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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Do 02.09.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Es sei [mm] $\IF$ [/mm] ein endlicher Körper der Charakteristik $p$, wobei $p$ den Kern des kanonischen Ringhomomorphismus [mm] $\IZ \to \IF$ [/mm] erzeugt. Man zeige:
(i) p ist eine Primzahl
(ii) Es besteht [mm] $\IF$ [/mm] aus [mm] $p^r$ [/mm] Elementen, wobei r eine geeignete natürliche Zahl ist. |
Hallo,
ich denke zu (i) habe ich eine Lösung, die allerdings der Verifikation bedarf, bin mir nicht ganz sicher. In Teil (ii) hänge ich.
(i) Angenommen p nicht prim [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es gibt [mm]a,b \in \IF: p | ab, p\nmid{a}, p\nmid{b} \Rightarrow 0 = ab [/mm] mit [mm]a \not= 0, b\not= 0 \Rightarrow \IF[/mm] nicht nullteilerfrei [mm] $\Rightarrow \IF$ [/mm] kein Körper
(ii) Die Aussage erscheint mir logisch. Ich finde aber keinen Ansatz zu einem Beweis. Ich weiß, dass [mm] §\IF$ [/mm] auf jeden Fall einen zu [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] isomorphen Teilkörper enthält. Komme ich damit weiter?
Vielen Dank für die Hilfe.
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Do 02.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel,
> Es sei [mm]\IF[/mm] ein endlicher Körper der Charakteristik [mm]p[/mm],
> wobei [mm]p[/mm] den Kern des kanonischen Ringhomomorphismus [mm]\IZ \to \IF[/mm]
> erzeugt. Man zeige:
> (i) p ist eine Primzahl
> (ii) Es besteht [mm]\IF[/mm] aus [mm]p^r[/mm] Elementen, wobei r eine
> geeignete natürliche Zahl ist.
>
> ich denke zu (i) habe ich eine Lösung, die allerdings der
> Verifikation bedarf, bin mir nicht ganz sicher. In Teil
> (ii) hänge ich.
>
> (i) Angenommen p nicht prim [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt [mm]a,b \in \IF: p | ab, p\nmid{a}, p\nmid{b} \Rightarrow 0 = ab[/mm]
Was bedeutet Teilbarkeit in [mm] $\IF$? [/mm] Du solltest $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] waehlen, und dann ihr Bild in [mm] $\IF$ [/mm] betrachten.
> mit [mm]a \not= 0, b\not= 0 \Rightarrow \IF[/mm] nicht
> nullteilerfrei [mm]\Rightarrow \IF[/mm] kein Körper
Vom Prinzip her richtig.
> (ii) Die Aussage erscheint mir logisch. Ich finde aber
> keinen Ansatz zu einem Beweis. Ich weiß, dass [mm]§\IF$[/mm] auf
> jeden Fall einen zu [mm]\IZ/p\IZ[/mm][/mm] isomorphen Teilkörper
> enthält. Komme ich damit weiter?
Ueberleg dir, dass [mm] $\IF$ [/mm] ein Vektorraum ueber diesem Teilkoerper ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Do 02.09.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix, vielen Dank für deine Antwort (mal wieder  )
> > Es sei [mm]\IF[/mm] ein endlicher Körper der Charakteristik [mm]p[/mm],
> > wobei [mm]p[/mm] den Kern des kanonischen Ringhomomorphismus [mm]\IZ \to \IF[/mm]
> > erzeugt. Man zeige:
> > (i) p ist eine Primzahl
> > (ii) Es besteht [mm]\IF[/mm] aus [mm]p^r[/mm] Elementen, wobei r eine
> > geeignete natürliche Zahl ist.
> >
> > ich denke zu (i) habe ich eine Lösung, die allerdings der
> > Verifikation bedarf, bin mir nicht ganz sicher. In Teil
> > (ii) hänge ich.
> >
> > (i) Angenommen p nicht prim [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt [mm]a,b \in \IF: p | ab, p\nmid{a}, p\nmid{b} \Rightarrow 0 = ab[/mm]
>
> Was bedeutet Teilbarkeit in [mm]\IF[/mm]? Du solltest [mm]a, b \in \IZ[/mm]
> waehlen, und dann ihr Bild in [mm]\IF[/mm] betrachten.
>
Nochmal: [mm] $\phi$ [/mm] beizeichne den kanon. Ringhom [mm] $\IZ \to \IF$
[/mm]
Angenommen $p$ nicht prim
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] es gibt [mm] a,b \in \IZ: p | ab, p\nmid{a}, p\nmid{b}
\Rightarrow [/mm] es gibt [mm] s \in \IZ: ps = ab [/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(a)\phi(b) = \phi(ab) = \phi(ps) = \phi(p)\phi(s) = 0 [/mm], da $p [mm] \in Kern(\phi)$
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0 = \phi(a)\phi(b) [/mm] mit [mm] $\phi(a) \not= [/mm] 0, [mm] \phi(b) \not= [/mm] 0$, da $a,b [mm] \notin [/mm] (p) [mm] \subset \IZ$
[/mm]
[mm]\Rightarrow \IF [/mm] nicht nullteilerfrei, also kein Körper.
Jetzt korrekt?
> > (ii) Die Aussage erscheint mir logisch. Ich finde aber
> > keinen Ansatz zu einem Beweis. Ich weiß, dass [mm]§\IF$[/mm] auf
> > jeden Fall einen zu [mm]\IZ/p\IZ[/mm][/mm] isomorphen Teilkörper
> > enthält. Komme ich damit weiter?
>
> Ueberleg dir, dass [mm]\IF[/mm] ein Vektorraum ueber diesem
> Teilkoerper ist.
>
Ich sehe ein, dass man z.B. [mm] $\IF_4$ [/mm] als Vektorraum der Dimension 2 über [mm] $\IF_2$ [/mm] betrachten kann. Ich weiß leider nicht wie ich dies allgemein zeigen kann. Kannst du (oder auch gerne jemand anders) mir da nochmal eine Tipp geben?
Vielen Dank nochmal.
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Do 02.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo Felix, vielen Dank für deine Antwort (mal wieder
> )
Bitte :)
> > > Es sei [mm]\IF[/mm] ein endlicher Körper der Charakteristik [mm]p[/mm],
> > > wobei [mm]p[/mm] den Kern des kanonischen Ringhomomorphismus [mm]\IZ \to \IF[/mm]
> > > erzeugt. Man zeige:
> > > (i) p ist eine Primzahl
> > > (ii) Es besteht [mm]\IF[/mm] aus [mm]p^r[/mm] Elementen, wobei r eine
> > > geeignete natürliche Zahl ist.
> > >
> > > ich denke zu (i) habe ich eine Lösung, die allerdings der
> > > Verifikation bedarf, bin mir nicht ganz sicher. In Teil
> > > (ii) hänge ich.
> > >
> > > (i) Angenommen p nicht prim [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt [mm]a,b \in \IF: p | ab, p\nmid{a}, p\nmid{b} \Rightarrow 0 = ab[/mm]
>
> >
> > Was bedeutet Teilbarkeit in [mm]\IF[/mm]? Du solltest [mm]a, b \in \IZ[/mm]
> > waehlen, und dann ihr Bild in [mm]\IF[/mm] betrachten.
> >
> Nochmal: [mm]\phi[/mm] beizeichne den kanon. Ringhom [mm]\IZ \to \IF[/mm]
>
> Angenommen [mm]p[/mm] nicht prim
> [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt [mm]a,b \in \IZ: p | ab, p\nmid{a}, p\nmid{b} \Rightarrow[/mm]
> es gibt [mm]s \in \IZ: ps = ab[/mm]
> [mm]\Rightarrow \phi(a)\phi(b) = \phi(ab) = \phi(ps) = \phi(p)\phi(s) = 0 [/mm],
> da [mm]p \in Kern(\phi)[/mm]
> [mm]\Rightarrow 0 = \phi(a)\phi(b)[/mm] mit
> [mm]\phi(a) \not= 0, \phi(b) \not= 0[/mm], da [mm]a,b \notin (p) \subset \IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \IF[/mm] nicht nullteilerfrei, also kein Körper.
> Jetzt korrekt?
Ja, so ist's perfekt :)
Alternativ kannst du auch benutzen, dass du $p = a b$ mit $0 < a, b < p$, $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] schreiben kannst, wenn $p$ nicht prim ist. Je nachdem wie man Primzahl nun genau definiert hat
> > > (ii) Die Aussage erscheint mir logisch. Ich finde aber
> > > keinen Ansatz zu einem Beweis. Ich weiß, dass [mm]§\IF$[/mm] auf
> > > jeden Fall einen zu [mm]\IZ/p\IZ[/mm][/mm] isomorphen Teilkörper
> > > enthält. Komme ich damit weiter?
> >
> > Ueberleg dir, dass [mm]\IF[/mm] ein Vektorraum ueber diesem
> > Teilkoerper ist.
>
> Ich sehe ein, dass man z.B. [mm]\IF_4[/mm] als Vektorraum der
> Dimension 2 über [mm]\IF_2[/mm] betrachten kann. Ich weiß leider
> nicht wie ich dies allgemein zeigen kann. Kannst du (oder
> auch gerne jemand anders) mir da nochmal eine Tipp geben?
Nun, du kannst natuerlich die Vektorraumaxiome nachrechnen. Das ist ziemlich einfach.
Wenn [mm] $\IF$ [/mm] ein $r$-dimensionaler [mm] $\IF_p$-Vektorraum [/mm] ist, dann ist [mm] $\IF$ [/mm] isomorph zu [mm] $\IF_p^r$, [/mm] und hat somit [mm] $p^r$ [/mm] Elemente.
LG Felix
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