Einschränk. d. lin. Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:45 So 27.03.2011 | | Autor: | Zukku |
| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 4 & 7\\2&5&8\\3&6&9}.
[/mm]
Hat man nun eine Basis B1 im Zeilenraum der Matrix gewählt, und eine Basis B2im Spaltenraum gewählt, gibt es eine zugehörige 2x2-Matrix, welche die Einschränkung der linearen Abbildung "x geht über in A*x auf Z(A)" beschreibt. |
Was ist damit gemeint? Was ist die Einschränkung der linearen Abbildung? Und wie kommt man auf eine 2x2-Matrix?
Meine Idee war, die beiden Basen aufzustellen, d. h. ich nehme für den Zeilenraum die ersten beiden Zeilen und für den Spaltenraum die ersten beiden Spalten, und dann die Basiswechselmatrix aufzustellen. Aber wie komme ich auf eine 2x2-Matrix?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin zukku,
[mm] \qquad [/mm] ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die Matrix [mm]A=\pmat{ 1 & 4 & 7\\2&5&8\\3&6&9}.[/mm]
>
> Hat man nun eine Basis B1 im Zeilenraum der Matrix
> gewählt, und eine Basis B2im Spaltenraum gewählt, gibt
> es eine zugehörige 2x2-Matrix, welche die Einschränkung
> der linearen Abbildung "x geht über in A*x auf Z(A)"
> beschreibt.
> Was ist damit gemeint? Was ist die Einschränkung der
> linearen Abbildung? Und wie kommt man auf eine 2x2-Matrix?
Der Zeilenraum Z(A) ist ein (offenbar zweidimensionaler) Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] (unter der Annahme, dass [mm] \IR [/mm] der zugrundeliegende Körper ist).
Bestimme eine Basis [mm] b_1,b_2 [/mm] des Zeilenraums.
Durch die Bilder dieser Basisvektoren wird die Einschränkung der linearen Abbildung auf Z(A) eindeutig bestimmst:
[mm] \qquad $b_1\mapsto A*b_1, \qquad b_2\mapsto A*b_2$
[/mm]
Finde die Koordinatenvektoren der Bilder von [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] bezüglich der von dir gefundenen Basis [mm] c_1, c_2 [/mm] des Bildes/ Spaltenraums der Matrix A. Dabei handelt es sich um [mm] 2\times1 [/mm] Vektoren. Diese sind die Spaltenvektoren der neuen [mm] 2\times2 [/mm] Abbildungsmatrix.
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> Meine Idee war, die beiden Basen aufzustellen, d. h. ich
> nehme für den Zeilenraum die ersten beiden Zeilen und für
> den Spaltenraum die ersten beiden Spalten, und dann die
> Basiswechselmatrix aufzustellen. Aber wie komme ich auf
> eine 2x2-Matrix?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 So 27.03.2011 | | Autor: | Zukku |
Zuerst mal danke für deine Antwort, ich bin mir aber noch nicht ganz sicher, ob ich sie verstanden habe.
[mm] {b_1, b_2} [/mm] sei eine Basis meines Zeilenraumes, ich wähle die Basis [mm] {\vektor{1\\4\\7}, \vektor{2\\5\\8}} [/mm] und [mm] {c_1, c_2} [/mm] die Basis meines Zeilenraumes, ich wähle [mm] {\vektor{1\\2\\3}, \vektor{4\\5\\6}}.
[/mm]
Nun habe ich [mm] A*\vektor{1\\4\\7} [/mm] und [mm] A*\vektor{2\\5\\8} [/mm] berechnet, ich komme auf [mm] d_{1}=\vektor{64\\78\\90} [/mm] und [mm] d_{2}=\vektor{78\\93\\108}. [/mm] Diese beiden Vektoren sind also diese Einschränkung.
Und jetzt? Jetzt berechne ich das Bild dieser Vektoren bzgl. der Matrix, die aus den Spalten besteht, also [mm] \pmat{1&4\\2&5\\3&6}? [/mm] Aber wie soll das gehen? Das kann ich doch nicht mit [mm] d_{1} [/mm] und [mm] d_{2} [/mm] multiplizieren? Oder soll ich die Matrix als [mm] \pmat{1&2&3\\4$&5&6} [/mm] auffassen?
Mir ist die ganze Sache noch sehr unklar..
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Hallo zukku,
> Zuerst mal danke für deine Antwort, ich bin mir aber noch
> nicht ganz sicher, ob ich sie verstanden habe.
> [mm]{b_1, b_2}[/mm] sei eine Basis meines Zeilenraumes, ich wähle
> die Basis [mm]{\vektor{1\\4\\7}, \vektor{2\\5\\8}}[/mm] und [mm]{c_1, c_2}[/mm]
> die Basis meines Zeilenraumes, ich wähle
> [mm]{\vektor{1\\2\\3}, \vektor{4\\5\\6}}.[/mm]
Man kann auch einfachere Basisvektoren wählen. Das vereinfacht die Rechnung erheblich. Siehe unten.
> Nun habe ich
> [mm]A*\vektor{1\\4\\7}[/mm] und [mm]A*\vektor{2\\5\\8}[/mm] berechnet, ich
> komme auf [mm]d_{1}=\vektor{64\\78\\90}[/mm] und
> [mm]d_{2}=\vektor{78\\93\\108}.[/mm] Diese beiden Vektoren sind also diese Einschränkung.
Nope. Weißt du was die Einschränkung einer Funktion ist? Da wird der Definitionsbereich eingeschränkt. Hier war der ursprünglich Definitionsbereich [mm] \IR^3. [/mm] Jetzt ist der Definitionsbereich nur noch der Zeilenraum [mm] Z(A)\subset\IR^3.
[/mm]
Die Ergebnisse hab ich nicht überprüft, such dir erstmal einfachere Basisvektoren. Zum Beispiel bilden [mm] b_1=(1,1,1)^T [/mm] und [mm] b_2=(0,1,2)^T [/mm] eine 'schoene' Basis des Zeilenraums.
Auch für den Spaltenraum (=Bild) kannst du dir eine einfache Basis raussuchen. Zum Beispiel [mm] c_1=(1,1,1)^T [/mm] und [mm] c_2=(0,1,2)^T. [/mm] Überzeug dich davon!
Wie du siehst ist das sogar die gleiche Basis (!). Was lernst du daraus? Genau: Zeilen- und Spaltenraum sind identisch!
>
> Und jetzt? Jetzt berechne ich das Bild dieser Vektoren
> bzgl. der Matrix, die aus den Spalten besteht, also
> [mm]\pmat{1&4\\2&5\\3&6}?[/mm] Aber wie soll das gehen? Das kann ich
> doch nicht mit [mm]d_{1}[/mm] und [mm]d_{2}[/mm] multiplizieren? Oder soll
> ich die Matrix als [mm]\pmat{1&2&3\\4$&5&6}[/mm] auffassen?
Weit gefehlt ...
> Mir ist die ganze Sache noch sehr unklar..
Dann solltest du unbedingt deine Unterlagen zur Hand nehmen.
Ich zeige dir die erste Spalte der Matrix. Als Basen verwende ich wie oben [mm] B=C=\{b_1,b_2\}=\{c_1,c_2\}
[/mm]
Es ist [mm] A*b_1=A*(1,1,1)^T=(12,15,18)^T=12*(1,1,1)^T+3*(0,1,2)^T=12*c_1+3*c_2
[/mm]
Der Koordinatenvektor des Bildes von [mm] A*b_1 [/mm] bezüglich unserer Basis ist folglich [mm] (12,3)^T. [/mm] Also ist das der erste Spaltenvektor unserer gesuchten [mm] 2\times2 [/mm] Matrix.
Jetzt bestimme du den zweiten Spaltenvektor.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Zukku |
Der wäre dann [18; 3], richtig?
Weiß noch nicht ob mir die Sache ganz klar ist, muss sie nochmals nachdenken..
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Hallo Zukku,
> Der wäre dann [18; 3], richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Weiß noch nicht ob mir die Sache ganz klar ist, muss sie
> nochmals nachdenken..
Gruss
MathePower
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