Elementarteiler < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei R ein euklidischer Ring und seien [mm] V_{1},V_{2} [/mm] zwei nichttriviale endlisch erzeugte R-Moduln.Sei [mm] l_{i} [/mm] die Anzahl der Elementarteiler von [mm] V_{i} [/mm] für i [mm] \in \{1,2\}.
[/mm]
(1) man begründe, dass [mm] V_{1} \times V_{2} [/mm] höchstens [mm] l_{1}+l_{2} [/mm] Elementarteiler haben kann. |
Hallo zusammen^^
Ich habe versucht das zu begründen, will aber erstmal sicher gehen, ob ich [mm] V_{1} \times V_{2} [/mm] richtig interpretiert habe.
Also ich habe mir folgendes überlegt:
Sei [mm] R/(d_{1}):=\{r+R*d|r \in R\}
[/mm]
Es ist [mm] V_{1} \cong R/(d_{1}) \times R/(d_{2}) \times...\times R/(d_{l1}) \times R^{n}. [/mm] Und es ist
[mm] V=R/(d_{1}) \oplus R/(d_{2}) \oplus [/mm] ... [mm] \oplus R/(d_{l1}) \oplus R^{n}, [/mm] d.h. [mm] V_{1} [/mm] ist die direkte Summe von zyklischen R-Moduln und einem freien R-Modul.
Die [mm] R/(d_{i}) [/mm] sind zyklische R-Moduln, d.h. jeder von ihnen hat eine 1 [mm] \times [/mm] 1 Präsentierungsmatrix.
[mm] V_{2} [/mm] sieht analog aus. Dann hab ich mir gedacht, dass [mm] V_{1} \times V_{2} [/mm] so aussieht:
[mm] V_{1} \times V_{2}=(R/(d_{1}),R/(t_{1})) \oplus (R/(d_{2}),R/(t_{2})) \oplus [/mm] ... [mm] \oplus (R/(d_{l1}),R/(t_{l2})) \oplus (R^{n},R^{m}).
[/mm]
Stimmt das so?
Dann muss irgendwie gelten, dass [mm] (R/(d_{1}),R/(t_{1})) [/mm] höchstens [mm] d_{1}+t_{1} [/mm] Elementarteiler haben kann usw. für die anderen. Daraus folgt dann, dass [mm] V_{1} \times V_{2} [/mm] höchstens [mm] l_{1}+l_{2} [/mm] Elementarteiler haben kann.
Aber ich komme nicht drauf, wieso dies unbedingt gelten muss.
Hat jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 02.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
