Einseitiges Testen < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Von einem Würfel ist bekannt, dass bei ihm die Sechs entweder mit der Wahrscheinlichkeit von 0,1 oder 1/6 fällt. Nach 100 Mal Würfeln soll entschieden werden, welcher Fall vorliegt. Man wählt die Hypothese H0: p= 0,1.
a) Bei den Würfeln fallen 15 Sechsen. Kann man die Hypothese H0 auf einem Signifikanzniveau von 5% ablehnen?
b) Ist die Anzahl der Sechsen kleiner als k, soll die Hypothese H0 beibehalten, andernfalls soll sie verworfen werden. Wie ist K bei einem Signifikanzniveau von 1% zu wählen? (c= 2,33)
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass H0 angenommen wird, obwohl H1 stimmt? (Fehler 2. Art) |
Hallo,
a) habe ich bereits berechnet und da kommt für den Annahmebereich 0; 14 heraus (haben wir auch in der Schule abgeglichen). Wir haben H0 genommen und die Gegenhypothese unberücktsichtigt gelassen.
Bei b) habe ich leider keinen Ansatz. Ich verstehe gar nicht, was ich machen soll und vor allem wie. Da ich die Aufgabe aber bis morgen brauche, wäre es freundlich, wenn mir jemand die Aufgabe kurz und knapp erläutern könnte, wenn möglich mit Lösungsschritten.
Bei c) fällt mir ebenfalls keine Möglichkeit ein, wie man das berechnen soll.
Ich bitte dringend um Hilfe und danke schonmal im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Do 11.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Englein89
>
> a) habe ich bereits berechnet und da kommt für den
> Annahmebereich 0; 14 heraus (haben wir auch in der Schule
> abgeglichen). Wir haben H0 genommen und die Gegenhypothese
> unberücktsichtigt gelassen.
Meinst du *an*genommen? Das verwirrt mich etwas, denn es wurden ja 15 Sechsen geworfen, und die Zahl 15 liegt nicht im Annahmebereich. Was bitte ist die Gegenhypothese? Ich vermute H$_1:p>0.1$, da in deinem Betreff "einseitiger Test" steht.
> Bei b) habe ich leider keinen Ansatz. Ich verstehe gar
> nicht, was ich machen soll und vor allem wie. Da ich die
> Aufgabe aber bis morgen brauche, wäre es freundlich, wenn
> mir jemand die Aufgabe kurz und knapp erläutern könnte,
> wenn möglich mit Lösungsschritten.
Was bedeutet der Zusatz (c=2,33) in der Aufgabenstellung?
> Bei c) fällt mir ebenfalls keine Möglichkeit ein, wie man
> das berechnen soll.
Auch hier faellt die Hilfe leichter, wenn man wuesste, worum es geht, d.h., der genaue Wortlaut der Aufgabenstellung fehlt.
>
> Ich bitte dringend um Hilfe und danke schonmal im Voraus!
Bitte nicht draengeln.
lg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Do 11.10.2007 | | Autor: | Englein89 |
Hallo,
bei a haben wir H0 angenommen aus dem grund, dass wenige 6en eher für eine kleinere Wahrscheinlichkeit, also H0 sprechen, auch wenn 15 danach nicht im Annahmebereich lag. Die Frage war ja, ob man die Hypothese H0 ablehnen kann auf einem Signifikanzniveau von 5% und dann haben wir als Antwort geschrieben, dass H0 verworfen werden kann, da 15 nicht im Annahmebereich liegt.
Bei b) ist der Zusatz von mir geschrieben worden, da man da evtl mit c, dem Wert für die Rechnung mit dem Signifikanzniveau evtl nicht parat hat und bevor jemand suchen muss und den braucht, hab ich den Wert hinzugefügt.
Bei c) Steht die Aufgabe genauso im Buch, wie ich es geschrieben habe. Es geht darum, wie groß die Wahrscheinlichkeit in dem Fall (evtl auch allgemein, das weiß ich nicht, da ich nicht weiß, wie man das überhaupt berechnet - ob man zb die Werte aus der Aufgabe braucht oder das allgemein berechnet) ist, dass man H0 als Hypothese annimmt, obwohl eigentlich die Gegenhypothese, also H1 die richtige ist.
Man muss bei der Aufgabe scheinbar individuell entscheiden ob man H0, also 0,1 oder H1, also 1/6 als p annimmt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Do 11.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
es kommt etwas Licht ins Dunkel. Muss zu meiner Schande gestehen,
dass ich ueberlesen habe, dass p nur die Werte 0.1 oder 1/6 annehmen
kann...
Zu a) Aha, ihr habt anscheinend H$_0$ verworfen, was auch Sinn macht.
Zu b) Gesucht ist $k$, so dass gilt [mm] $P(S\le k)\le [/mm] 0.99$, wenn gilt
$p=0.1$. Dabei ist $S$ die Anzahl der gewuerfelten Sechsen. (Bedenke:
In Teil a) wurde das $k'$ so bestimmt, dass gilt [mm] $P(S\le k')\le [/mm] 0.95$
fuer $p=0.1$; die Loesung ist hier $k'=14$, so dass der Annahmebereich
[mm] $\{0,1,2,...,14\}$ [/mm] resultiert). Die Loesung ist $k=17$, und der
zugehoerige Annahmebereich ist [mm] $\{0,1,2,...,17\}$.
[/mm]
Zu c) Hier ist [mm] $P(S\le [/mm] 17)$ gesucht, wenn gilt $p=1/6$. (Du nimmst ja
H$_0$ an, wenn hoechstens 17 Mal eine Sechs geworfen wird.) Mit einem
Statistikprogramm errechne *ich* [mm] $P(S\le [/mm] 17)=0.5994$, wenn gilt $p=1/6$.
lg Luis
|
|
|
| |
|
Hallo und vielen Dank schonmal für die Ansätze, das bringt schon etwas mehr Klarheit.
Ich verstehe nur nicht, wie man bei b das k berechnet, vielleicht stehe ich auf dem Schlacuh und es geht ganz einfach, aber ich hab gerade ein Brett vor dem Kopf.
Warum überhaupt 0,99? Ich würde ja 1-0,1 verstehen, aber das sind ja nicht 0,99.
Bei a haben wir gar nicht mit k gerechnet.
Wir haben gerechnet [mm] A(nnahmebereich)=[0;\mu+c*sigma]
[/mm]
n=100
[mm] \mu=100*0,1=10
[/mm]
Sigma=Wurzel aus 10*0,9=3
Signifikanzniveau= 5%= 1,64
c*sigma=4,29
A=[0;14]
Daher verstehe ich die rechenweise nicht, vor allem das k-Strich.
Kommt man bei c nicht mit einer Rechnung weiter? Ich kann ja nicht sagen, dass das ein Statistikprogramm rechnen kann ;o)
Vielen Dank im Voraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Do 11.10.2007 | | Autor: | luis52 |
>
> Ich verstehe nur nicht, wie man bei b das k berechnet,
> Warum überhaupt 0,99? Ich würde ja 1-0,1 verstehen, aber
> das sind ja nicht 0,99.
Weil bei b) mit dem Signifikanzniveau 1%, also 0.01 zu rechnen ist.
> Bei a haben wir gar nicht mit k gerechnet.
Macht nix, ich kanns auch ohne mit k. 
> Wir haben gerechnet [mm]A(nnahmebereich)=[0;\mu+c*sigma][/mm]
> n=100
> [mm]\mu=100*0,1=10[/mm]
> Sigma=Wurzel aus 10*0,9=3
> Signifikanzniveau= 5%= 1,64
> c*sigma=4,29
> A=[0;14]
Ahja. Du kannst das fast wortwoertlich uebernehmen. Im Fall b) ist
[mm] $A=[0;\mu+c*\sigma]=[0,100*0,1+2.33*\sqrt{10*0.9}=[0,16.99]\approx[0,17]$.
[/mm]
>
> Daher verstehe ich die rechenweise nicht, vor allem das
> k-Strich.
Vergiss es.
>
> Kommt man bei c nicht mit einer Rechnung weiter? Ich kann
> ja nicht sagen, dass das ein Statistikprogramm rechnen kann
> ;o)
Doch, aber ich weiss nicht, was du schon weisst. Wenn dir bekannt ist, dass du die Verteilung von $S$ durch eine Normalverteilung approximieren kannst, dann sind wir fein raus. Ist $p=1/6$, so ist $S$ approximativ normalverteilt mit Erwartungswert $100/6$ und Varianz $100*1/6*5/6$. Folglich ist
[mm] $P(S\le 17)\approx\Phi(\frac{100+0.5-100/6}{\sqrt{100*1/6*5/6}})=0.5885$.
[/mm]
lg Luis
|
|
|
| |
|
Hallo,
woher kommt der Zähler aus dem Bruch? Ich kann dem nicht ganz folgen bei c.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 11.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
der Erwartungswert von $S$ ist [mm] $\operatorname{E}[S]=100*1/6$, [/mm] die Varianz ist [mm] $\operatorname{Var}[S]=100*1/6*5/6$. [/mm] Dann lautet die Approximation fuer [mm] $P(S\le [/mm] s)$:
[mm] $P(S\le s)\approx \Phi(\frac{s+1/2-\operatorname{E}[S]}{\sqrt{\operatorname{Var}[S]}})$.
[/mm]
lg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Do 11.10.2007 | | Autor: | Englein89 |
Ich glaube es liegt daran, dass wir "Approximationen" noch nicht kennen im Unterricht. Deshalb ist mir zwar im Zähler die 100/6 klar, aber nicht, warum 100-0,5 gerechnet wird. Was ist s und woher kommen die 0,5? Wir stellen das S als X dar, das ist ja nicht das problem, aber was dann x statt s sein könnte, weiß ich nicht ;o)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Do 11.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Rechne ohne +1/2 und mit X. Die +1/2 dient nur dazu, etwas genauere Ergebnisse zu erhalten. Ich hatte gehofft, ihr kennt die Formel.
lg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Do 11.10.2007 | | Autor: | Englein89 |
Nein, kenne ich nicht, aber da hab ich ja was gelernt.
Trotzdem weiß ich nicht was x und woher die 100 kommen soll. Auch zum besseren Rechnen? Aber dann käme ja eine extrem kleine Zahl heraus.
|
|
|
|
