welcher Potenz die Einheitswurzel gehört.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mi 20.04.2011 | | Autor: | ella87 |
danke für die schnelle Antwort.
Stimmts denn, dass die erste Zahl eine 8. Einheitswurzel ist (gerundet) und die zweite keine?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Mi 20.04.2011 | | Autor: | reverend |
> Stimmts denn, dass die erste Zahl eine 8. Einheitswurzel
> ist (gerundet) und die zweite keine?
igitt, da muss ich ja selber rechnen. ;-(
Na gut, mach ich gleich mal...
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Hallo ella,
> danke für die schnelle Antwort.
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> Stimmts denn, dass die erste Zahl eine 8. Einheitswurzel
> ist (gerundet)
Nein, hier wird nicht gerundet. [mm] |z|\not=1, [/mm] also keine Einheitswurzel (und übrigens bestimmt keine achte)!
> und die zweite keine?
Doch, eine sechste vierundzwanzigste Einheitswurzel.
(editiert/korrigiert!)
Rechne nochmal nach.
(hätte ich auch mal tun sollen... pardon!)
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Mi 20.04.2011 | | Autor: | ella87 |
uuuups =)
aber ich hab bei der zweiten Zahl meinen Fehler gefunden.
allerdings hab ich das mit dem Winkel wohl noch nicht so ganz verstanden.
wir hatten da eine ewig lange liste, wie man den Winkel in abhängigkeit von a und b (z=a+ib) bestimmt.
hier ist a>0 also ist der Winkel arctan(b/a) oder liege ich da falsch?
(also -75°)
und danke fürs rechnen!!
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Hallo nochmal,
gut, dass Du auch nachrechnest: ich habe da nämlich einen Fehler. Bah.
> uuuups =)
>
> aber ich hab bei der zweiten Zahl meinen Fehler gefunden.
> allerdings hab ich das mit dem Winkel wohl noch nicht so
> ganz verstanden.
Doch, doch.
> wir hatten da eine ewig lange liste, wie man den Winkel in
> abhängigkeit von a und b (z=a+ib) bestimmt.
Ewig lang? Das Prinzip ist doch aber einfach, [mm] e^{i\varphi} [/mm] etc.
> hier ist a>0 also ist der Winkel arctan(b/a) oder liege
> ich da falsch?
> (also -75°)
Du liegst vollkommen richtig. Die Einheitswurzel ist eine vierundzwanzigste, nicht eine sechste.
> und danke fürs rechnen!!
Hm, gern. Ich scheine das nur nicht mehr fehlerfrei zu können...
Dafür reicht ein einfacher Eingabefehler in Excel, und schon steht die 2 auf der falschen Seite des Bruchstrichs. Die klassische Doppelbruchfalle, und ich bin reingetappt. Pardon.
Du jedenfalls hast es jetzt offenbar richtig begriffen. Und darum gings ja.
Grüße
rev
PS: Meinen falschen Beitrag editiere ich mal, aber nachvollziehbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 25.04.2011 | | Autor: | ella87 |
hi!
ich komm irgendwie nicht auf die 24. Einheitswurzel.
Entwerder hab ich immernoch die falsche Formel oder eine falsche Einstellung am Taschenrechner...
ich hab bei der zweiten Aufgabe doch einen Winkel [mm] \varphi = -75°[/mm]oder?
Aber wie komm ich dann mit [mm] \varphi=\bruch{2\pi}{n} [/mm] auf n=24??
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Hallo ella87,
> hi!
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> ich komm irgendwie nicht auf die 24. Einheitswurzel.
> Entwerder hab ich immernoch die falsche Formel oder eine
> falsche Einstellung am Taschenrechner...
>
> ich hab bei der zweiten Aufgabe doch einen Winkel [mm]\varphi = -75°[/mm]oder?
Ja, oder [mm]285^{\circ}[/mm] falls der Winkel positiv sein soll.
>
> Aber wie komm ich dann mit [mm]\varphi=\bruch{2\pi}{n}[/mm] auf
> n=24??
Es muß doch gelten:
[mm]n*\varphi=k*360^{\circ}, \ 0 \le \varphi < 360^{\circ}[/mm]
bzw. wenn [mm]\varphi[/mm] im Bogenmaß:
[mm]n*\varphi=k*2*\pi, \ 0 \le \varphi < 2*\pi[/mm]
,wobei [mm]n \in \IN, \ 0 \le k < n[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mo 25.04.2011 | | Autor: | ella87 |
Sorry, ich begreif das leider immer noch nicht!
Wir hatten NUR die Definition
"Sei [mm]z \in \IC[/mm] mit [mm]z^n = 1[/mm]. Dann nennen wir z eine n-te Einheitswurzel."
mehr nicht!
was ist denn das k? und wie komm ich denn bei dem was du da schreibst irgendwo auf 24?
Sorry, ich versteh das wirklich nicht.
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Hallo ella87,
> Sorry, ich begreif das leider immer noch nicht!
>
> Wir hatten NUR die Definition
>
> "Sei [mm]z \in \IC[/mm] mit [mm]z^n = 1[/mm]. Dann nennen wir z eine n-te
> Einheitswurzel."
Dann muss [mm]\cos\left(n*\varphi)=1[/mm] und [mm]\sin\left(n*\varphi)=0[/mm] sein.
Das heißt [mm]n*\varphi[/mm] muß ein Vielfaches von [mm]2\pi[/mm] bzw. [mm]360^{\circ}[/mm] sein.
>
> mehr nicht!
>
> was ist denn das k? und wie komm ich denn bei dem was du da
k ist die k+1. Einheitswurzel des n. Kreisteilungspolynoms.
> schreibst irgendwo auf 24?
> Sorry, ich versteh das wirklich nicht.
Gruss
MathePower
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