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Forum "Naive Mengenlehre" - Elementar & Los-Vaught Test
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Elementar & Los-Vaught Test: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:06 Fr 13.05.2016
Autor: hippo854

Aufgabe
Sei [mm] \mathcal{L} [/mm] die Sprache mit binärem Relationssymbol [mm] \mathcal{E} [/mm] und sei [mm] \mathcal{K}_{EINF} \subseteq Str(\mathcal{L}) [/mm] die Klasse aller Äquivalenzrelationen mit unendlich vielen Äquivalenzklassen, die alle unendlich sind. Zu zeigen:

1) [mm] \mathcal{K}_{EINF} [/mm] ist elementar
2) [mm] Th(\mathcal{K}_{EINF}) [/mm] ist vollständig

Zu 1): [mm] \mathcal{K} [/mm] is elementar [mm] \gdw \mathcal{K}=Mod(Th(\mathcal{K})) [/mm] bzw. [mm] \gdw \mathcal{K}=Mod(\Sigma) [/mm] für ein [mm] \Sigma \subseteq Sen(\mathcal{L}) [/mm]

Hier vermute ich mal, dass ich das Relationssymbol [mm] \mathcal{E} [/mm] zusammen mit dem Fakt, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, verwenden soll. [mm] a\mathcal{E}b \gdw \Sigma [/mm] ⊢ a=b  Allerdings weiss ich nicht, wie ich daraus dieses [mm] \Sigma [/mm] ableiten soll.

Zu 2): Es scheint mir so, als ob man hier den Los-Vaught Test/Satz anwenden soll, um die Vollständigkeit zu zeigen. Dafür brauchen wir ja eine widerspruchsfreie Theorie [mm] Th(\mathcal{K}_{EINF}) [/mm] , und X eine Menge, s.d.
i) [mm] Sen(\mathcal{L}) \le_c [/mm] X
ii)
iii) A,B [mm] \in Mod(Th(\mathcal{K}_{EINF})), [/mm] A = B = X (gleichmächtig) [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cong [/mm] B
Dann wäre [mm] \mathcal{K}_{EINF} [/mm] vollständig

Aus 1) folgt, dass [mm] Mod(Th(\mathcal{K}_{EINF}))=\mathcal{K}_{EINF}, [/mm] d.h. dass wenn sie gleichmächtig sind, eine Bijektion zwischen A und B existiert, somit sind sie isomorph (iii)
[mm] Th(\mathcal{K}_{EINF}) [/mm] hat per Definition nur unendliche Modelle (ii)
Allerdings habe ich keien Ahnung, wie eine Obermenge X aussehen soll, muss ich da P(X) verwenden..?

Es tut mir leid, jedoch ist mir vieles eher unklar in diesem ganzen Definitionenjungle, bin also um jeden Denkanstoss höchst dankbar (und angewiesen:))!

Grüsse^^
Philippe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Elementar & Los-Vaught Test: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mi 18.05.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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