Elektrisches Potential, Punkt < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Ein Ring mit dem Radius r und vernachlässigbar kleinem Querschnitt trägt eine gleichmäßig am Umfang verteilte Ladung Q. Ein Punkt P hat von diesem Ring den Abstand a. Die Permittivitätszahl sei [mm] \epsilon_{r}=1.
[/mm]
Welches elektrische Potential [mm] \varphi [/mm] hat der Punkt P, wenn als Bezugspunkt ein unendlich weit entfernt liegender Punkt angenommen wird? |
Hallo Matheraum,
zunächst einmal mein Lösungsansatz:
Das elektrische Feld E, welche im Punkt P herrscht, habe ich bereits zu
[mm] \bruch{Qa}{4\pi\epsilon_{0}(r^{2}+a^{2})^{\bruch{3}{2}}}*\vec{e}_{x}
[/mm]
berechnet.
Zur Lösung der oben gestellten Aufgabe setze ich wie folgt an:
[mm] \varphi=-\integral_{}^{}{\vec{E}d\vec{s}}
[/mm]
[mm] =-\integral_{}^{}{\bruch{Qa}{4\pi\epsilon_{0}(r^{2}+a^{2})^{\bruch{3}{2}}}ds}
[/mm]
[mm] =-\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}}*\integral_{}^{}{\bruch{a}{(r^{2}+a^{2})^\bruch{3}{2}}ds}
[/mm]
Meine Frage:
(1) Wie kann ich das Integral nun lösen, bzw. wie finde ich eine
Stammfunktion? Gemäß des Differentials "ds" weiß ich nun nicht, wonach
ich genau integrieren muss.
Über eine baldige Antwort würde ich mich sehr freuen. Liebe Grüße,
Marcel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel08,
Das Potential im gesuchten Punkt setzt sich ja aus allen Anteilen zusammen, die von der Linienladung, die sich auf dem Ring befindet, erzeugt wird.
Diese Linienladung beträgt, da die Gesamtladung gleichmäßig auf dem Ring verteilt sein soll,
$$ [mm] \bruch{Q}{2 \pi r} \, [/mm] . $$
Du integrierst über diese Anteile auf dem Ring und Dein Differential ds ist ein Teil des Kreisbogens, also gilt
$$ ds = r [mm] \cdot [/mm] d [mm] \varphi [/mm] $$ und Du integrierst von 0 bis 2 Pi.
Viel Spaß dabei,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Dann gehe ich also folgendermaßen vor:
[mm] \varphi=-\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}}*\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{a}{(r^{2}+a^{2})^{\bruch{3}{2}}}rd\varphi}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}\bruch{Qar}{(r^{2}+a^{2})^{\bruch{3}{2}}\epsilon_{0}}
[/mm]
Laut Musterlösung müsste ich allerdings erhalten:
[mm] \varphi=-\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}}*\integral_{}^{}{\bruch{a}{(r^{2}+a^{2})^{\bruch{3}{2}}}ds}
[/mm]
[mm] =-\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}}*[\bruch{-1}{2*\bruch{1}{2}*(r^{2}+a^{2})^{\bruch{1}{2}}}]+d
[/mm]
Könntest du mir vielleicht noch einmal helfen? Ich denke ich bin noch immer auf dem Holzweg.
Gruß, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Infinit |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Marcel,
ich hatte in meinem Lösungsweg die Teilpotentiale direkt aufintegriert, ohne über das elektrische Feld zu gehen.
Ausgangspunkt ist die Gleichung
$$ \phi (P) = \bruch{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \int_{W} \bruch{q (P^{'}) ds^{'}}{R_{PP^{'}} $$
P ist der Punkt, in dem das Potential gesucht wird, in [mm] P^{'} [/mm] befindet sich eine Teilladung.
Mit der Linienladung [mm] q(P^{'}) = \bruch{Q}{2 \pi r } [/mm] und dem Abstand [mm] R_{PP^{'}}= \wurzel{r^2 + a^2} [/mm] bekommt man
[mm] \phi [/mm] (P) = [mm] \bruch{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \int_0^{2 \pi} \bruch{Q r d \varphi}{2 \pi r \wurzel{r^2 + a^2}} [/mm]
Nach der Integration kürzen sich die [mm] 2 \pi r [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
raus und man bekommt genau Dein Ergebnis:
$$ \phi = \bruch{Q}{ 4 \pi \epsilon_0 \wurzel{r^2 + a^2} $$
Der Weg über die Feldstärke sollte auch gehen, da muss ich aber erst noch mal meinen Griffel spitzen.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Okay super, vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Infinit |
Halo Marcel,
hier ist der Ansatz für die Rechnung über das E-Feld. Deine Variable ist in diesem Fall der Abstand a und eine Integration oder auch ein Blick in den Bronstein verrät Dir, dass
$$ [mm] \int \bruch{a \, da}{\wurzel{(x^2 + a^2)^3}} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2+a^2}} [/mm] $$ und so kommst Du auch zu Deinem Ergebnis. Der Weg über die Teilpotentiale ist jedoch einfacher, aber vielleicht nicht direkt einleuchtend, es ist eine Lösung der Poissonschen DGL.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
