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An einer Stelle hat ein zylindrischer Draht einen dünnen Querschlitz mit der Dicke d<<R. Der Draht wird hinreichend lange vom Gleichstrom [math] I_0 [/math] durchlossen. Die kreisförmigen Endflächen werden wie ein Kondensator aufgeladen.
Ich soll nun das elektrische und magnetische Feld berechnen (genau so steht es auf dem Zettel). Das magnetische Feld habe ich bereits. Dieses kann man mit dem Ampere-Maxwell-Gesetz berechnen und habe folgendes raus:
[math] B=\bruch{I_{0}\mu_{0}}{2\pi*R} [/math]
Meine Frage bezieht sich nun auf das elektrische Feld. Meine bekannten Größen sind ja d,R und I. Kann ich irgendwie mit den Größen das elektrische Feld beschreiben? Mit irgendeiner Kombination der Standardformeln wie E=U/d usw. hat mich nicht weitergebracht.
Danach soll ich den Poynting-Vektor [math] \vec{S}=\vec{E} \times \vec{H} [/math] am seitlichen Rand des Kondensators berechnen. Wohin B und E zeigen, weiß ich, aber wie soll ich das sinnvoll ausrechnen, also in was für ein Koordinatensystem?
Als letztes soll ich die gesamte in das Kondensatorvolumen einströmende Energie mit der zeitlichen Änderung der elektrostatischen Energie im Kondensator vergleichen.
Ersteres: [math] W=\bruch{1}{2}CU^2=\bruch{1}{2}*\varepsilon_{0}*\bruch{A}{d}E^2d^2=\bruch{1}{2}\varepsilon_{0}AE^2d=\bruch{1}{2}\varepsilon_{0}VE^2 [/math]
V ist das Volumen.
Nur bei der elektrostatischen Energie weiß ich nicht weiter.
Ich wäre für Hilfe sehr dankbar!
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Hallo!
Bitte poste die exakte Aufgabenstellung; dadurch werden Missverständnisse vermieden.
> An einer Stelle hat ein zylindrischer Draht einen dünnen
> Querschlitz mit der Dicke d<<R. Der Draht wird hinreichend
> lange vom Gleichstrom [math]I_0[/math] durchlossen. Die kreisförmigen
> Endflächen werden wie ein Kondensator aufgeladen.
> Ich soll nun das elektrische und magnetische Feld
> berechnen (genau so steht es auf dem Zettel). Das
> magnetische Feld habe ich bereits. Dieses kann man mit dem
> Ampere-Maxwell-Gesetz berechnen und habe folgendes raus:
>
> [math]B=\bruch{I_{0}\mu_{0}}{2\pi*R}[/math]
>
> Meine Frage bezieht sich nun auf das elektrische Feld.
> Meine bekannten Größen sind ja d,R und I. Kann ich
> irgendwie mit den Größen das elektrische Feld
> beschreiben? Mit irgendeiner Kombination der
> Standardformeln wie E=U/d usw. hat mich nicht
> weitergebracht.
Schau mal hier.
> Danach soll ich den Poynting-Vektor [math]\vec{S}=\vec{E} \times \vec{H}[/math]
> am seitlichen Rand des Kondensators berechnen. Wohin B und
> E zeigen, weiß ich, aber wie soll ich das sinnvoll
> ausrechnen, also in was für ein Koordinatensystem?
Nun, wenn du einen zylindrischen Leiter betrachtest, bietet sich natürlich ein Zylinderkoordinatensystem an.
> Als letztes soll ich die gesamte in das Kondensatorvolumen
> einströmende Energie mit der zeitlichen Änderung der
> elektrostatischen Energie im Kondensator vergleichen.
> Ersteres:
> [math]W=\bruch{1}{2}CU^2=\bruch{1}{2}*\varepsilon_{0}*\bruch{A}{d}E^2d^2=\bruch{1}{2}\varepsilon_{0}AE^2d=\bruch{1}{2}\varepsilon_{0}VE^2[/math]
>
> V ist das Volumen.
> Nur bei der elektrostatischen Energie weiß ich nicht
> weiter.
>
> Ich wäre für Hilfe sehr dankbar!
Viele Grüße, Marcel
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OK, hier die exakte Aufgabenstellung:
>>Ein langer zylindrischen Draht mit dem Radius R und vernachlässigbarem Widerstand sei durch einen dünnen Querschlitz der Dicke d ≪ R unterbrochen (s. Skizze). Durch den Draht fließe hinreichend lange der Gleichstrom [math] I_{0} [/math] Dabei werden die Endflächen am Schlitz wie ein Plattenkondensator aufgeladen.
(a) Berechnen Sie das elektrische und magnetische Feld.
(Das elektrische Feld im Schlitz sei homogen, Randeffekte sollen vernachlässigt werden.)
(b) Berechnen Sie den Poynting-Vektor S⃗ = E⃗ × H⃗ am am seitlichen Rand des Kondensators!
(c) Vergleichen Sie die gesamte in das Kondensatorvolumen einströmende Energie mit der zeitlichen Änderung der elektrostatischen Energie im Kondensator!<<
Bei dem Link wird E aber aber mit Q beschrieben, aber das ist ja nicht gegeben. Diese Formel meine ich:
[math] {\vec{E}_{z}}=\bruch{Q}{\varepsilon\pi{a}^{2}}\vec{e}_{z}. [/math]
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Hallo!
Es handelt sich um einen Aufladevorgang mit dem konstanten Strom [mm] I_0 [/mm] . Damit erhälst du die Ladung [mm] Q=I_0*t [/mm] , das ganze ist also Zeitabhängig.
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Klar, darauf hätte ich auch kommen können (Wald und Bäume, weißt ja ;). Worauf du mich dann gebracht hast, war, dass der Strom "hinreichend lange" (wie im Aufgabentext geschrieben) fließt.
Nur fehlt noch die Aufgabe c.
Ich denike, mir ist nicht klar, wo genau der Unterschied zwischen "einströmende Energie" und " (zeitliche Änderung der) elektrostatische(n) Energie" ist.
Eine Formel für "die Energie eines Plattenkondensators" (laut Formelsammlung) ist:
[math] W=\bruch{1}{2}CU^2 [/math]
Nach Umformulierungen kann man schreiben:
[math] W=\bruch{1}{2}\varepsilon_{0} VE^2 [/math]
Wenn ich E durch
[math] E=\bruch{I_{0}t}{\pi R^{2}\varepsilon_{0}} [/math]
ersetze, bekomme ich:
[math] W=\bruch{1}{2}V(\bruch{I_{0}t}{\pi R^{2} \varepsilon_{0}})^2 [/math]
Daran kann ich möglicherweise noch etwas herumbasteln, aber das ist doch die elektrostatische Energie, bzw. kann das nach t ableiten und bekomme die zeitliche Änderung der elektrostatischen Energie, oder?
Und wie berechne ich dann die in das Kondensaorvolumen einströmende Energie?
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Hallo!
Fasen wir nochmal die Inhalte aus Link zusammen, den ich dir geschickt hatte. Aus dem Durchflutungsgesetz
(1) [mm] I=\integral_{\varphi=0}^{2\pi}{H_{\varphi}(\varrho=R)\vec{e}_{\varphi}\cdot{}\vec{e}_{\varphi}}\varrho{d\varphi}=2\pi{R}H_{\varphi}
[/mm]
erhält man zunächst für den Betrag der magnetischen Feldstärke an der Oberfläche des Leiters
(2) [mm] {H_{\varphi}}=\bruch{I}{2\pi{R}}. [/mm]
Unter Berücksichtung der Orientierung erhält man also für den zugrundeliegenden Vektor
(3) [mm] {\vec{H}_{\varphi}}=\bruch{I}{2\pi{R}}\vec{e}_{\varphi}, [/mm] mit [mm] |{\vec{H}_{\varphi}}|=\bruch{I}{2\pi{R}}.
[/mm]
Mit einer weiteren Maxwell´schen Gleichung, nämlich dem Satz von Gauß
(4) [mm] Q=\integral_{\varphi=0}^{2\pi}{}\integral_{\varrho=0}^{R}{}\varepsilon{E_{z}\vec{e}_{z}\cdot{}\vec{e}_{z}\varrho{d\varrho}d\varphi}
[/mm]
erhält man dann zunächst für den Betrag der elektrischen Feldstärke
(5) [mm] {E_{z}}=\bruch{Q}{\varepsilon\pi{R}^{2}}
[/mm]
und unter Berücksichtung der Wirkungsrichtung den elektrischen Feldstärkenvektor
(6) [mm] {\vec{E}_{z}}=\bruch{Q}{\varepsilon\pi{R}^{2}}\vec{e}_{z}, [/mm] mit [mm] |{\vec{E}_{z}}|=\bruch{Q}{\varepsilon\pi{R}^{2}}.
[/mm]
Jetzt sollst du ja mit
(7) [mm] \vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}
[/mm]
den Poynting´schen Vektor berechnen. Setzt man diesbezüglich also die Gleichungen (3) und (6) in Gleichung (7) ein, erhält man unter Berücksichtigung eines Zylinderkoordinatensystems [mm] (\varrho,\varphi,z) [/mm] unmittelbar
(8) [mm] \vec{S}={\vec{E}_{z}}\times{\vec{H}_{\varphi}}=|{\vec{E}_{z}}|\vec{e}_{z}\times|{\vec{H}_{\varphi}}|\vec{e}_{\varphi}=\vektor{0 \\ 0 \\ |{\vec{E}_{z}}|}\times\vektor{ 0 \\ |{\vec{H}_{\varphi}}| \\ 0 }=-\vektor{|{\vec{E}_{z}}|*|{\vec{H}_{\varphi}}|}\vec{e}_{\varrho}=-|\vec{S}_{\varrho}|\vec{e}_{\varrho}.
[/mm]
Viele Grüße, Marcel
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