Elementare Differentialrechnun < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachten Sie für a>0 und b [mm] \in \IR [/mm] die Funktionen
[mm] f_{a} [/mm] : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , x -> [mm] a^x
[/mm]
[mm] g_{b} [/mm] : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , x -> b*x
Berechnen Sie die Menge aller Tupel (a,b) [mm] \in \IR^{+}x\IR [/mm] für die gilt
[mm] \forall [/mm] x>0 : [mm] f_{a}(x) [/mm] > [mm] g_{b}(x) [/mm] |
Hallo :)
Leider habe ich außer "probieren" noch keinen Lösungsansatz gefunden :(
Vielleicht habe ich die Aufgabe auch falsch verstanden, aber gibt es nicht ziemlich viele Tupel für die das gelten könnte und wie schreibe ich das dann - man kann Tupel ja nicht als Intervalle angeben, oder?
|
|
| |
|
> Betrachten Sie für a>0 und b [mm]\in \IR[/mm] die Funktionen
>
> [mm]f_{a}[/mm] : [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , x -> [mm]a^x[/mm]
> [mm]g_{b}[/mm] : [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , x -> b*x
>
> Berechnen Sie die Menge aller Tupel $\ [mm] (a,b)\in \IR^{+} \times \IR$ [/mm]
> für die gilt
> [mm]\forall[/mm] x>0 : [mm]f_{a}(x)[/mm] > [mm]g_{b}(x)[/mm]
> Hallo :)
>
> Leider habe ich außer "probieren" noch keinen
> Lösungsansatz gefunden :(
>
> Vielleicht habe ich die Aufgabe auch falsch verstanden,
> aber gibt es nicht ziemlich viele Tupel für die das gelten
> könnte und wie schreibe ich das dann - man kann Tupel ja
> nicht als Intervalle angeben, oder?
Hallo LittleStudi,
anstatt "Tupel" würde ich in diesem Fall schlicht
"Paare" sagen - dann klingt die Aufgabe schon mal
etwas weniger abschreckend ...
Zweitens: es genügt eigentlich, sich für die Aufgabe
zunächst einmal einen (beliebigen) positiven Wert
von a vorzunehmen und sich klar zu machen, welche
Werte von b dann in Frage kommen, um die Bedingung
zu erfüllen. Zu diesem Zweck empfehle ich dir dann
unbedingt eine Zeichnung. Damit reduziert sich die
Aufgabe schon fast zu so etwas wie einer Standardfrage ...
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Irgendwie komme ich nicht weiter, denn im Grunde wenn ich immer ein sehr großes b wähle und ein kleines a (bspw. 2) dann funktioniert es doch immer bis zu einem bestimmten x-Wert, oder?
Oder muss ich Paare finden die für alle x [mm] f_{a}(x) [/mm] > [mm] g_{b}(x) [/mm] gilt?
Aber wie berechnet man diese?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Mo 27.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Irgendwie komme ich nicht weiter, denn im Grunde wenn ich
> immer ein sehr großes b wähle und ein kleines a (bspw. 2)
> dann funktioniert es doch immer bis zu einem bestimmten
> x-Wert, oder?
>
> Oder muss ich Paare finden die für alle x [mm]f_{a}(x)[/mm] >
> [mm]g_{b}(x)[/mm] gilt?
Ja, für alle x>0. So stehtts in der Aufgabenstellung.
>
> Aber wie berechnet man diese?
Da a>0 ist, hat mann doch sofort viele solche Paare (a,b) mit b [mm] \le [/mm] 0
Nun überlege Dir mal den Fall b <0
FRED
>
|
|
|
| |
|
Nunja wenn b<0 ist und a > 0 (das muss a wegen dem Aufgabenhinweis sein) dann ist weil auch x > 0 ist immer [mm] f_a(x) [/mm] > [mm] f_b(x) [/mm] oder?
Wenn a und b >0 gibt es doch kein Paar außer a = 1, denn Potenzfunktionen steigen doch immer stärker an wie lineare Funktionen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Mo 27.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht machst du mal ne Skizze mit einer allgemeinen fkt [mm] a^x [/mm] und ner Geraden (oder mehreren) durch 0? was siehst du?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hab's gemacht 
Kann man sagen wenn a > b => [mm] f_a(x) [/mm] > [mm] f_b(x) [/mm] ?
Diese Lösung wäre zwar recht simpel, aber im Grunde sind das diese Fälle :-/
|
|
|
| |
|
> Hab's gemacht
>
> Kann man sagen wenn a > b => [mm]f_a(x)[/mm] > [mm]f_b(x)[/mm] ?
>
> Diese Lösung wäre zwar recht simpel, aber im Grunde sind
> das diese Fälle :-/ ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Formulieren wir doch die Aufgabe doch mal anschaulich:
1.) Zeichne den Graph einer Funktion [mm] f_a: y=a^x [/mm] mit a>0
2.) Zeichne eine Schar von Strahlen mit Startpunkt O(0|0),
welche alle nach rechts unten, exakt nach rechts oder nach
rechts oben verlaufen. Jeder solche Strahl ist Graph einer
Funktion [mm] g_b [/mm] . Dabei ist b der Steigungsfaktor und [mm] \beta=arctan(b)
[/mm]
der von der x-Achse aus gemessene Steigungswinkel eines
solchen Strahls.
3.) Nun ist die Frage, welche von allen diesen Strahlen komplett
unterhalb des Graphen von [mm] f_a [/mm] liegen und diesen somit
in keinem Punkt treffen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Da alle Funktionen bei dem Punkt y =1 beginnen, sind die Funktionen die durch den Nullpunkt gehen immer dann kleiner wenn deren Steigung kleiner oder gleich 1 ist.
Mein Problem ist aber der Fall a=1, denn hier bleibt die Potenzfunktion immer 1 jedoch steigt die Funktion egal welches b ich wähle an (außer b>= 0)
Was mache ich mit diesem Fall und wegen der Steigung: heißt dass das ich die Ableitungen der beiden Funktionen berechnen soll und diese dann in einer Ungleichung lösen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mo 27.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
überlege genauer! wann ist g<f, g=f g>f
Deine Aussage ist falsch etwa für a=0.5 a=1.1 und viele mehr!
also zeichne nicht grade [mm] e^x [/mm] sondern auch ein paar mit a>e, a<e,a<1 villeicht siehst du dann endlich worauf es rausläuft. bei festem a, etwa a=e, a=7, a=1,a=0.7 welche b gibt es?dein a=1 ist doch einfach, wie musst du b wählen damit für x>1 bx<1?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ich habe die Funktion [mm] a^x [/mm] gezeichnet. Diese Funktionenscharen haben alle einen Startpunkt in [0,1] und sehen aus wie e-FUnktionen mal steiler und mal weniger steil als die e-Funktion.
Bei a=1 ist klar, dass wenn b<=0 ist diese Funktion immer kleiner ist als diese, das gilt auch für alle übrigen a.
Jedoch fehlen mir noch die Bs für die die Voraussetzung gilt.
Wenn a sogar kleiner als 1 ist gibt sogar gar kein b für die die Bedingung gilt :(
Somit können die a, wenn man sie geschickt wählt den komletten 1. Quadranten füllen :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Di 28.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du suchst doch Paare (a,b) nimm mal ein fesres a, welche b findest du dann? etwa für a=e, a=4
dann versuchs für a allgemein. a>1, dann für a=1 und a<1
denk dran, b darf auch negativ sein. Und jetz los, nur die zeichnung für ein a rechnerisch in b umsetzen. wann bleibt die gerade überall drunter?
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Diese 3 Fälle habe ich bereits gezeichnet und komme daher zum Entschluss, dass wenn man a geeignet wählt, es keine lineare Funktion mit positiver Steigung gibt, die immer kleiner ist als a.
je nachdem für welches positive b gibt es immer ein a, das kleiner sein könnte :(
Falls b=0 oder b<0 gilt es jedoch immer das [mm] f_a{x}>f_b{x}
[/mm]
Aber wie berechne ich die anderen positivien Paare, irgendwie bringt micht die zeichnung nicht weiter...
Für [mm] a^x [/mm] gibt es drei verschiedene Funktionsvarianten, wenn a>1 dann hat man quasi eine nach oben geöffnete Parabell, wenn a=1 hat man eine konstante, waagrechte Funktion bei y=1 und wenn a<1 hat man eine seitlich liegende Parabel mit Grenzwert=0.
Da die [mm] a^x [/mm] Funktionen alle bei y=1 ihren Startpunkt haben, die lineare Funktion jedoch ihren Startpunkt bei y=0, kann man, wenn b>0 ist, durch eine bestimmte [mm] a^x [/mm] Funktion immer erreichen, dass sie sich kreuzen...
|
|
|
| |
|
Hallo LittleStudi,
> Diese 3 Fälle habe ich bereits gezeichnet und komme daher
> zum Entschluss, dass wenn man a geeignet wählt, es keine
> lineare Funktion mit positiver Steigung gibt, die immer
> kleiner ist als a.
> je nachdem für welches positive b gibt es immer ein a,
> das kleiner sein könnte :(
hier verfehlst du aber wohl ein Stück weit die Logik der
Fragestellung.
Für jeden konkreten Wert von a sind diejenigen b-Werte
gesucht, für welche [mm] $\green{g_b(x)
Es sind nicht für jedes b diejenigen a gesucht, für welche
[mm] $\red{ g_b(x)
> Falls b=0 oder b<0 gilt es jedoch immer das [mm]f_a{x}>f_b{x}[/mm]
OK. Damit haben wir mal die Teilantwort: alle $\ [mm] (a,b)\in\IR^+\times\IR$
[/mm]
mit [mm] b\le0 [/mm] gehören zur Lösungsmenge.
Weiter müssen wir uns also nur noch um jene Ursprungs-
strahlen kümmern, welche den Ursprung O(0|0) mit
positiver Steigung b verlassen.
> Aber wie berechne ich die anderen positivien Paare,
> irgendwie bringt micht die zeichnung nicht weiter...
>
> Für [mm]a^x[/mm] gibt es drei verschiedene Funktionsvarianten, wenn
> a>1 dann hat man quasi eine nach oben geöffnete Parabel,
nicht wirklich eine Parabel, aber jedenfalls eine nach oben
geöffnete Kurve (eben Exponentialkurve).
> wenn a=1 hat man eine konstante, waagrechte Funktion bei
> y=1 und wenn a<1 hat man eine seitlich liegende Parabel
eine fallende Exponentialkurve
> mit Grenzwert=0. [mm] \limes_{x\to\infty}f_a(x)=0
[/mm]
>
> Da die [mm]a^x[/mm] Funktionen alle bei y=1 ihren Startpunkt haben,
> die lineare Funktion jedoch ihren Startpunkt bei y=0, kann
> man, wenn b>0 ist, durch eine bestimmte [mm]a^x[/mm] Funktion immer
> erreichen, dass sie sich kreuzen...
Suchen müssen wir aber zu konkret gegebenem a jeweils
die b-Werte, für die der Strahl die Kurve noch nicht schneidet.
Nun ist es zunächst sowohl im Fall a=1 als auch 0<a<1 so, dass
kein positives b in Frage kommt (wohl aber b=0 sowie alle
negativen b). Dies wäre noch kurz zu erläutern !
So verbleibt zum Schluss noch der Fall a>1 , bei dem es nun
wirklich noch was zu rechnen gibt. Alle Strahlen, die "flach
genug" verlaufen, schneiden die Kurve nicht; alle "zu steilen"
Strahlen schneiden die Kurve - sie sind Sekanten. Den
Grenzfall bildet derjenige Strahl aus O(0|0), welcher
tangential an die Kurve verläuft, diese also in genau
einem Punkt berührt.
Verbleibende Aufgabe also:
| Aufgabe | Gegeben ist eine Kurve $\ [mm] f_a:\quad y=a^x$ [/mm] mit a>1 .
Welche (positive) Steigung b muss die Gerade $\ [mm] g_b:\quad [/mm] y=b*x$
haben, damit sie tangential zu [mm] f_a [/mm] ist ? |
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> So verbleibt zum Schluss noch der Fall a>1 , bei dem es
> nun
> wirklich noch was zu rechnen gibt. Alle Strahlen, die
> "flach
> genug" verlaufen, schneiden die Kurve nicht; alle "zu
> steilen"
> Strahlen schneiden die Kurve - sie sind Sekanten. Den
> Grenzfall bildet derjenige Strahl aus O(0|0), welcher
> tangential an die Kurve verläuft, diese also in genau
> einem Punkt berührt.
> Verbleibende Aufgabe also:
>
> Gegeben ist eine Kurve [mm]\ f_a:\quad y=a^x[/mm] mit a>1 .
> Welche (positive) Steigung b muss die Gerade [mm]\ g_b:\quad y=b*x[/mm]
>
> haben, damit sie tangential zu [mm]f_a[/mm] ist ?
>
> LG Al-Chw.
>
Hallo :)
Die Steigung der Tangente bestimmt man durch die Ableitung. Heißt das das ich von den Funktionen die Ableitung bilden muss, diese Gleichsetzen um dann mein a in Abhängikeit von b zu berechnen?
Also:
[mm] xa^{x-1}=b [/mm] => a= [mm] \wurzel[x-1]{\bruch{b}{x}}
[/mm]
Ich glaube, das wird wohl nicht die Lösung sein, oder?! :-/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Mi 29.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> > So verbleibt zum Schluss noch der Fall a>1 , bei dem es
> > nun
> > wirklich noch was zu rechnen gibt. Alle Strahlen, die
> > "flach
> > genug" verlaufen, schneiden die Kurve nicht; alle "zu
> > steilen"
> > Strahlen schneiden die Kurve - sie sind Sekanten. Den
> > Grenzfall bildet derjenige Strahl aus O(0|0), welcher
> > tangential an die Kurve verläuft, diese also in genau
> > einem Punkt berührt.
> > Verbleibende Aufgabe also:
> >
> > Gegeben ist eine Kurve [mm]\ f_a:\quad y=a^x[/mm] mit a>1 .
> > Welche (positive) Steigung b muss die Gerade [mm]\ g_b:\quad y=b*x[/mm]
>
> >
> > haben, damit sie tangential zu [mm]f_a[/mm] ist ?
> >
> > LG Al-Chw.
> >
>
> Hallo :)
>
> Die Steigung der Tangente bestimmt man durch die Ableitung.
> Heißt das das ich von den Funktionen die Ableitung bilden
> muss, diese Gleichsetzen um dann mein a in Abhängikeit von
> b zu berechnen?
>
> Also:
>
> [mm]xa^{x-1}=b[/mm] => a= [mm]\wurzel[x-1]{\bruch{b}{x}}[/mm]
Dunnerkittel !! Dann wäre ja die Ableitung von [mm] f(x):=e^x [/mm] gegeben durch
[mm] f'(x)=xe^{x-1}.
[/mm]
Boaä, man lernt nich aus ! Nun ist mir aber bekannt, dass [mm] f'(x)=e^x [/mm] gilt. Also haben wir:
[mm] xe^{x-1}=e^x [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Es folgt: [mm] xe^x*\bruch{1}{e}=e^x. [/mm] Jetzt schmeißen wir noch [mm] e^x [/mm] raus und bekommen:
x=e für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
Waaaaahnsinnnn ! Ich habs immer gewußt: die Eulersche Zahl ist saumäßig wichtig. Kein Wunder, wenn es sonst keine Zahlen gibt !
Aber nun eine Frage an Dich, Little Studi: Obiges ist mir völlig neu, so dass ich Zweifel habe, was also hab ich falsch gemacht ?
Ein deprimierter FRED
>
> Ich glaube, das wird wohl nicht die Lösung sein, oder?!
> :-/
|
|
|
| |
|
> > > So verbleibt zum Schluss noch der Fall a>1 , bei dem es
> > > nun
> > > wirklich noch was zu rechnen gibt. Alle Strahlen,
> die
> > > "flach
> > > genug" verlaufen, schneiden die Kurve nicht; alle
> "zu
> > > steilen"
> > > Strahlen schneiden die Kurve - sie sind Sekanten.
> Den
> > > Grenzfall bildet derjenige Strahl aus O(0|0),
> welcher
> > > tangential an die Kurve verläuft, diese also in
> genau
> > > einem Punkt berührt.
> > > Verbleibende Aufgabe also:
> > >
> > > Gegeben ist eine Kurve [mm]\ f_a:\quad y=a^x[/mm] mit a>1 .
> > > Welche (positive) Steigung b muss die Gerade [mm]\ g_b:\quad y=b*x[/mm]
>
> >
> > >
> > > haben, damit sie tangential zu [mm]f_a[/mm] ist ?
> > >
> > > LG Al-Chw.
> > >
> >
> > Hallo :)
> >
> > Die Steigung der Tangente bestimmt man durch die Ableitung.
> > Heißt das das ich von den Funktionen die Ableitung bilden
> > muss, diese Gleichsetzen um dann mein a in Abhängikeit von
> > b zu berechnen?
> >
> > Also:
> >
> > [mm]xa^{x-1}=b[/mm] => a= [mm]\wurzel[x-1]{\bruch{b}{x}}[/mm]
>
> Dunnerkittel !! Dann wäre ja die Ableitung von [mm]f(x):=e^x[/mm]
> gegeben durch
>
> [mm]f'(x)=xe^{x-1}.[/mm]
>
> Boaä, man lernt nich aus ! Nun ist mir aber bekannt, dass
> [mm]f'(x)=e^x[/mm] gilt. Also haben wir:
>
> [mm]xe^{x-1}=e^x[/mm] für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Es folgt: [mm]xe^x*\bruch{1}{e}=e^x.[/mm] Jetzt schmeißen wir noch
> [mm]e^x[/mm] raus und bekommen:
>
> x=e für jedes x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Waaaaahnsinnnn ! Ich habs immer gewußt: die Eulersche
> Zahl ist saumäßig wichtig. Kein Wunder, wenn es sonst
> keine Zahlen gibt !
>
> Aber nun eine Frage an Dich, Little Studi: Obiges ist mir
> völlig neu, so dass ich Zweifel habe, was also hab ich
> falsch gemacht ?
>
Entschuldige :(
Wenn man [mm] a^x [/mm] schon ableitet, sollte man am besten die Kettenregel verwenden. Dann bekommt man für die äußere Ableitung [mm] a^x [/mm] und die Innere 1... somit ist die Ableitung wieder [mm] a^x...
[/mm]
Weiß auch nicht was ich da gemacht habe :-/
Ist mein Weg dennoch der richtige die beiden Ableitungen gleich zu setzen 
Ps. ein wenig witzig ist dennoch, was man alles aus falschen Ergebnisen folgern kann Jedoch vielen Dank für deinen Hinweis :)
>
> Ein deprimierter FRED
> >
> > Ich glaube, das wird wohl nicht die Lösung sein, oder?!
> > :-/
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mi 29.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schon wieder falsch!
[mm] (a^x)'\ne a^x
[/mm]
stell dir mal vor [mm] a=e^3!
[/mm]
du musst entweder die Ableitungvon [mm] a^x [/mm] kennen oder a in e^? umwandeln, um es abzuleiten.
und um die steigung einer geraden zu bestimmen, muss man sie nicht ableiten!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Do 01.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > So verbleibt zum Schluss noch der Fall a>1 , bei dem es
> > > > nun
> > > > wirklich noch was zu rechnen gibt. Alle Strahlen,
> > die
> > > > "flach
> > > > genug" verlaufen, schneiden die Kurve nicht; alle
> > "zu
> > > > steilen"
> > > > Strahlen schneiden die Kurve - sie sind Sekanten.
> > Den
> > > > Grenzfall bildet derjenige Strahl aus O(0|0),
> > welcher
> > > > tangential an die Kurve verläuft, diese also in
> > genau
> > > > einem Punkt berührt.
> > > > Verbleibende Aufgabe also:
> > > >
> > > > Gegeben ist eine Kurve [mm]\ f_a:\quad y=a^x[/mm] mit a>1 .
> > > > Welche (positive) Steigung b muss die Gerade [mm]\ g_b:\quad y=b*x[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > haben, damit sie tangential zu [mm]f_a[/mm] ist ?
> > > >
> > > > LG Al-Chw.
> > > >
> > >
> > > Hallo :)
> > >
> > > Die Steigung der Tangente bestimmt man durch die Ableitung.
> > > Heißt das das ich von den Funktionen die Ableitung bilden
> > > muss, diese Gleichsetzen um dann mein a in Abhängikeit von
> > > b zu berechnen?
> > >
> > > Also:
> > >
> > > [mm]xa^{x-1}=b[/mm] => a= [mm]\wurzel[x-1]{\bruch{b}{x}}[/mm]
> >
> > Dunnerkittel !! Dann wäre ja die Ableitung von [mm]f(x):=e^x[/mm]
> > gegeben durch
> >
> > [mm]f'(x)=xe^{x-1}.[/mm]
> >
> > Boaä, man lernt nich aus ! Nun ist mir aber bekannt, dass
> > [mm]f'(x)=e^x[/mm] gilt. Also haben wir:
> >
> > [mm]xe^{x-1}=e^x[/mm] für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> >
> > Es folgt: [mm]xe^x*\bruch{1}{e}=e^x.[/mm] Jetzt schmeißen wir noch
> > [mm]e^x[/mm] raus und bekommen:
> >
> > x=e für jedes x [mm]\in \IR.[/mm]
> >
> > Waaaaahnsinnnn ! Ich habs immer gewußt: die Eulersche
> > Zahl ist saumäßig wichtig. Kein Wunder, wenn es sonst
> > keine Zahlen gibt !
> >
> > Aber nun eine Frage an Dich, Little Studi: Obiges ist mir
> > völlig neu, so dass ich Zweifel habe, was also hab ich
> > falsch gemacht ?
> >
>
> Entschuldige :(
>
> Wenn man [mm]a^x[/mm] schon ableitet, sollte man am besten die
> Kettenregel verwenden. Dann bekommt man für die äußere
> Ableitung [mm]a^x[/mm] und die Innere 1... somit ist die Ableitung
> wieder [mm]a^x...[/mm]
Nochmal Dunnerkittel ! Jetzt hast Du meine obigen Zweifel komplett ausgeräumt. Du hast es fertig gebracht, einen weitern Beweis zu liefern für die
Behauptung: es gibt nur eine positive reelle Zahl, nämlich e.
Schau mal , ob ich Dich richtig verstanden habe: sei a>0,
die Ableitung von [mm] a^x [/mm] ist also wieder [mm] a^x. [/mm]
Andererseits ist, soweit mir bekannt, auch $a^xln(a)$ die Ableitung von [mm] a^x.
[/mm]
Somit: [mm] a^x=a^xln(a) [/mm] für jedes x. Es folgt:
1=ln(a).
Daher: [mm] e=e^1=e^{ln(a)}=a.
[/mm]
Ein wieder fröhlicher FRED
>
> Weiß auch nicht was ich da gemacht habe :-/
>
> Ist mein Weg dennoch der richtige die beiden Ableitungen
> gleich zu setzen
>
> Ps. ein wenig witzig ist dennoch, was man alles aus
> falschen Ergebnisen folgern kann Jedoch vielen Dank
> für deinen Hinweis :)
>
> >
> > Ein deprimierter FRED
> > >
> > > Ich glaube, das wird wohl nicht die Lösung sein, oder?!
> > > :-/
> >
>
|
|
|
| |
|
Okay, also ich versuche es nochmal :-/
f(x)= [mm] a^x [/mm] = [mm] e^{ln{a^x}}=e^{x*ln(a)}
[/mm]
f'(x) = [mm] e^{x*ln(a)}*ln(a) [/mm] = [mm] a^x*ln(a)
[/mm]
Ist das jetzt richtig?
Und muss ich diese Ableitung nun mit der linaeren Funktion gleichsetzten um gemeinsame Punkte in Abhängigkeit von a zu erhalten?
Oder war die Ableitung für die Lösung nicht allzu relevant?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Mo 05.03.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Okay, also ich versuche es nochmal :-/
>
> f(x)= [mm]a^x[/mm] = [mm]e^{ln{a^x}}=e^{x*ln(a)}[/mm]
>
> f'(x) = [mm]e^{x*ln(a)}*ln(a)[/mm] = [mm]a^x*ln(a)[/mm]
>
> Ist das jetzt richtig?
Die Ableitung ist korrekt.
>
> Und muss ich diese Ableitung nun mit der linaeren Funktion
> gleichsetzten um gemeinsame Punkte in Abhängigkeit von a
> zu erhalten?
Nein, mit der Ableitung bestimmst du doch die Steigung. Und diese Steigung muss kleiner sein, als die der Geraden. Diese kannst du doch durch scharfes Hinschauen bestimmen.
Die Ableitung der Exponentialfunktion muss also kleiner sein, als die Steigung der Geraden.
>
> Oder war die Ableitung für die Lösung nicht allzu
> relevant?
Oh doch.
Marius
|
|
|
| |
|
> > f(x)= [mm]a^x[/mm] = [mm]e^{ln{a^x}}=e^{x*ln(a)}[/mm]
> >
> > f'(x) = [mm]e^{x*ln(a)}*ln(a)[/mm] = [mm]a^x*ln(a)[/mm]
> >
> > Ist das jetzt richtig?
>
> Die Ableitung ist korrekt.
Hallo,
dem stimme ich aus ganzem Herzen zu.
>
> >
> > Und muss ich diese Ableitung nun mit der linaeren Funktion
> > gleichsetzten um gemeinsame Punkte in Abhängigkeit von a
> > zu erhalten?
>
> Nein, mit der Ableitung bestimmst du doch die Steigung. Und
> diese Steigung muss kleiner sein, als die der Geraden.
> Diese kannst du doch durch scharfes Hinschauen bestimmen.
>
> Die Ableitung der Exponentialfunktion muss also kleiner
> sein, als die Steigung der Geraden.
Marius, entweder mißverstehe ich Dich hier, oder Du bist irgendwie auf dem falschen Dampfer - oder ich setze im verkehrten Zug.
Was meinst Du mit "die Ableitung der Exponentialfunktion muß kleiner sein als die Steigung der Geraden."?
An jeder Stelle? An einer bestimmten Stelle? Und warum kleiner?
>
> >
> > Oder war die Ableitung für die Lösung nicht allzu
> > relevant?
>
> Oh doch.
Dem stimme ich zu.
LG Angela
>
> Marius
>
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Angelegenheit war ja inzwischen so weit gediehen, daß man sich auf die Beantwortung folgender von Al Chwarizmi formulierter Frage beschränken kann:
| Aufgabe | Aufgabe
Gegeben ist eine Kurve $ \ [mm] f_a:\quad y=a^x [/mm] $ mit a>1 .
Welche (positive) Steigung b muss die Gerade $ \ [mm] g_b:\quad y=b\cdot{}x [/mm] $
haben, damit sie tangential zu $ [mm] f_a [/mm] $ ist ? |
Ich rate Dir, diese Aufgabe mal für ein ganz konkretes a zu bearbeiten. Nehmen wir a=2.
Hast Du eine Zeichung angefertigt, auf welcher man f sieht, sowie die Tangente an den Graphen von f, welche durch den Ursprung geht?
Die Steigung dieser Tangente benötigen wir.
Dazu müssen wir aber erstmal wissen, an welcher Stelle diese Gerade den Graphen von f tangiert.
Du könntest jetzt mal ausrechnen und aufschreiben, wie die Gleichung der Tangente, die die den Graphen im Punkt [mm] (x_0|a^{x_0}) [/mm] berührt, lautet.
Bedenke: ihre Steigung ist die Ableitung der Funktion f an dieser Stelle, und den y-Achsenabschnitt bekommst Du, wenn Du Dir klar machst, daß [mm] (x_0|a^{x_0}) [/mm] auf der Geraden liegt. (Vielleicht aber hast Du sogar eine Tangentengleichung als Fertiggericht aus Deinem Skript zur Hand.)
Nun gut. Wenn Du die Tangetengleichung hast, schaust (=berechnest) Du, für welches [mm] x_0 [/mm] sie durch den Ursprung geht.
Und dann schreibst Du hin, welche Steigung diese Tangente hat.
Aber nochmal: ohne Skizze läuft hier gar nichts!
LG Angela
|
|
|
| |
|
Vielen Dank, ich glaube ich habs ;)
Also:
für a=2
f(x) = [mm] 2^x
[/mm]
f'(x) = [mm] 2^x*ln(2)
[/mm]
g(x) = bx
g'(x)= b
=> [mm] b=2^x*ln(2)
[/mm]
somit: [mm] 2^x*ln(2)*x [/mm] = [mm] 2^x
[/mm]
=> x = [mm] \bruch{1}{ln(2)}
[/mm]
für allgemeines a, wäre es dann ja analog:
f(x) = [mm] a^x
[/mm]
f'(x) = [mm] a^x*ln(a)
[/mm]
g(x) =bx
g'(x)=b
=> [mm] b=a^x*ln(a)
[/mm]
somit: [mm] a^x*ln(a)*x [/mm] = [mm] a^x
[/mm]
=> x = [mm] \bruch{1}{ln(a)}
[/mm]
Ist das richtig, die Steigung der Tangente wäre somit [mm] \bruch{1}{ln(a)} [/mm] somit wären die Paare [mm] (a/\bruch{1}{ln(a)}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mo 05.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich sehe die Berüurstelle der Tangente durch 0 [mm] x_b=1/lna
[/mm]
daraus schließt du b=1/lna ? wie kommst du denn darauf? hast du zum beispil für a=e lna=1 die Ttangente gezeichnet, hat die wirklich die steigung 1?
warum kontrollierst du deine Ergebnisse nicht? benutzt du keinen funktionsplotter?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Achso, stimmt da war ich wohl etwas vorschnell - ich habe ja nur mein [mm] x_0 [/mm] berechnet.
Um nun die Steigung zu bekommen muss ich diesen Punkt natürlich noch in g(x) einsetzen:
Bei dem Punkt [mm] (\bruch{1}{ln(a)}/y) [/mm] habe ich Probleme den y-Wert zu berechnen...
ich erhalte: [mm] a^{\bruch{1}{ln(a)}}
[/mm]
dieser in die geradengleichung eingesetzt (für die Berechnung der Steigung)
=> [mm] a^{\bruch{1}{ln(a)}}=b*\bruch{1}{ln(a)}
[/mm]
ich müsste dieses ja "lediglich" nach b auflösen und hätte dann meine Steigung, jedoch schaffe ich es nicht dies schöner umzuformen :(
Ist der Schritt jedoch der richtige?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Mo 05.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was heißt schön? du mußt nach b auflösen und nicht nach Schönheit! irgendwie heisst "schön" offensichtlich, dass in der Schule oft nur sehr einfache ausdrücke vorkamen, aber warum ist a schöner als lna, 1/lna schöner als [mm] a^{1/lna}*lna
[/mm]
BITTE ÜBERPRÜF DEIN ERGEBNIS WIRKLICH mit nem plot! ein Teil deiner fragen und viel Schreibarbeit wäre damit unnötig geworden.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ich hätte noch eine Frage :)
Ist meine Lösung richtig, dass nur Paare existieren für beliebige a, wenn b <= 0 ist für die die Bedingung [mm] f_a(x)>f_b(x)?
[/mm]
Und falls ja, soll ich dies in der Lösung als Fallunterscheidung angeben?
1.Fall a>1; 2.Fall a=1, 3.Fall a<1 ?
Dann könnte man vielleicht auch ein paar positive b finden...
|
|
|
| |
|
> Ich hätte noch eine Frage :)
>
> Ist meine Lösung richtig, dass nur Paare existieren für
> beliebige a, wenn b <= 0 ist für die die Bedingung
> [mm]f_a(x)>f_b(x)?[/mm]
> Und falls ja, soll ich dies in der Lösung als
> Fallunterscheidung angeben?
>
> 1.Fall a>1; 2.Fall a=1, 3.Fall a<1 ?
>
> Dann könnte man vielleicht auch ein paar positive b
> finden...
Ich denke, dass diese Fragen durch meine andere Antwort
geklärt sind. Die 3 Fälle anzusprechen und zu erläutern
ist bestimmt sinnvoll.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
