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Forum "Algebra" - Elemente der Ordnung
Elemente der Ordnung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Elemente der Ordnung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Sa 21.03.2009
Autor: FragenueberFragenusw

Aufgabe
Hier ist [mm] \IZ_{n} [/mm] = [mm] \IZ/n\IZ. [/mm] Betrachte
A= [mm] \IZ_{20} \oplus \IZ_{15} \oplus \IZ_{12} \oplus \IZ_6 [/mm]

(a) Wie viele Elemente der Ordnung 2 gibt es in A?
(b)Geben Sie bis auf Isomorphie die Untergruppenvom Index 2 in A an.

Hallo,

zu (a) Ich habe raus, dass es in der [mm] \IZ_{20}, \IZ_{12} [/mm] und [mm] \IZ_6 [/mm] jeweils ein Element der Ordnung2 gibt.
Was dann bedeutet, insgesamt gibt es 7 Elemente der Ordnung 2.

zu (b) habe ich mir gedacht, dass
A [mm] \cong \IZ_2 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_5 \oplus \IZ_3 \oplus \IZ_5 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_3 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_3 [/mm]

und die Untergruppen dann die Form haben:
U [mm] \cong \IZ_2 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_2 [/mm]

also sagt mal was ihr von den Ergebnissen haltet.
Bei (a) bin ich mir relativ sicher aber (b), ich weiß nicht.

Also vielen dank für eure Hilfe!

mfg

        
Bezug
Elemente der Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Mo 23.03.2009
Autor: statler

Mahlzeit!

> Hier ist [mm]\IZ_{n}[/mm] = [mm]\IZ/n\IZ.[/mm] Betrachte
>  A= [mm]\IZ_{20} \oplus \IZ_{15} \oplus \IZ_{12} \oplus \IZ_6[/mm]
>  
> (a) Wie viele Elemente der Ordnung 2 gibt es in A?
>  (b)Geben Sie bis auf Isomorphie die Untergruppenvom Index
> 2 in A an.

> zu (a) Ich habe raus, dass es in der [mm]\IZ_{20}, \IZ_{12}[/mm]
> und [mm]\IZ_6[/mm] jeweils ein Element der Ordnung2 gibt.
>  Was dann bedeutet, insgesamt gibt es 7 Elemente der
> Ordnung 2.

Das sieht gut aus.

> zu (b) habe ich mir gedacht, dass
>  A [mm]\cong \IZ_2 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_5 \oplus \IZ_3 \oplus \IZ_5 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_3 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_3[/mm]

Das stimmt leider überhaupt nicht. [mm] \IZ_2 \oplus \IZ_2 [/mm] und [mm] \IZ_4 [/mm] sind nicht isomorph, das hast du in a) benutzt, vielleicht ohne es richtig zu merken.

> und die Untergruppen dann die Form haben:
>  U [mm]\cong \IZ_2 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_2 \oplus \IZ_2[/mm]

Weißt du denn, was der Index überhaupt bedeutet? Aus deiner Antwort schließe ich, daß nein.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


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