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Elektrisches Feld: Ladung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:05 Mo 08.03.2021
Autor: Leon33

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]


Hi hat jemand tipps wie ich die Aufgabe im Anhang bearbeiten kann?
Oder tipps?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Elektrisches Feld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:05 Di 09.03.2021
Autor: chrisno

Hallo,

Du machst es den Anwortwilligen einfacher, wenn du den Text hier eintippst. An den Formeleditor muss man sich etwas gewöhnen, das dauert nicht lange und Hilfe gibt es dabei auch.

Bitte lies Punkt 8 in den Forenregeln.
https://vorhilfe.de/codex
Es fehlt Dein Beitrag. So ist es ganz schwer, abzuschätzen, wo Du Hlfe brauchst. Ich helfe dir beim Anfang:

"Parametrisieren Sie die Wegstrecken in kartesischen Koordinaten."
Fang damit an.

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Bezug
Elektrisches Feld: Bevor du rechnest...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Mi 10.03.2021
Autor: HJKweseleit

Bevor du rechnest...
...solltest du dir einen Überblick über den physikalischen Hintergrund verschaffen:

Die Punktladung im Ursprung macht ein Feld, das radialsymmetrisch ist, d.h., wenn du die Anordnung im Ursprung um einen Winkel [mm] \alpha [/mm] drehst, sieht das Feld völlig unverändert aus. Im selben Abstand vom Ursprung ist also die Feldstärke gleich groß und, viel wichtiger, in diesem Fall immer vom Ursprung weg gerichtet.

Wenn du dich nun mit der Ladung -q auf einem Halbkreis von [mm] P_1 [/mm] nach [mm] P_2 [/mm] bewegst, bleibst du immer im selben Abstand vom Ursprung und bewegst dich jeweils senkrecht zu den Feldlinien. Daher ist [mm] \vec{r}*d\vec{l} [/mm] immer 0, und das Integral muss auch 0 ergeben. Du bewegst dich hier auf einer Äquipotenzialfläche.

Wenn du dich nun von [mm] P_2 [/mm] nach [mm] P_3 [/mm] bewegst, entfernst du dich gegen die Anziehung vom Urprung vom Abstand a zum Abstand [mm] a\wurzel{2} [/mm] und steckst so Energie in das System. Multipliziert man das Integral mit -q und zieht dieses ins Integral, so gibt -qE die elektrische Kraft, multipliziert mit dem Weg somit diese Energie bzw. geleistete Arbeit. Du bekommst somit den selben Wert heraus, als würdest du auf der x-Achse von a nach [mm] a\wurzel{2} [/mm] gehen, weil du dann auf der selben Äquipotenzialfläche landest.


Natürlich sollst du zusätzlich zu diesen Gedankengängen das jeweilige Integral wie angegeben berechnen, aber im ersten Fall weißt du schon, dass 0 herauskommen muss, und im 2. Fall solltest du zur Kontrolle und Übung zusätzlich nur auf der x-Achse wandeln und das selbe herausbekommen.

Beim verlangten Integral ziehst du jetzt erst mal den Faktor [mm] \bruch{Q}{4\pi \epsilon_0} [/mm] vor (ich vermute das e an [mm] Q_e [/mm] soll ein Index sein, ansonsten beschreibt die Gleichung die el. Kraft), drückst dann x und y mit a, einem Winkel [mm] \alpha [/mm] und dem sin und cos aus. [mm] d\vec{l} [/mm] ist dann auf dem ersten Wegstück die Ableitung dieses Vektors nach [mm] \alpha, [/mm] und du bekommst so etwas wie [mm] d\vec{l}=\vektor{r \\ s}d\alpha. [/mm] Den Vektor multiplizierst du  vektoriell mit [mm] \vec{r} [/mm] (***), teilst das Ganze durch [mm] r^3 [/mm] und integrierst.

Auf dem 2. Wegstück ändern sich aber [mm] \vec{r} [/mm] und damit auch [mm] d\vec{l}. [/mm] Hier nimmst du  [mm] \vec{r}=\vektor{a \\ y} [/mm] und für [mm] d\vec{l}...(?) [/mm]

--------
(***) Beim ersten Weg muss das Vektorprodukt schon 0 ergeben und du bist fertig.

Zur Kontrolle: Beim 2. Weg sollte [mm] \bruch{Q}{4\pi \epsilon_0}(\bruch{1}{a}-\bruch{1}{a\wurzel{2}}) [/mm] herauskommen.

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Elektrisches Feld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Mi 10.03.2021
Autor: Leon33

Ich habe jetzt versucht über den Halbkreis zu integrieren

[Dateianhang nicht öffentlich]

Soll ich das so machen ?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Elektrisches Feld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Mi 10.03.2021
Autor: HJKweseleit

Der 2. Vektor muss hier die Ableitung des ersten sein, ist also nicht mit ihm identisch.

Warum?

Der erste Vektor beschreibt alle [mm] \vec{r}-s [/mm] auf dem Halbkreis.

Dann ist [mm] d\vec{l}=d\vec{r}, [/mm] weil du ja von einem [mm] \vec{r} [/mm] ein Stückchen weiter zum anderen [mm] \vec{r} [/mm] gehst. Somit  ist

[mm] d\vec{l}/dt=d\vec{r}/dt=\vektor{-a* cos(t) \\ -a *sin(t)} [/mm] und damit [mm] d\vec{l}=\vektor{-a *cos(t) \\ -a* sin(t)}dt, [/mm] und im Integral steht nun

[mm] \vektor{-a* sin(t) \\ a *cos(t)} [/mm] * [mm] \vektor{-a *cos(t) \\ -a *sin(t)}dt [/mm]


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Elektrisches Feld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:09 Do 11.03.2021
Autor: Leon33

[mm]\bruch{Q*r}{4pi*eo*r^3}\int_{0}^{pi} a^2cos(t)sin(t)-a^2cos(t)sin(t)\, dt[/mm]

Die Frage ist jetzt wie integriere ich das ?
Habe die Vektoren hier oben ausmultipliziert

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Elektrisches Feld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:59 Do 11.03.2021
Autor: chrisno

Vereinfache der Integranden.

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Elektrisches Feld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:15 Do 11.03.2021
Autor: Leon33

[mm]\bruch{Q*r}{4pi*eo*r^3}\int_{0}^{pi} a^2cos(t)sin(t)-a^2cos(t)sin(t)\, dt = 0?[/mm]

wenn man ausklammern würde , [mm] a^2*(costsindt-costsint) [/mm] ?
Ich habe kein additionstheorem gefunden ?

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Elektrisches Feld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:41 Do 11.03.2021
Autor: fred97


> [mm]\bruch{Q*r}{4pi*eo*r^3}\int_{0}^{pi} a^2cos(t)sin(t)-a^2cos(t)sin(t)\, dt = 0?[/mm]
>  
> wenn man ausklammern würde , [mm]a^2*(costsindt-costsint)[/mm] ?
>  Ich habe kein additionstheorem gefunden ?

Wozu ein Additionstheorem ?

Es ist doch $uvw-uvw=0.$ Bei Dir ist [mm] $u=a^2, [/mm] v= [mm] \cos(t)$ [/mm] und $w= [mm] \sin(t).$ [/mm]


Damit ist [mm] $\int_{0}^{\pi} (a^2 \cos(t) \sin(t)-a^2\cos(t)\sin(t)) [/mm] dt = 0 $

Bezug
                                                                
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Elektrisches Feld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 Do 11.03.2021
Autor: Leon33

[mm][mm] \bruch{Q*r}{4pi*eo*r^3}\int_{0}^{pi} [/mm] a^2cos(t)sin(t) dt -
[mm] \int_{0}^{pi} [/mm] a^2cos(t)sin(t) dt =  [mm] \bruch{a^2sin^2(t)}{2} [/mm] -
[mm] \bruch{a^2sin^2(t)}{2}]/mm] [/mm]

Das ist das errechnete Integral ?
Aber wenn ich die Grenzen 0 und pi für t einsetze ,kommt 0 raus ?
oder sind meine Grenzen falsch?


Also es kommt 0 raus auch für den Halbkreis ?
Leute wie gehe ich jetzt weiter vor?

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Elektrisches Feld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 Do 11.03.2021
Autor: fred97


> [mm][mm]\bruch{Q*r}{4pi*eo*r^3}\int_{0}^{pi}[/mm] a^2cos(t)sin(t) dt -

[mm]\int_{0}^{pi}[/mm] a^2cos(t)sin(t) dt =  [mm]\bruch{a^2sin^2(t)}{2}[/mm] -
[mm]\bruch{a^2sin^2(t)}{2}]/mm][/mm]

Das ist das errechnete Integral ?
Aber wenn ich die Grenzen 0 und pi für t einsetze ,kommt 0 raus ?
oder sind meine Grenzen falsch?

Also es kommt 0 raus auch für den Halbkreis ?
Leute wie gehe ich jetzt weiter vor?


Ist f die konstante funktion f(t)=0, so ist [mm] $\int_a^b [/mm] f(t) dt=0,$ dabei ist es völlig schnuppe, was Du für a und b wählst.

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Elektrisches Feld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Do 11.03.2021
Autor: chrisno


> Also es kommt 0 raus auch für den Halbkreis ?

Das hat Fred schon erklärt. Im Physikersprech:
Du kannst so oft Null addieren, wie du willst. Es kommt immer Null raus.

> Leute wie gehe ich jetzt weiter vor?

Den Aufgabentext lesen, die Tipps und Antworten hier auch ....

Du hast nun den einen Teil des Wegs bearbeitet. Also ist nun der zweite Teil dran. Parametrisiere den Weg. Schreibe das Intgeral hin. Berechne das Skalarprodukt im Integranden.

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Elektrisches Feld: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:14 Do 11.03.2021
Autor: fred97


> Im Physikersprech:
>  Du kannst so oft Null addieren, wie du willst. Es kommt
> immer Null raus.


Im Mathematikersprech: gilt für die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] , dass [mm] $a_n=0$ [/mm] ist für alle $n$, so ist [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ [/mm] konvergent und [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=0.$ [/mm]

Oder : $0+0+0+0+0+0+0+....=0.$

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Elektrisches Feld: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:05 Do 11.03.2021
Autor: Leon33

Weiss jemand von euch wie es beim zweiten Weg jetzt parametrisiert wird ?
Das fällt mir am meisten schwer

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Elektrisches Feld: Gerade
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Fr 12.03.2021
Autor: Infinit

Hallo Leon33,
da musst Du schon ein wenig üben und Dir über die Methode klar werden. Eine Gerade ist recht einfach zu parametrisieren. In diesem Fall würde ich es mal mit
[mm] r(t)=\vektor{a \\ at \\0} [/mm] ausprobieren mit t zwischen 0 und 1.
Viele Grüße,
Infinit

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Elektrisches Feld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Do 11.03.2021
Autor: HJKweseleit


> [mm]\bruch{Q*r}{4pi*eo*r^3}\int_{0}^{pi} a^2cos(t)sin(t)-a^2cos(t)sin(t)\, dt = 0?[/mm]
>  
> wenn man ausklammern würde , [mm]a^2*(costsindt-costsint)[/mm] ?
>  Ich habe kein additionstheorem gefunden ?

Du brauchst doch kein Additionstheorem: Wenn du einen Ausdruck von sich selber abziehst, kommt doch immer 0 heraus. Also hast du nun

[mm]\bruch{Q*r}{4pi*eo*r^3}\int_{0}^{pi} 0[/mm] [mm] dt [/mm].

Die Stammfunktion von 0 ist aber eine Konstante C (die auch 0 sein darf). Wenn du nun für C die Ober- und dann die Untergrenze einsetzt, bekommst du C-C=0 heraus. Das Integral hat also den Wert 0 und damit der gesamte Ausdruck.


Und jetzt lies dir bitte noch mal meine beiden vorherigen Beiträge durch - da habe ich dir schon fast alles vorgerechnet.

Der 2. Weg wird durch [mm] \vec{r}=\vektor{a \\ t} [/mm] parametrisiert. Warum??? Wenn du das nur benutzt, hilft es dir wenig - du musst auch verstehen, wieso das so ist. Und nun schau dir an, was ich im 2. Betrag über den ersten Weg geschrieben habe...




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Elektrisches Feld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Do 11.03.2021
Autor: Leon33

[mm][mm] \bruch{Q*r}{4pi*eo*r^3}\int_{\wurzel{2}a}^{a} \bruch{aex+t*ey}{\wurzel{a^2+t^2}}*ezdt [/mm] ]/mm]

Nach dem Hinweis kommt nach den integrieren ne 1 im Zähler oder ?

das dl/dt = ez oder ?


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Elektrisches Feld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:49 Do 11.03.2021
Autor: HJKweseleit

Ich habe dir schon fast alles gezeigt, aber offenbar kommst du nicht damit zurecht. Deshalb hier die komplette Rechnung (nur für den variablen Teil im Integral, den Rest haben wir ja vorgeklammert).

[mm] \vec{r}=\vektor{a \\ t}, [/mm] wobei t von 0 bis a läuft. Ist dir das klar?

Dieser Vektor fährt dann vom Ursprung mit seiner Spitze den 2. Weg entlang. [mm] d\vec{r} [/mm] ist dann ein Vektor, der von der Spitze so eines Pfeils zur Spitze des "nächsten" geht (d heißt kleine Differenz), und damit ist [mm] d\vec{r}=d\vec{l} [/mm] genau ein kleines Wegstückchen auf dem 2. Weg.

Genau wie in meinem 2. Beitrag bekommst du nun [mm] d\vec{r} [/mm] durch Ableiten nach t, wobei a konstant und damit dessen Ableitung nach t 0 ist:

[mm] \bruch{d\vec{r}}{dt}=\vektor{0 \\ 1} [/mm] und damit [mm] d\vec{r}=\vektor{0 \\ 1}*dt. [/mm] Damit wird

[mm] \vec{r}*d\vec{l}=\vektor{a \\ t}\vektor{0 \\ 1}*dt= [/mm] t*dt.   Es wird skalar multipliziert und gibt eine Zahl (bzw. ein t), da kommen weder [mm] e_x [/mm] noch [mm] e_y [/mm] noch [mm] e_z [/mm] vor.

Außerdem ist [mm] |\vec{r}|=\wurzel{a^2+t^2}, [/mm] und du erhältst nun
  
[mm] \bruch{\vec{r}*d\vec{l}}{|\vec{r}|^3}=\bruch{t*dt}{\wurzel{a^2+t^2}^3}. [/mm]  

Das Integral solltest du nun allein mit dem Tipp in der Aufgabenstellung hinbekommen. Dabei läuft aber t von 0 bis a, s.o. Vergleiche das Ergebnis mit meinem im 1. Beitrag.

Wenn ich im 1. Beitrag geschrieben habe dass du auch auf der x-Achse von a zu [mm] a\wurzel{2} [/mm] wandern kannst, solltest du dort für die Grenzen a und [mm] a\wurzel{2} [/mm] einsetzen. Allerdings sieht der Integralterm dann auch etwas einfacher aus, so dass das selbe am Schluss herauskommt.

Finde unbedingt die Fehler, die du gemacht hast. Dies war eine relativ leichte Aufgabe, die nächsten werden vermutlich schwerer...

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Elektrisches Feld: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 Do 11.03.2021
Autor: Leon33

Ich habe noch paar Verständnisfragen .
Warum hat eigentlich der r(t) nur 2 Komponenten und nicht 3 ?
Woran erkennst du das ?
Das ist mir nicht klar

Wieso nimmst du auch eine Komponente a und die andere t?
Ok in der Aufgabe gab es den Hinweis das r= die wurzel aus [mm] a^2 [/mm] und [mm] t^2 [/mm] ist ,aber wie kommen die da drauf ?

Bezug
                                                                                        
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Elektrisches Feld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:50 Fr 12.03.2021
Autor: chrisno


> Ich habe noch paar Verständnisfragen .
>  Warum hat eigentlich der r(t) nur 2 Komponenten und nicht 3 ?

Die Aufgabe ist erst einnmal mit 3 Koordinatenachsen gestellt. Das passt gut zu der Welt in der wir leben. Man braucht aber nur zwei Koordinaten davon und kann sich so etwas Schreibarbeit sparen.

>  Woran erkennst du das ?

Die Bewegung findet nur in der x-y-Ebene statt. Da reichen zwei Koordinaten. Die reichen immer, wenn es sich um eine Bewegung in einer Ebene handelt, auch wenn die irgendwie schräg im Raum liegt.


>  Das ist mir nicht klar

Rechne das Ganze noch einmal mit drei Koordianten. Du kannst dabei z auf irgendeinen Wert setzen.
Beim Rechnen bemerkst du dann, was passiert.

>
> Wieso nimmst du auch eine Komponente a und die andere t?

Spiele mal die Paramtrisierung durch. Zeichne lauter Punkte.
Beginne mit t = 0, dann t = 0,2, weiter mit t = 0,4
Welches ist er letzte Punkt, den du zeichnen musst? Welchen Wert hat dann t?


>  Ok in der Aufgabe gab es den Hinweis das r= die wurzel aus
> [mm]a^2[/mm] und [mm]t^2[/mm] ist ,aber wie kommen die da drauf ?

Schau in die Skizze. Da hst du a gegeben. Das ist also ein Wert, der Bestandteil der Aufgabenstellung ist. Die Summe zweier Quadrate sollte dich an einen Satz aus der Geometrie der Mittelstufe erinnern...




Bezug
                                                                                                
Bezug
Elektrisches Feld: kleiner Einwand
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:24 Fr 12.03.2021
Autor: HJKweseleit


> Rechne das Ganze noch einmal mit drei Koordianten. Du
> kannst dabei z auf irgendeinen Wert setzen.
>  Beim Rechnen bemerkst du dann, was passiert.

Nein, dann muss man z auf 0 setzen, sonst wird der Vektor [mm] \vec{r} [/mm] länger und damit der Abstand vom Ursprung, so dass auch das Feld schwächer und damit der Integralwert kleiner wird. Es bleibt nur dann unerheblich, wenn man die Ursprungsladung von (0|0|0) nach (0|0|z) verschiebt, was aber nicht der Aufgabenstellung entspricht.


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Elektrisches Feld: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:01 Sa 13.03.2021
Autor: chrisno

Du hast recht. Ich hätte die Aufgabe nocheinmal genau lesen sollen.

Bezug
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