Einschließungskriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 So 13.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
| Aufgabe | Sei 0<a<1 gegeben. Zeige mit Hilfe des Einschließungskriteriums, dass
lim n-> ∞ [mm] (n+1)^a -n^a [/mm] = 0
ist. Verwende dabei, dass [mm] (1+1/n)^a [/mm] < (1+1/n) gilt. |
Also ich soll ja [mm] (1+1/n)^a [/mm] < (1+1/n) verwenden. Deswegen is es ja logisch erstmal die gleichung umzuformen sodass ich [mm] (1+1/n)^a [/mm] < (1+1/n) verwenden kann.
Das wird auch in der Lösung so gemacht. Nur ich weiss nicht wie ich auf [mm] (1+1/n)^a [/mm] kommen soll. In der Lösung wird [mm] n^a [/mm] ausgeklammert und das sieht dann so aus: [mm] n^a((1 +1/n)^a [/mm] − 1) gibt es irgend eine form wie ich [mm] (n+1)^a [/mm] in (1 [mm] +1/n)^a [/mm] umformen kann oder so? ich hab keine ahnung...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 So 13.12.2009 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Sei 0<a<1 gegeben. Zeige mit Hilfe des
> Einschließungskriteriums, dass
>
> lim n-> ∞ [mm](n+1)^a -n^a[/mm] = 0
>
> ist. Verwende dabei, dass [mm](1+1/n)^a[/mm] < (1+1/n) gilt.
> Also ich soll ja [mm](1+1/n)^a[/mm] < (1+1/n) verwenden. Deswegen
> is es ja logisch erstmal die gleichung umzuformen sodass
> ich [mm](1+1/n)^a[/mm] < (1+1/n) verwenden kann.
>
> Das wird auch in der Lösung so gemacht. Nur ich weiss
> nicht wie ich auf [mm](1+1/n)^a[/mm] kommen soll. In der Lösung
> wird [mm]n^a[/mm] ausgeklammert und das sieht dann so aus: [mm]n^a((1 +1/n)^a[/mm]
> − 1) gibt es irgend eine form wie ich [mm](n+1)^a[/mm] in (1
Es wird einfach alles durch [mm] n^\alpha [/mm] geteilt und dann wieder multipliziert:
[mm] (n+1)^\alpha-n^\alpha=\bruch{((n+1)^\alpha-n^\alpha)}{n^\alpha}n^\alpha=\left(\left(1+\bruch{1}{n}\right)^\alpha-1\right)n^\alpha
[/mm]
> [mm]+1/n)^a[/mm] umformen kann oder so? ich hab keine ahnung...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 So 13.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
Wow super schnelle antwort!
Danke dir vielmals für diese smple erklärung aber wieso macht man das ? also ich weiss net genau wie ich allein drauf kommen soll wenn ich die aufgabe jetzt ohne lösung gelöst hätte würde ich das glaube ich nie machen. gibt es da irgendwie ne allgemeine regel das man das so macht oder irgendwas in der richtung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 So 13.12.2009 | | Autor: | dormant |
Hi!
Die Regel ist, dass man unschöne Ausdrücke durch pure Gewalt in Ausdrücke, die man schön findet, umformt. Es hilft, wenn man weiß was das Ergebnis ist (wie in diesem Fall - du wusstest was für einen Ausdruck du bekommen sollst, was auf der Strecke bleibt (d.h. was ergänzt wird) ist erstmal egal).
Grüße,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 So 13.12.2009 | | Autor: | sl1m |
Hallo allerseits,
ok es wurde gezeigt dass der Grenzwert von [mm] n^{a - 1} [/mm] gleich 0 ist.
Reicht jetzt also um den Einschließungskriterium anzuwenden jetzt zu zeigen, dass
0 < [mm] (n+1)^a -n^a [/mm] ist ? damit ist dann der grenzwert von [mm] (n+1)^a -n^a [/mm] auch 0.
ist das korrekt so ?
Danke
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Hallo sl1m,
> Hallo allerseits,
>
> ok es wurde gezeigt dass der Grenzwert von [mm]n^{a - 1}[/mm] gleich
> 0 ist.
> Reicht jetzt also um den Einschließungskriterium
> anzuwenden jetzt zu zeigen, dass
> 0 < [mm](n+1)^a -n^a[/mm] ist ? damit ist dann der grenzwert von
> [mm](n+1)^a -n^a[/mm] auch 0.
>
> ist das korrekt so ?
Ja, das ist so korrekt. Du hast dann deinen Ausdruck eingeschlossen durch die Folgen
[mm] (0)_{n\in\IN}
[/mm]
und
[mm] $(b_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $b_{n} [/mm] = [mm] n^{a-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{n^{1-a}}$,
[/mm]
die beide wegen a < 1 offensichtlich gegen 0 konvergieren.
Also konvergiert auch deine durch diese beiden Folgen eingeschlossene Folge gegen 0.
Grüße,
Stefan
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