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Hallo,
ist meine Lösung richtig?
Aufgabe: Es seien V ein n-dimensionaler Vektorraum über [mm] \IK [/mm] und [mm] \Phi [/mm] ein Endomorphismus von V. Weiter sei p [mm] \in \IK[x] [/mm] ein Polynom.
Zeigen Sie:
Gilt [mm] p(\Phi) [/mm] = [mm] id_V, [/mm] so ist p(c) = 1 für alle Eigenwerte c von [mm] \Phi.
[/mm]
Meine Lösung:
Das Polynom p habe die Form p(x) = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + ... + [mm] a_n x^n [/mm] mit [mm] a_i \in \IK [/mm] für i = 0, ..., n
Nun setze ich [mm] \Phi [/mm] in p ein und erhalte:
[mm] p(\Phi) [/mm] = [mm] a_0 id_v [/mm] + [mm] a_1 \Phi [/mm] + ... + [mm] a_n \Phi^n [/mm] = [mm] id_V [/mm] (nach Vor.)
[mm] \gdw a_0 id_v [/mm] - [mm] id_V [/mm] + [mm] a_1 \Phi [/mm] + ... + [mm] a_n \Phi^n [/mm] = 0
Nun gilt für alle v [mm] \in [/mm] V:
[mm] (a_0 id_v [/mm] - [mm] id_V [/mm] + [mm] a_1 \Phi [/mm] + ... + [mm] a_n \Phi^n)(v) [/mm]
= [mm] a_0 [/mm] v - v + [mm] a_1 \Phi(v) [/mm] + ... + [mm] a_n \Phi^n(v) [/mm] = 0.
Sei jetzt v der Eigenvektor zum Eigenwert c. Dann gilt für den Eigenvektor, dass er ungleich Null ist. Außerdem gilt [mm] \Phi(v) [/mm] = cv. Weiter gilt, falls c Eigenwert von [mm] \Phi, [/mm] dann [mm] c^j [/mm] Eigenwert von [mm] \Phi^j [/mm] für j = 0, ..., n.
Für dieses v gilt:
[mm] (a_0 id_v [/mm] - [mm] id_V [/mm] + [mm] a_1 \Phi [/mm] + ... + [mm] a_n \Phi^n)(v) [/mm]
= [mm] a_0 [/mm] v - v + [mm] a_1 [/mm] c v + ... + [mm] a_n c^n [/mm] v = 0
[mm] \gdw v(a_0 [/mm] - 1 + [mm] a_1 [/mm] c + ... + [mm] a_n c^n) [/mm] = 0
Da v Eigenvektor kann v nicht Null sein. Das beudetet, dass
[mm] a_0 [/mm] - 1 + [mm] a_1 [/mm] c + ... + [mm] a_n c^n [/mm] = 0
[mm] \gdw a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] c + ... + [mm] a_n c^n [/mm] = 1 = p(c) [mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung.
Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 So 15.02.2009 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Ist alles richtig. Kann man aber schöner schreiben: ist [mm] $v\ne [/mm] 0$ ein Eigenvektor zum Eigenwert c, so gilt [mm] $v=p(\Phi)(v)=...=p(c)\cdot [/mm] v$, also insgesamt [mm] $v=p(c)\cdot [/mm] v$ und, weil [mm] $v\ne [/mm] 0$ war, $p(c)=1$.
Gruß, Robert
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