Element bester Approximation < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Im Vektorraum V der stetigen reelen Funktioen sei ein Skalarprodukt gegeben durch
[mm] s(f,g)=\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*g(x) dx} [/mm] .
Betrachten Sie den Untervektorraum U=<1,x> von V und zeigen sie, Dass h [mm] \in [/mm] U mit
[mm] h(x)=\bruch{3*x}{\pi^{2}}
[/mm]
das bezüglich s Element bester Approximation für die Funktion a mit a(x)=sin(x) ist. |
Was will der von mir? Wie soll ich das zeigen?
Wäre nett wenn mir da einer mal ein bisschen Helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Di 24.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Man will eigentlich eine Funkiton f finden, so dass ||f-a|| minimal ist bezüglich f, dh, dass es keine andere Funktion [mm] g\in [/mm] U gibt, so dass [mm] ||g-a||\le [/mm] ||f-a||. Es ist außerdem [mm] ||a||=\wurzel{}
[/mm]
Daher sollst du zeigen, dass für alle [mm] f\in [/mm] U gilt:
[mm] ||h-a||\le [/mm] ||f-a||, was das gleich ist wie
[mm] \wurzel{s(h-a, h-a)}\le \wurzel{s(f-a, f-a)}.
[/mm]
Die Funktion f ist, wie alle Funktionen aus U, der Form [mm] f(x)=\alpha+\beta*x, [/mm] mit [mm] \alpha, \beta \in \IK.
[/mm]
Gruß,
dormant
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ok, [mm] \wurzel{s(h-a, h-a)} [/mm] konnte ich berechnen. [mm] \wurzel{\pi-\bruch{6}{\pi}}
[/mm]
bei [mm] \wurzel{s(f-a, f-a)} [/mm] ahbe ich mich mit [mm] f(x)=\alpha+\beta\cdot{}x [/mm] durchgehangelt, und ein ziehmlich komplizierten aussdruck bekommen. Aber ich glaube nicht das ich damit weiterkomme, zumal ich den ausdruck ich in der knappen zeit einer klausur nie rausbekommen hätte.
gibt es da jetzt einen trick f direkt zu bekommen oder muss man mit einem beweis und viel theoriewissen zeigen das h-a beste approximation ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Di 24.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ok, [mm]\wurzel{s(h-a, h-a)}[/mm] konnte ich berechnen.
> [mm]\wurzel{\pi-\bruch{6}{\pi}}[/mm]
> bei [mm]\wurzel{s(f-a, f-a)}[/mm] ahbe ich mich mit
> [mm]f(x)=\alpha+\beta\cdot{}x[/mm] durchgehangelt, und ein ziehmlich
> komplizierten aussdruck bekommen. Aber ich glaube nicht das
> ich damit weiterkomme, zumal ich den ausdruck ich in der
> knappen zeit einer klausur nie rausbekommen hätte.
Wenn du es auf diesem Wege ausrechnen willst: Erstmal am Besten quadrieren, um die Wurzel wegzubekommen. Dann bekommst du wahrscheinlich eine quadratische Funktion heraus, die du auf Extremstellen untersuchen kannst (Gradient auf Null setzen). Dies sollte dir ein Minimum liefern.
> gibt es da jetzt einen trick f direkt zu bekommen oder muss
> man mit einem beweis und viel theoriewissen zeigen das h-a
> beste approximation ist?
Sooo viel Theorie braucht man auch wieder nicht 
Ich nehme mal an, dass ihr schon folgende Aequivalenz hattet: $h [mm] \in [/mm] U$ ist Bestapproximation von $a$ (bzgl. $s$), wenn fuer alle $u [mm] \in [/mm] U$ gilt $s(u, h - a) = 0$.
Dann musst du naemlich nur noch nachrechnen, dass fuer alle $u [mm] \in [/mm] U$ gilt $s(u, h - a) = 0$. Da jedes $u [mm] \in [/mm] U$ von der Form [mm] $\lambda [/mm] 1 + [mm] \mu [/mm] x$ ist, und da $s$ bilinear ist, reicht es also $s(1, h - a) = 0$ und $s(x, h - a) = 0$ zu zeigen.
Du musst also gerade mal zwei Integrale ausrechnen, und das solltest du in der Klausur hinbekommen :) Insbesondere weisst du ja auch noch, das beide Integrale 0 sein sollten, was evtl. zum schnellen Finden von Rechenfehlern beitraegt...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Di 24.07.2007 | | Autor: | Hiroschiwa |
Also ist es das schnellste dein Lemma "$ h [mm] \in [/mm] U $ ist Bestapproximation von $ a $ (bzgl. $ s $), wenn fuer alle $ u [mm] \in [/mm] U $ gilt $ s(u, h - a) = 0 $. " zu nennen
dann ausrechen das beide integrale =0.
schlussfolgern : deshalb muss h beste approx. bezgl. s für a sein. fertig
Vielen Dank euch allen für die schnelle Hilfe
Ich werde dann mal sehen was ich für den Server spenden kann :)
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