Einschliesskriterium 2 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Di 06.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | | von [mm] \wurzel {\frac {1}{2^n} +{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] |
[mm] \le \wurzel \frac {1}{2^n+{n}}+ \wurzel{n} \le \wurzel{2n} [/mm] + [mm] \wurzel{n} [/mm] = 0
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> von [mm]\wurzel {\frac {1}{2^n} +{n}}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm]
> [mm]\le \wurzel \frac {1}{2^n+{n}}+ \wurzel{n} \le \wurzel{2n}[/mm]
> + [mm]\wurzel{n}[/mm] = 0
Hallo,
es ist doch ganz sicher nicht [mm] \wurzel{2n}[/mm] [/mm] + [mm]\wurzel{n}[/mm] = 0, oder?
Wenn Du mit dem Einschließungskriterium arbeiten möchtest - ein Verdacht, welchen Deine Überschrift nahelegt -, so mußt Du die Folge auf beiden Seiten einschließen durch Folgen, welche gegen denselben Grenzwert konvergieren. (Dies Folgen können natürlich auch konstante Folgen sein, oder anders gesagt: die "Begrenzer" können auch reelle Zahlen sein.)
Indizien entnehme ich, daß Du zeigen möchtest, daß Deine Folge gegen 0 konvergiert. Bitte schreibe doch sowas in Zukunft mit auf. Es hilft Dir und Deinen Lesern.
Überlege Dir nun erstmal, daß sie nach unten durch die 0 beschränkt ist, daß also [mm] 0<\wurzel {\frac {1}{2^n} +{n}}[/mm] [/mm] - [mm][mm] \wurzel{n} [/mm] richtig ist.
Daß Deine Abschätzung nicht stimmt, kannst Du selbst sehen, wenn Du Anfang und Ende mal scharf anguckst: [mm]\wurzel {\frac {1}{2^n} +{n}}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm] [mm][mm] \le [/mm] [...] 0 stimmt doch mit Sicherheit nicht.
Um den Ausdruck nach oben abzuschätzen, kannst Du einen Standardtrick nehmen: erweitere den Ausdruck mal mit [mm] \wurzel {\frac {1}{2^n} +{n}}+\wurzel{n}. [/mm] Dann weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Di 06.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
0 [mm] \le \wurzel {\frac{1}{2^n} +{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{n} \le \wurzel{\frac{1}{2^n}+{n}} \le \wurzel{2n}= [/mm] 0
für n gegen 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Di 06.10.2009 | | Autor: | abakus |
> 0 [mm]\le \wurzel {\frac{1}{2^n} +{n}}[/mm] - [mm]\wurzel{n} \le \wurzel{\frac{1}{2^n}+{n}} \le \wurzel{2n}=[/mm]
> 0
>
> für n gegen 0
Hallo Lisa,
n geht doch sicher nicht gegen 0, sondern gegen unendlich.
Damit wird auch die letzte Wurzel unendlich groß.
Ich würde erst einmal versuchen, den Term [mm] \wurzel {\frac{1}{2^n} +{n}}- \wurzel{n} [/mm] mit [mm] \wurzel {\frac{1}{2^n} +{n}}+\wurzel{n} [/mm] zu erweitern.
Gruß Abakus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:25 Di 06.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
wenn ich dies erweitere bekomme ich
[mm] \le \frac{1}{2^n} [/mm] +n-n = [mm] \frac {1}{2^n}\le \frac{1}{n}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Di 06.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo lisa!
Salopp gesagt: das sieht ziemlich gruselig aus. Was rechnest Du da und wie?
Bitte poste nicht nur irgendwelche Auszüge aus irgendwelchen Ungleichheitsketten, sondern vollständige Rechnungen.
Wenn Du einen Term erweiterst, musst Du anschließend auch einen Bruch mit einem Nenner haben.
Von daher ist völlig unklar, was du hier machst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 06.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
0 [mm] \le \wurzel {\frac{1}{2^n} +{n}} \le \frac{1}{2^n} [/mm] -n +n [mm] \le \frac{1}{n} [/mm] = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Di 06.10.2009 | | Autor: | abakus |
> 0 [mm]\le \wurzel {\frac{1}{2^n} +{n}} \le \frac{1}{2^n}[/mm] -n +n
> [mm]\le \frac{1}{n}[/mm] = 0
Mathematik, Klasse 5:
Erweitern heißt, Zähler UND Nenner eines Bruchs mit der selben Zahl (in unserem Fall: mit dem selben Term) zu multiplizieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Di 06.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
gut dann habe ich oben einen Term und unten eine Wurzel
also
[mm] \frac{\frac{1}{2^n} -n+n}{\wurzel {\frac{1}{2^n}+{n}}+\wurzel{n}}\le \frac{1}{2^n} [/mm] - n + n [mm] \le \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{n}
[/mm]
so es ist schon spät
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Di 06.10.2009 | | Autor: | abakus |
> gut dann habe ich oben einen Term und unten eine Wurzel
>
> also
>
> [mm]\frac{\frac{1}{2^n} -n+n}{\wurzel {\frac{1}{2^n}+{n}}+\wurzel{n}}\le \frac{1}{2^n}[/mm]
> - n + n [mm]\le \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{n}[/mm]
>
> so es ist schon spät
Ich verbessere mal:
[mm] \frac{\frac{1}{2^n} -n+n}{\wurzel {\frac{1}{2^n}+{n}}+\wurzel{n}}\le \frac{\frac{1}{2^n} }{\wurzel {\frac{1}{2^n}+{n}}+\wurzel{n}} \le \frac{\frac{1}{2^n} }{\wurzel {{n}}+\wurzel{n}}=\frac{1}{2^n*2\wurzel {n}}
[/mm]
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