Endlich erzeugte Ideale < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Sunni |
Hallo an alle!
Ich habe eine Aufgabe, die ich nicht verstehe. Also:
Betrachte die Menge [mm] C^{\infty}(lR) [/mm] der beliebig oft differenzierbaren Funktion f: lR [mm] \to [/mm] lR. Durch punktweise Addition und Multiplikation wird
[mm] C^{\infty}(lR) [/mm] zu einem Ring. Zeige, dass
{f [mm] \in C^{\infty}(lR) [/mm] ; f(n)=0 für alle n [mm] \in [/mm] ganze Zahlen} [mm] \subset [/mm]
[mm] C^{\infty} [/mm] (lR)
ein Ideal ist, aber nicht endlich erzeugt ist.
Mit lR meine ich die reellen Zahlen.
Ich weiß, was ich tun muss, um zu zeigen, dass [mm] C^{\infty} [/mm] (lR) ein Ring ist. Ich kann wohl auch zeigen, dass das Angegebene ein Ideal ist. Ich weiß aber nicht, wie ich zeigen soll, dass es nicht endl. erzeugt ist.
Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Gruß!
Für Ideale ist ein Erzeugendensystem genau so definiert wie für Vektorräume - der einzige Unterschied ist, dass keine Skalare als Koeffizienten vorkommen, sondern andere Funktionen.
Es reicht also, wenn Du ein (unendliches) System von Funktionen angibst, von denen keine durch eine Kombination der anderen erzeugt werden kann - denn dann brauchst Du jede einzelne, es kann also kein endliches Erzeugendensystem geben.
Als solche Funktionen kommen doch in Frage solche, die konstant 0 sind, außer zwischen zwei ganzen Zahlen - da müssen sie jeweils ungleich 0 sein. Im stetigen Fall reichen hierbei Zacken, im [mm] $C^{\infty}$ [/mm] Fall muß man etwas basteln - experimentiere mit der Exponentialfunktion! (Z.B. sind bei [mm] $e^{-\frac{1}{x^2}}$ [/mm] alle Ableitungen in 0 gleich 0)
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Di 23.11.2004 | | Autor: | Sunni |
Danke für den Tipp!
Leider weiß ich immer noch nicht, was ich eigentlich suche:
Ein Erzeugendensystem aus Funktionen, die zwischen den ganzen Zahlen Werte besitzen und sonst null sind, hast du geschrieben.
Aber wo ist den der Unterschied zwischen diesem Fall mit [mm] C{\infty} [/mm] und dem stetigen Fall - also wozu die Ableitungen?
Vielen Dank für die Mühe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Sunni!
Da wir uns ein Ideal auf [mm] $C^{\infty}$ [/mm] anschauen, muss natürlich auch die gesuchte Teilmenge aus [mm] $C^{\infty}$ [/mm] sein.
Ich habe mir mal Lars Tipp zu Herzen genommen und die folgende Funktionenfamilie [mm] $(f_n)_{n \in \IZ}$ [/mm] aus dem Ideal betrachtet:
Für alle $n [mm] \in \IZ$ [/mm] sei
[mm] $f_n(x):= \left\{ \begin{array}{ccc} (x-n-1) \cdot (x-n) \cdot e^{-\frac{1}{(x-n)^2} - \frac{1}{(x-n-1)^2}} & , & n \le x \le n+1,\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst}. \end{array} \right.$
[/mm]
Man überzeugt sich davon, dass [mm] $f_n \in C^{\infty}$ [/mm] ist.
Offenbar lässt sich kein [mm] $f_n$ [/mm] aus den anderen [mm] $f_m$ [/mm] $(m [mm] \in \IZ, [/mm] m [mm] \ne [/mm] n)$ erzeugen, da diese ja alle im Intervall $[n,n+1]$ verschwinden.
Viele Grüße
Julius
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