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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Fr 13.07.2012 | | Autor: | fernweh |
| Aufgabe | Im Raum stehen zwei Hohlkugeln A und B mit Radien [mm] $R_A$ [/mm] und [mm] $R_B$ [/mm] und Mittelpunkten [mm] $\vec{r_A}$ [/mm] und [mm] $\vec{r_B}$, [/mm] die sich teilweise durchdringen. Dadurch wird der Raum in vier Teilgebiete [mm] $A\setminus [/mm] B$, [mm] $B\setminus [/mm] A$, [mm] $A\cap [/mm] B$ und [mm] $\overline{A \cup B}$ [/mm] aufgeteilt. Die Hohlkugeln seien mit homogenen Flächungsdichten [mm] $\sigma_A$ [/mm] und [mm] $\sigma_B$ [/mm] geladen.
a) Berechne das elektrische Feld [mm] $\vec{E}(\vec{r})$ [/mm] in den vier Teilräumen.
b) Berechne das elektrische Potential. |
Hallo zusammen
Obige Aufgabenstellung bereitet mir Mühe, bzw. nur die Aufgabe b. Ich beschränke mich hierbei auf das Teilgebiet [mm] $A\setminus [/mm] B$, da die anderen Gebiete gleich zu handhaben sind bzw. Superpostion bzw. eh gleich Null.
Die Aufgabe a ist an sich logisch (innerhalb der Hohlkugeln verschwindet das Feld, ausserhalb verhält es sich wie eine Punktladung bzw. mittels Gauss einfach zu ermitteln + Superpositionsprinzip) - sollte nach Musterlösung so auch stimmen. Für [mm] $A\setminus [/mm] B$
[mm] $A\setminus [/mm] B $: [mm] $\vec{E}(\vec{r}) [/mm] = [mm] \frac{R_B^2 \sigma_B}{\epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r_B}}{|\vec{r}-\vec{r_B}|^3}$
[/mm]
Aber nun bei b: Eigentlich gilt ja [mm] $\phi(\vec{r})=- \int{E(r) dr} [/mm] $, nur wie berechne ich das? Ich käme hier auf
[mm] $\phi(\vec{r})=\frac{R_B^2 \sigma_B}{\epsilon_0}\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r_B}|}$
[/mm]
Ist das falsch integriert oder ist da ein Denkfehler? Auf einer einzelnen "normalen" Hohlkuegel wäre ja das auch das richtige Potential?
In der Musterlösung steht da aber (leider ohne Lösungsweg):
[mm] $\phi(\vec{r})=\frac{R_B^2 \sigma_B}{\epsilon_0}(\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r_B}|}-\frac{1}{R_B})$
[/mm]
Woher kommt dieser zusätzliche Term?
Viele Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Sa 14.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Welche Grenzen stehen denn an deinem Integral? für [mm] \Phi [/mm] ?
aber Potentiale addieren sich doch auch einfach.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Sa 14.07.2012 | | Autor: | fernweh |
Hallo leduart
Würde wohl heissen ich integriere in erwähntem Gebiet $A [mm] \setminus [/mm] B$ von $0$ bis [mm] $R_B$? [/mm] Wäre dann was in der Art (mit r als Abstand von [mm] $\vec{r_B}$)
[/mm]
[mm] $\phi(r) [/mm] = - [mm] \int_{R_B}^{R}E(r) [/mm] dr = - [mm] \int_{R_B}^{R}\frac{R_B^2 \sigma_B}{\epsilon_0}\frac{1}{r^2} [/mm] dr [mm] =\left \frac{R_B^2 \sigma_B}{\epsilon_0}\frac{1}{r}\right|_{R_B}^{R} [/mm] = [mm] \frac{R_B^2 \sigma_B}{\epsilon_0}(\frac{1}{R}-\frac{1}{R_B})$
[/mm]
Und somit ist dann eben
$ [mm] \phi(\vec{r})=\frac{R_B^2 \sigma_B}{\epsilon_0}(\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r_B}|}-\frac{1}{R_B}) [/mm] $
Nur: Ich habe diese Grenzen aus der Lösung interpretiert. Warum diese Grenzen?
Wie gesagt: Ich habe mich hier nun nur auf obiges Gebiet beschränkt, die anderen verhalten sich ja analog.
Viele Grüsse
Lukas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Sa 14.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst doch einen Bezugspunkt für das Potential haben?
Was hier aufgeschieben ist ist die Potentialdifferenz zw. R und [mm] R_B.
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Sa 14.07.2012 | | Autor: | fernweh |
Hallo
Hmm ja, stimmt, eigentlich tönt es logisch, dass man da zwei Bezugspunkte nehmen muss.
In der Aufgabe steht nur, man soll das Elektrische Potential im gesamten Raum berechnen. Ist es daraus logisch, dass ich gerade diese Bezugspunkte wähle? Oder ist das allgemein klar, bzw. warum?
Viele Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Sa 14.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
i.A. ist der Bezugspunkt [mm] \Phi=0 [/mm] bei [mm] \infty. [/mm] und was heisst hier im ganzen Raum? Außerhal A und B?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 15.07.2012 | | Autor: | fernweh |
Hallo Leduart
Irgendwie komm ich mir etwas doof vor, der GEdanke dahinter muss ja irgendwie trivial sein.
V.a. habe ich jetzt noch was festgestellt, was mich zusätzlich verwirrt. Das Potential in der Musterlösung ist angegeben mit
$ [mm] \phi(\vec{r})=\frac{R_B^2 \sigma_B}{\epsilon_0}(\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r_B}|}-\frac{1}{R_B}) [/mm] + C$
Diese Konstante ist mir erst jetzt aufgefallen. Aber [mm] $\frac{R_B \sigma_B}{\epsilon_0}$ [/mm] ist ja eine Konstante, kann also insofern auch einfach ignoriert werden?
Dies ist das eine. Das andere: Dass man [mm] $\phi=0$ [/mm] bei [mm] $\infty$ [/mm] festlegt, scheint mir sinnvoll. Heisst das somit für z.B. $A [mm] \setminus [/mm] B$ einfach, dass das Potential am Rand 0 sein soll, was dann diese Grenzen rechtfertigen würden (ohne Konstante). Aber andererseits ausserhalb müsste das Potential dann bei [mm] $\infty$ [/mm] 0 sein, was aber auch irgendwie wieder nicht Sinn macht (muss das [mm] $\phi$ [/mm] nicht stetig sein?)...
Irgendwas geht einfach nicht auf mit meinen Gedanken 
Viele Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 So 15.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] \phi [/mm] muss nicht stetig sein, wenn du ne geladene fläche überquerst.
2. mit deiner Konstanten hast du recht, da kannst du den Term mit [mm] R_B [/mm] reinpacken, und offenlassen wo [mm] \Phi=0 [/mm] ist.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 So 15.07.2012 | | Autor: | fernweh |
Super, vielen Dank leduard!
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