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| Aufgabe | Wir versuchen ein paar endliche Körper mit [mm] $\IZ_{2}$ [/mm] zu konstruieren.
a) Geben Sie die Multiplikationstafel für [mm] $\IZ_{2}[x]/q$ [/mm] mit [mm] $q(x)=x^{3}+x+1$ [/mm] an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper?
b) Geben Sie die Multiplikationstafel für [mm] $\IZ_{2}[x]/r$ [/mm] mit [mm] $r(x)=x^{2}+1$ [/mm] an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper? |
Hallo,
meine Probleme bei dieser Aufgabe beginnen bereits bei der Erstellung der Multiplikationstafel. [mm] $\IZ_{2}$ [/mm] hat die beiden Elemente 0 und 1, aber ich verstehe nicht, was ich mit der gegebenen Funktion machen soll?
Vielen Dank für die Hilfe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 So 17.06.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Wir versuchen ein paar endliche Körper mit [mm]\IZ_{2}[/mm] zu
> konstruieren.
>
> a) Geben Sie die Multiplikationstafel für [mm]\IZ_{2}[x]/q[/mm] mit
> [mm]q(x)=x^{3}+x+1[/mm] an!
>
> Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
> Was ist die Charakteristik davon?
> Ist dies ein Körper?
>
> b) Geben Sie die Multiplikationstafel für [mm]\IZ_{2}[x]/r[/mm] mit
> [mm]r(x)=x^{2}+1[/mm] an!
>
> Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
> Was ist die Charakteristik davon?
> Ist dies ein Körper?
> Hallo,
>
> meine Probleme bei dieser Aufgabe beginnen bereits bei der
> Erstellung der Multiplikationstafel. [mm]\IZ_{2}[/mm] hat die beiden
> Elemente 0 und 1, aber ich verstehe nicht, was ich mit der
> gegebenen Funktion machen soll?
>
Vlt. ist es einfacher wenn man von hinten anfängt. Überlege dir erst einmal warum das ganze ein Körper ist.
Die Elemente schauen so aus: f(x) + (q), wobei f(x) ein Polynom in [mm] \IZ_2[x] [/mm] ist und (q) das vom Polynom q erzeugte Ideal.
Der nächste Schritt ist dann, dass du zeigen musst, dass sich jedes Element f(x) + (q) durch einen Repräsentanten r(x) + (q) mit deg(r) < 3 darstellen lässt. (Polynomdivision mit Rest) Wie viele solche Polyonme gibt es denn? Wie viele Elemente gibt es also in diesem Körper. Wenn du das hast, dann weißt du auch wie die Elemente ausschaun und du kannst die Multiplikationstafel hinschreiben.
> Vielen Dank für die Hilfe!
>
> Gruß
> el_grecco
>
Viele Grüße
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| Aufgabe | Wir versuchen ein paar endliche Körper mit $ [mm] \IZ_{2} [/mm] $ zu konstruieren.
a) Geben Sie die Multiplikationstafel für $ [mm] \IZ_{2}[x]/q [/mm] $ mit $ [mm] q(x)=x^{3}+x+1 [/mm] $ an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper?
b) Geben Sie die Multiplikationstafel für $ [mm] \IZ_{2}[x]/r [/mm] $ mit $ [mm] r(x)=x^{2}+1 [/mm] $ an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper? |
Hallo teo,
Danke für Deine Hilfe!
Ich tappe leider noch immer im Dunkeln.
> Vlt. ist es einfacher wenn man von hinten anfängt. Überlege dir erst einmal warum das ganze ein Körper ist.
>
Ich denke ich muss zeigen, dass die ![[]](/images/popup.gif) Formale Definition erfüllt ist. Ich weiß aber nicht, wie ich das anstellen soll...?
> Die Elemente schauen so aus: f(x) + (q), wobei f(x) ein
> Polynom in [mm]\IZ_2[x][/mm] ist und (q) das vom Polynom q erzeugte
> Ideal.
Ich bin mir nicht zu 100% sicher, wie ein Polynom in [mm] $\IZ_2[x]$ [/mm] aussieht, aber ich denke, dass z.B. [mm] $f(x)=x^{1}+x^{0}+1$ [/mm] so ein Polynom ist.
Ein Ideal haben wir nicht besprochen und es taucht auch nicht in der empfohlenen Lektüre auf... Was ist das?
> Der nächste Schritt ist dann, dass du zeigen musst, dass
> sich jedes Element f(x) + (q) durch einen Repräsentanten
> r(x) + (q) mit deg(r) < 3 darstellen lässt.
> (Polynomdivision mit Rest) Wie viele solche Polyonme gibt
> es denn? Wie viele Elemente gibt es also in diesem Körper.
> Wenn du das hast, dann weißt du auch wie die Elemente
> ausschaun und du kannst die Multiplikationstafel
> hinschreiben.
So wie ich das im Moment verstehe, sind das ziemlich viele Polynome in $ [mm] \IZ_2[x] [/mm] $. Welche Polynome muss ich verwenden?
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Di 19.06.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
Sei [mm] f(x) \in \IZ_2[x] [/mm] und [mm] p(x) = x^3+x+1 [/mm]. Du betrachtest das wie ganz normale Restklassen halt nur mit Polynomen:
Der euklidische Algorithmus liefert eine Darstellung:
f(x) = q(x)p(x) + r(x) mit deg(r) < 3. Soweit sollte es noch klar sein oder?
Betrachte nun:
[mm]f(x) + p = f(x) +p - 0 + p = f(x) + p - q(x)p(x) + p = f(x) - q(x)p(x) + p = r(x) + p [/mm]
Du rechnest also immer modulo dem Polynom p!
Also besitzt jedes Polynom f(x) einen Repräsentanten r(x) mit deg(r) < 3. Immer noch Restklassenrechnerei.
Also kannst du alle Polynome in [mm] \IZ_2[x]/p [/mm] angeben, denn es gibt nur [mm] 2^2 [/mm] Polynome vom Grad 2 in [mm] \IZ_2[x]. (\IZ_2 [/mm] = [mm] \{0,1\}, [/mm] deshalb ist der Leitkoeffizient "fest" und du kannst nur den Koeffizienten vor x und die Konstante variieren also [mm] 2^2).
[/mm]
Naja also kannst du alle Elemente direkt angeben, nämlich [mm]x^2+x+1 + p,x^2 + p,x^2+x + p ,x^2+1 + p [/mm].
Multiplikationstafel ist dann auch einfach: z.B: [mm]x^2 + p * (x^2+1) + p = x^2 * (x^2 +1) + p = (x^4 +x^2) + p [/mm]usw.
Also gibt es vier verschiedene Elemente, die Charakteristik ist 2 und warum ist es ein Körper. Also das kann ich jetzt nur mit Idealen. Also weil [mm] \IZ_2[x] [/mm] als Polyomring in einer Unbestimmten ein Hauptidealbereich ist, und [mm] x^2 [/mm] + x + 1 irreduzibel in [mm] \IZ_2[x] [/mm] ist das von p erzeugte Ideal ein primideal, also insbesondere ein maximales Ideal. Und somit ist das ganze dann ein Körper.
Also anders weiß ich nicht wies geht. Vlt. gehts auch viel einfacher. Ich hoffe du kannst das einigermaßen nachvollziehen.
Grüße
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| Aufgabe | Wir versuchen ein paar endliche Körper mit $ [mm] \IZ_{2} [/mm] $ zu konstruieren.
a) Geben Sie die Multiplikationstafel für $ [mm] \IZ_{2}[x]/q [/mm] $ mit $ [mm] q(x)=x^{3}+x+1 [/mm] $ an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper?
b) Geben Sie die Multiplikationstafel für $ [mm] \IZ_{2}[x]/r [/mm] $ mit $ [mm] r(x)=x^{2}+1 [/mm] $ an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper? |
Hallo teo,
> Sei [mm]f(x) \in \IZ_2[x][/mm] und [mm]p(x) = x^3+x+1 [/mm]. Du betrachtest
> das wie ganz normale Restklassen halt nur mit Polynomen:
>
> Der euklidische Algorithmus liefert eine Darstellung:
>
> f(x) = q(x)p(x) + r(x) mit deg(r) < 3. Soweit sollte es
> noch klar sein oder?
>
> Betrachte nun:
>
> [mm]f(x) + p = f(x) +p - 0 + p = f(x) + p - q(x)p(x) + p = f(x) - q(x)p(x) + p = r(x) + p[/mm]
> Du rechnest also immer modulo dem Polynom p!
>
die Zeile darüber leuchtet mir leider überhaupt nicht ein... Wie gehst Du da mit welcher Absicht vor?
> Also besitzt jedes Polynom f(x) einen Repräsentanten r(x)
> mit deg(r) < 3. Immer noch Restklassenrechnerei.
>
> Also kannst du alle Polynome in [mm]\IZ_2[x]/p[/mm] angeben, denn es
> gibt nur [mm]2^2[/mm] Polynome vom Grad 2 in [mm]\IZ_2[x]. (\IZ_2[/mm] =
> [mm]\{0,1\},[/mm] deshalb ist der Leitkoeffizient "fest" und du
> kannst nur den Koeffizienten vor x und die Konstante
> variieren also [mm]2^2).[/mm]
>
Zur Sicherheit: würde es in [mm] $\IZ_3[x]$ [/mm] dann [mm] $2^{3}$ [/mm] viele Polynome geben?
> Naja also kannst du alle Elemente direkt angeben, nämlich
> [mm]x^2+x+1 + p,x^2 + p,x^2+x + p ,x^2+1 + p [/mm].
>
Leider sehe ich noch nicht, wie man diese Elemente erzeugt; warum ist z.B. [mm] $x^{2}+x+0$ [/mm] nicht dabei?
> Multiplikationstafel ist dann auch einfach: z.B: [mm]x^2 + p * (x^2+1) + p = x^2 * (x^2 +1) + p = (x^4 +x^2) + p [/mm]usw.
>
> Also gibt es vier verschiedene Elemente, die Charakteristik
> ist 2 und warum ist es ein Körper. Also das kann ich jetzt
> nur mit Idealen. Also weil [mm]\IZ_2[x][/mm] als Polyomring in einer
> Unbestimmten ein Hauptidealbereich ist, und [mm]x^2[/mm] + x + 1
> irreduzibel in [mm]\IZ_2[x][/mm] ist das von p erzeugte Ideal ein
> primideal, also insbesondere ein maximales Ideal. Und somit
> ist das ganze dann ein Körper.
>
> Also anders weiß ich nicht wies geht. Vlt. gehts auch viel
> einfacher. Ich hoffe du kannst das einigermaßen
> nachvollziehen.
Wenn ich die Punkte oben verstehe, dann sollte ich (hoffentlich) ein klares Bild erhalten.
Vielen Dank für Deine Hilfe und sorry, wenn die vielen Fragen wie ein polizeiliches Verhör wirken! 
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mi 20.06.2012 | | Autor: | teo |
> Wir versuchen ein paar endliche Körper mit [mm]\IZ_{2}[/mm] zu
> konstruieren.
>
> a) Geben Sie die Multiplikationstafel für [mm]\IZ_{2}[x]/q[/mm] mit
> [mm]q(x)=x^{3}+x+1[/mm] an!
>
> Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
> Was ist die Charakteristik davon?
> Ist dies ein Körper?
>
> b) Geben Sie die Multiplikationstafel für [mm]\IZ_{2}[x]/r[/mm] mit
> [mm]r(x)=x^{2}+1[/mm] an!
>
> Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
> Was ist die Charakteristik davon?
> Ist dies ein Körper?
> Hallo teo,
>
> > Sei [mm]f(x) \in \IZ_2[x][/mm] und [mm]p(x) = x^3+x+1 [/mm]. Du betrachtest
> > das wie ganz normale Restklassen halt nur mit Polynomen:
> >
> > Der euklidische Algorithmus liefert eine Darstellung:
> >
> > f(x) = q(x)p(x) + r(x) mit deg(r) < 3. Soweit sollte es
> > noch klar sein oder?
> >
> > Betrachte nun:
> >
> > [mm]f(x) + p = f(x) +p - 0 + p = f(x) + p - q(x)p(x) + p = f(x) - q(x)p(x) + p = r(x) + p[/mm]
> > Du rechnest also immer modulo dem Polynom p!
> >
>
> die Zeile darüber leuchtet mir leider überhaupt nicht
> ein... Wie gehst Du da mit welcher Absicht vor?
>
> > Also besitzt jedes Polynom f(x) einen Repräsentanten r(x)
> > mit deg(r) < 3. Immer noch Restklassenrechnerei.
> >
> > Also kannst du alle Polynome in [mm]\IZ_2[x]/p[/mm] angeben, denn es
> > gibt nur [mm]2^2[/mm] Polynome vom Grad 2 in [mm]\IZ_2[x]. (\IZ_2[/mm] =
> > [mm]\{0,1\},[/mm] deshalb ist der Leitkoeffizient "fest" und du
> > kannst nur den Koeffizienten vor x und die Konstante
> > variieren also [mm]2^2).[/mm]
> >
>
> Zur Sicherheit: würde es in [mm]\IZ_3[x][/mm] dann [mm]2^{3}[/mm] viele
> Polynome geben?
nein weil du für den leitkoeffizienten dann ja 2 möglichkeiten hast also gibt es [mm] 2^3+2 [/mm] polynome mit grad2 aber die mit grad 1 sind auch dabei sry also [mm] 3^3 [/mm] viele
> > Naja also kannst du alle Elemente direkt angeben, nämlich
> > [mm]x^2+x+1 + p,x^2 + p,x^2+x + p ,x^2+1 + p [/mm]
sry deg(r)<3 polynome vom grad 1 sind also auch dabei es gibt also [mm] 3^2 [/mm] polynome welche fehlen noch
>
> Leider sehe ich noch nicht, wie man diese Elemente erzeugt;
> warum ist z.B. [mm]x^{2}+x+0[/mm] nicht dabei?
ist es doch denk dir p weg dann sind das die polynome vom grad <3 in [mm] \IZ_2 [/mm] p kommt dann einfach dazu weil wir in der restklasse sind und alle polynome in [mm] \IZ_2[x]/p [/mm] von der form f(x)+p sind!
> > Multiplikationstafel ist dann auch einfach: z.B: [mm]x^2 + p * (x^2+1) + p = x^2 * (x^2 +1) + p = (x^4 +x^2) + p [/mm]usw.
>
> >
> > Also gibt es vier verschiedene Elemente, die Charakteristik
> > ist 2 und warum ist es ein Körper. Also das kann ich jetzt
> > nur mit Idealen. Also weil [mm]\IZ_2[x][/mm] als Polyomring in einer
> > Unbestimmten ein Hauptidealbereich ist, und [mm]x^2[/mm] + x + 1
> > irreduzibel in [mm]\IZ_2[x][/mm] ist das von p erzeugte Ideal ein
> > primideal, also insbesondere ein maximales Ideal. Und somit
> > ist das ganze dann ein Körper.
> >
> > Also anders weiß ich nicht wies geht. Vlt. gehts auch viel
> > einfacher. Ich hoffe du kannst das einigermaßen
> > nachvollziehen.
>
> Wenn ich die Punkte oben verstehe, dann sollte ich
> (hoffentlich) ein klares Bild erhalten.
>
> Vielen Dank für Deine Hilfe und sorry, wenn die vielen
> Fragen wie ein polizeiliches Verhör wirken!
>
> Gruß
> el_grecco
>
sry das ist jetzt wahrscheinlich etwas unübetsichtlich geworden aber sitz grad in der bib und hab nur den kleinen handybildschirm...
grüsse
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| Aufgabe | Wir versuchen ein paar endliche Körper mit $ [mm] \IZ_{2} [/mm] $ zu konstruieren.
a) Geben Sie die Multiplikationstafel für $ [mm] \IZ_{2}[x]/q [/mm] $ mit $ [mm] q(x)=x^{3}+x+1 [/mm] $ an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper?
b) Geben Sie die Multiplikationstafel für $ [mm] \IZ_{2}[x]/r [/mm] $ mit $ [mm] r(x)=x^{2}+1 [/mm] $ an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper? |
Hallo teo,
sorry für die späte Rückmeldung, aber ich hatte einige Deadlines...
> > > Sei [mm]f(x) \in \IZ_2[x][/mm] und [mm]p(x) = x^3+x+1 [/mm]. Du betrachtest
> > > das wie ganz normale Restklassen halt nur mit Polynomen:
> > >
> > > Der euklidische Algorithmus liefert eine Darstellung:
> > >
> > > f(x) = q(x)p(x) + r(x) mit deg(r) < 3. Soweit sollte es
> > > noch klar sein oder?
> > >
> > > Betrachte nun:
> > >
> > > [mm]f(x) + p = f(x) +p - 0 + p = f(x) + p - q(x)p(x) + p = f(x) - q(x)p(x) + p = r(x) + p[/mm]
> > > Du rechnest also immer modulo dem Polynom p!
> > >
Die Zeile darüber ist mir leider noch immer nicht klar. Wie kommst Du auf diese Umformungen bzw. was bedeuten sie?
> >
> > > Also besitzt jedes Polynom f(x) einen Repräsentanten r(x)
> > > mit deg(r) < 3. Immer noch Restklassenrechnerei.
> > >
> > > Also kannst du alle Polynome in [mm]\IZ_2[x]/p[/mm] angeben, denn es
> > > gibt nur [mm]2^2[/mm] Polynome vom Grad 2 in [mm]\IZ_2[x]. (\IZ_2[/mm] =
> > > [mm]\{0,1\},[/mm] deshalb ist der Leitkoeffizient "fest" und du
> > > kannst nur den Koeffizienten vor x und die Konstante
> > > variieren also [mm]2^2).[/mm]
> > >
> >
> > Zur Sicherheit: würde es in [mm]\IZ_3[x][/mm] dann [mm]2^{3}[/mm] viele
> > Polynome geben?
> nein weil du für den leitkoeffizienten dann ja 2
> möglichkeiten hast also gibt es [mm]2^3+2[/mm] polynome mit grad2
> aber die mit grad 1 sind auch dabei sry also [mm]3^3[/mm] viele
> > > Naja also kannst du alle Elemente direkt angeben,
> nämlich
> > > [mm]x^2+x+1 + p,x^2 + p,x^2+x + p ,x^2+1 + p[/mm]
> sry deg(r)<3
> polynome vom grad 1 sind also auch dabei es gibt also [mm]3^2[/mm]
> polynome welche fehlen noch
> >
Ich verstehe noch nicht, wie man diese Polynome bildet. Da Grad = 2 ist denke ich die Grundlage $f(x) = [mm] ax^{2} [/mm] + bx + c,$ aber wie entsteht z.B. [mm] $x^{2}+p$?
[/mm]
Das Bestimmen der fehlenden Polynome wäre für mich dann nur Rätselraten...
> > Leider sehe ich noch nicht, wie man diese Elemente erzeugt;
> > warum ist z.B. [mm]x^{2}+x+0[/mm] nicht dabei?
>
> ist es doch denk dir p weg dann sind das die polynome vom
> grad <3 in [mm]\IZ_2[/mm] p kommt dann einfach dazu weil wir in der
> restklasse sind und alle polynome in [mm]\IZ_2[x]/p[/mm] von der
> form f(x)+p sind!
>
> > > Multiplikationstafel ist dann auch einfach: z.B: [mm]x^2 + p * (x^2+1) + p = x^2 * (x^2 +1) + p = (x^4 +x^2) + p [/mm]usw.
>
Das mit der Multiplikationstafel ist mir ehrlich gesagt auch noch nicht klar...
> sry das ist jetzt wahrscheinlich etwas unübetsichtlich
> geworden aber sitz grad in der bib und hab nur den kleinen
> handybildschirm...
Kein Problem!
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Sa 23.06.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Wir versuchen ein paar endliche Körper mit [mm]\IZ_{2}[/mm] zu
> konstruieren.
>
> a) Geben Sie die Multiplikationstafel für [mm]\IZ_{2}[x]/q[/mm] mit
> [mm]q(x)=x^{3}+x+1[/mm] an!
>
> Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
> Was ist die Charakteristik davon?
> Ist dies ein Körper?
>
> b) Geben Sie die Multiplikationstafel für [mm]\IZ_{2}[x]/r[/mm] mit
> [mm]r(x)=x^{2}+1[/mm] an!
>
> Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
> Was ist die Charakteristik davon?
> Ist dies ein Körper?
> Hallo teo,
>
> sorry für die späte Rückmeldung, aber ich hatte einige
> Deadlines...
>
> > > > Sei [mm]f(x) \in \IZ_2[x][/mm] und [mm]p(x) = x^3+x+1 [/mm]. Du betrachtest
> > > > das wie ganz normale Restklassen halt nur mit Polynomen:
> > > >
> > > > Der euklidische Algorithmus liefert eine Darstellung:
> > > >
> > > > f(x) = q(x)p(x) + r(x) mit deg(r) < 3. Soweit sollte es
> > > > noch klar sein oder?
> > > >
> > > > Betrachte nun:
> > > >
> > > > [mm]f(x) + p = f(x) +p - 0 + p = f(x) + p - q(x)p(x) + p = f(x) - q(x)p(x) + p = r(x) + p[/mm]
> > > > Du rechnest also immer modulo dem Polynom p!
> > > >
>
> Die Zeile darüber ist mir leider noch immer nicht klar.
> Wie kommst Du auf diese Umformungen bzw. was bedeuten sie?
Hier rechne ich einfach per Hand die Repräsentanten des Restklassenrings aus! Du kannst das aber auch sein lassen und die Anzahl der Elemente direkt mit dem Strukursatz für endliche Körper angeben. http://www.math.uzh.ch/index.php?file&key1=11924,
bringt dir nur wenig weil du ja die Elemente in [mm] \IZ_{2\IZ}[x]/p [/mm] brauchst, also hilfts nix und hier er nochmal eine Erklärung für das was ich da oben gemacht habe: Wir haben den Polyonomring [mm] \IZ_{2\IZ}[x] [/mm] und rechnen modulo p. Das bedeutet doch eigentlich anschaulich, dass du zu jedem Polyonom in [mm] \IZ_{2\IZ}[x] [/mm] das Polynom p dazutun. Also zum Beispiel unten: [mm] x^2+x+1 [/mm] und nun eben noch plus p. Das habe ich unten ja immer gemacht. Und weil man ja immer modulo rechnet kannst du für zwei polyonome f,g: f + p +g +p = f + g + p schreiben.
Nun ist das ziemlich unmöglich alle Polyonome in dem obigen Körper anzugeben. Aber man kann sich eben helfen, weil sich jedes Polyonom in [mm] \IZ_{2\IZ}[x]/p [/mm] eindeutig durch seinen Repräsentanten repräsentieren lässt.
und das was ich oben geschrieben habe und dir nicht klar ist, ist der Beweis dazu:
Du kannst weil wir ja modulo p rechnen dir einfach mal ein beliebiges polynom f anschaun. Das teilst du mit rest durch p und erhälst eben eine darstellung:
f = q*p +r wobei q,r [mm] \in \IZ_{2\IZ}[x] [/mm] und deg(r)<deg(p)=3 (einfach polynomdivision mit rest)
also hat ein beliebiges element in [mm] \IZ_{2\IZ}[x]/p [/mm] die form f + p mit f [mm] \in \IZ_{2\IZ}[x] [/mm] ok?
also: f + p = f + p - 0 + p (einfach das Nullpolyom abgezogen, ändert ja nix) = f - 0 + p = f - q*p + p (q*p [mm] \conq [/mm] 0 mod p) = r + p, also lässt sich jedes polyonom in [mm] \IZ_{2\IZ}[x]/p [/mm] durch einen repräsentanten r mit deg(r)<deg(p)=3 darstellen.
Also musst du nur wissen wieviele polyonome vom grad kleiner 3 es in [mm] \IZ_{2\IZ}[x] [/mm] gibt. die sind von der form [mm] ax^2 [/mm] + bx^+ c also drei koeffizienten in [mm] \IZ_{2\IZ} [/mm] gibts nur zwei elemente also [mm] 2^3 [/mm] möglichkeiten die koeffizienten zu wählen also gibts 8 polyonome. die gibst du jetzt an, schreibst sie in eine multiplikationstabelle und legst eifrig los die miteinander zu multiplizieren musst aber eben dran denken, dass du immer mit dem polyonom p redzuieren musst. das bedeutet dass bei jeder multiplikation von zwei deiner 8 polyonome wieder eins von diesen rauskommen muss, wenn du jetzt zum beispiel [mm] x^2 [/mm] + x mit [mm] x^2 [/mm] + x + 1 multipliziert rechnest das einfach aus und gehst dann wie ichs oben erklärt hab mit polyonomdivision durch p vor und erhälst wieder eins von den acht polyonmen.. ist halt aweng aufwendig aber ich hab mir die aufgabe ja net ausgedacht. Und net vergessen der vollständigkeit halber schreibt man halt wenn man alle polyonome in [mm] \IZ_{2\IZ}[x]/p [/mm] angeben muss hinter die acht polyonome aus [mm] \IZ_{2\IZ}[x] [/mm] immer noch schön ein p dahinter... so ich hoffe nun ist es klar! viel erfolg beim nachrechnen
> > >
> > > > Also besitzt jedes Polynom f(x) einen Repräsentanten r(x)
> > > > mit deg(r) < 3. Immer noch Restklassenrechnerei.
> > > >
> > > > Also kannst du alle Polynome in [mm]\IZ_2[x]/p[/mm] angeben, denn es
> > > > gibt nur [mm]2^2[/mm] Polynome vom Grad 2 in [mm]\IZ_2[x]. (\IZ_2[/mm] =
> > > > [mm]\{0,1\},[/mm] deshalb ist der Leitkoeffizient "fest" und du
> > > > kannst nur den Koeffizienten vor x und die Konstante
> > > > variieren also [mm]2^2).[/mm]
> > > >
> > >
> > > Zur Sicherheit: würde es in [mm]\IZ_3[x][/mm] dann [mm]2^{3}[/mm] viele
> > > Polynome geben?
> > nein weil du für den leitkoeffizienten dann ja 2
> > möglichkeiten hast also gibt es [mm]2^3+2[/mm] polynome mit grad2
> > aber die mit grad 1 sind auch dabei sry also [mm]3^3[/mm] viele
> > > > Naja also kannst du alle Elemente direkt angeben,
> > nämlich
> > > > [mm]x^2+x+1 + p,x^2 + p,x^2+x + p ,x^2+1 + p[/mm]
> > sry
> deg(r)<3
> > polynome vom grad 1 sind also auch dabei es gibt also [mm]3^2[/mm]
> > polynome welche fehlen noch
> > >
>
> Ich verstehe noch nicht, wie man diese Polynome bildet. Da
> Grad = 2 ist denke ich die Grundlage [mm]f(x) = ax^{2} + bx + c,[/mm]
> aber wie entsteht z.B. [mm]x^{2}+p[/mm]?
>
> Das Bestimmen der fehlenden Polynome wäre für mich dann
> nur Rätselraten...
>
> > > Leider sehe ich noch nicht, wie man diese Elemente erzeugt;
> > > warum ist z.B. [mm]x^{2}+x+0[/mm] nicht dabei?
> >
> > ist es doch denk dir p weg dann sind das die polynome vom
> > grad <3 in [mm]\IZ_2[/mm] p kommt dann einfach dazu weil wir in der
> > restklasse sind und alle polynome in [mm]\IZ_2[x]/p[/mm] von der
> > form f(x)+p sind!
> >
> > > > Multiplikationstafel ist dann auch einfach: z.B: [mm]x^2 + p * (x^2+1) + p = x^2 * (x^2 +1) + p = (x^4 +x^2) + p [/mm]usw.
>
> >
>
> Das mit der Multiplikationstafel ist mir ehrlich gesagt
> auch noch nicht klar...
>
> > sry das ist jetzt wahrscheinlich etwas unübetsichtlich
> > geworden aber sitz grad in der bib und hab nur den kleinen
> > handybildschirm...
>
> Kein Problem!
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> el_grecco
>
sry für die tippfehler die such ich jetzt nimmer
Grüße
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| Aufgabe | Wir versuchen ein paar endliche Körper mit $ [mm] \IZ_{2} [/mm] $ zu konstruieren.
a) Geben Sie die Multiplikationstafel für $ [mm] \IZ_{2}[x]/q [/mm] $ mit $ [mm] q(x)=x^{3}+x+1 [/mm] $ an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper?
b) Geben Sie die Multiplikationstafel für $ [mm] \IZ_{2}[x]/r [/mm] $ mit $ [mm] r(x)=x^{2}+1 [/mm] $ an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper? |
Hallo teo,
Danke erstmal für Deine Geduld und Hilfe!
> > > > > Sei [mm]f(x) \in \IZ_2[x][/mm] und [mm]p(x) = x^3+x+1 [/mm]. Du betrachtest
> > > > > das wie ganz normale Restklassen halt nur mit Polynomen:
> > > > >
> > > > > Der euklidische Algorithmus liefert eine Darstellung:
> > > > >
> > > > > f(x) = q(x)p(x) + r(x) mit deg(r) < 3. Soweit sollte es
> > > > > noch klar sein oder?
> > > > >
> > > > > Betrachte nun:
> > > > >
> > > > > [mm]f(x) + p = f(x) +p - 0 + p = f(x) + p - q(x)p(x) + p = f(x) - q(x)p(x) + p = r(x) + p[/mm]
> > > > > Du rechnest also immer modulo dem Polynom p!
> > > > >
> >
> > Die Zeile darüber ist mir leider noch immer nicht klar.
> > Wie kommst Du auf diese Umformungen bzw. was bedeuten sie?
>
> Hier rechne ich einfach per Hand die Repräsentanten des
> Restklassenrings aus! Du kannst das aber auch sein lassen
> und die Anzahl der Elemente direkt mit dem Strukursatz für
> endliche Körper angeben.
> http://www.math.uzh.ch/index.php?file&key1=11924,
>
> bringt dir nur wenig weil du ja die Elemente in
> [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] brauchst, also hilfts nix und hier er
> nochmal eine Erklärung für das was ich da oben gemacht
> habe: Wir haben den Polyonomring [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] und rechnen
> modulo p. Das bedeutet doch eigentlich anschaulich, dass du
> zu jedem Polyonom in [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] das Polynom p dazutun.
> Also zum Beispiel unten: [mm]x^2+x+1[/mm] und nun eben noch plus p.
> Das habe ich unten ja immer gemacht. Und weil man ja immer
> modulo rechnet kannst du für zwei polyonome f,g: f + p +g
> +p = f + g + p schreiben.
>
> Nun ist das ziemlich unmöglich alle Polyonome in dem
> obigen Körper anzugeben. Aber man kann sich eben helfen,
> weil sich jedes Polyonom in [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] eindeutig durch
> seinen Repräsentanten repräsentieren lässt.
> und das was ich oben geschrieben habe und dir nicht klar
> ist, ist der Beweis dazu:
>
> Du kannst weil wir ja modulo p rechnen dir einfach mal ein
> beliebiges polynom f anschaun. Das teilst du mit rest durch
> p und erhälst eben eine darstellung:
> f = q*p +r wobei q,r [mm]\in \IZ_{2\IZ}[x][/mm] und deg(r)<deg(p)=3
> (einfach polynomdivision mit rest)
> also hat ein beliebiges element in [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] die
> form f + p mit f [mm]\in \IZ_{2\IZ}[x][/mm] ok?
>
Hier hänge ich noch. Beispiel:
[mm] $(x^{2}+x+1)/(x^{3}+x+1)=0$
[/mm]
Rest: [mm] $x^{2}+x+1$
[/mm]
Also [mm] $x^{2}+x+1 [/mm] = [mm] 0*(x^{3}+x+1) [/mm] + [mm] x^{2}+x+1$
[/mm]
Woran erkennt man nun, dass f + p gilt?
> also: f + p = f + p - 0 + p (einfach das Nullpolyom
> abgezogen, ändert ja nix) = f - 0 + p = f - q*p + p (q*p
> [mm]\conq[/mm] 0 mod p) = r + p, also lässt sich jedes polyonom in
> [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] durch einen repräsentanten r mit
> deg(r)<deg(p)=3 darstellen.
Ich schreibe das mal sauber auf, weil es der Knackpunkt ist:
$f(x) + p(x) = f(x) + p(x) - 0 + p(x) = f(x) - 0 + p(x) = ...$
- Warum ziehst Du hier das Nullpolynom ab?
- Die weiteren Schritte bei ... sind mir nicht klar. Wäre cool wenn Du noch 1,2 Worte schreiben könntest, was es damit auf sich hat.
> Also musst du nur wissen wieviele polyonome vom grad
> kleiner 3 es in [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] gibt. die sind von der form
> [mm]ax^2[/mm] + bx^+ c also drei koeffizienten in [mm]\IZ_{2\IZ}[/mm] gibts
> nur zwei elemente also [mm]2^3[/mm] möglichkeiten die koeffizienten
> zu wählen also gibts 8 polyonome. die gibst du jetzt an,
> schreibst sie in eine multiplikationstabelle und legst
> eifrig los die miteinander zu multiplizieren musst aber
> eben dran denken, dass du immer mit dem polyonom p
> redzuieren musst. das bedeutet dass bei jeder
> multiplikation von zwei deiner 8 polyonome wieder eins von
> diesen rauskommen muss, wenn du jetzt zum beispiel [mm]x^2[/mm] + x
> mit [mm]x^2[/mm] + x + 1 multipliziert rechnest das einfach aus und
> gehst dann wie ichs oben erklärt hab mit polyonomdivision
> durch p vor und erhälst wieder eins von den acht
> polyonmen.. ist halt aweng aufwendig aber ich hab mir die
> aufgabe ja net ausgedacht. Und net vergessen der
> vollständigkeit halber schreibt man halt wenn man alle
> polyonome in [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] angeben muss hinter die acht
> polyonome aus [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] immer noch schön ein p
> dahinter... so ich hoffe nun ist es klar! viel erfolg
> beim nachrechnen
4 Polynome hattest Du ja schon genannt:
$ [mm] x^2+x+1 [/mm] + [mm] p,x^2 [/mm] + [mm] p,x^2+x [/mm] + p [mm] ,x^2+1 [/mm] + p $
Ich denke die 4 noch fehlenden Polynome sind dann:
$x+p, x+1+p, 1+p, 0$
Noch zu Deinem Beispiel für die Multiplikationstafel [mm] $x^{2} [/mm] + x$ multipliziert mit [mm] $x^{2} [/mm] + x + 1$ ob ich es richtig verstanden habe:
[mm] $(x^{2} [/mm] + [mm] x)*(x^{2} [/mm] + x + [mm] 1)=x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x$
[/mm]
Jetzt Polynomdivision durch [mm] $p(x)\!\$:
[/mm]
[mm] $(x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x)/(x^{3}+x+1)=x+2$
[/mm]
Rest: [mm] $x^{2}-2x-2$
[/mm]
Dieses Ergebnis kann doch aber nicht stimmen, da es mit keinem der 8 Polynome übereinstimmt?
Noch eine Frage zur Charakteristik: die ist bei beiden Teilaufgaben 2, oder?
> sry für die tippfehler die such ich jetzt nimmer
Passt schon, wir sind ja keine Germanisten.
Gruß
el_grecco
|
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Sa 23.06.2012 | | Autor: | teo |
> Wir versuchen ein paar endliche Körper mit [mm]\IZ_{2}[/mm] zu
> konstruieren.
>
> a) Geben Sie die Multiplikationstafel für [mm]\IZ_{2}[x]/q[/mm] mit
> [mm]q(x)=x^{3}+x+1[/mm] an!
>
> Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
> Was ist die Charakteristik davon?
> Ist dies ein Körper?
>
> b) Geben Sie die Multiplikationstafel für [mm]\IZ_{2}[x]/r[/mm] mit
> [mm]r(x)=x^{2}+1[/mm] an!
>
> Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
> Was ist die Charakteristik davon?
> Ist dies ein Körper?
> Hallo teo,
>
> Danke erstmal für Deine Geduld und Hilfe!
>
> > > > > > Sei [mm]f(x) \in \IZ_2[x][/mm] und [mm]p(x) = x^3+x+1 [/mm]. Du betrachtest
> > > > > > das wie ganz normale Restklassen halt nur mit Polynomen:
> > > > > >
> > > > > > Der euklidische Algorithmus liefert eine Darstellung:
> > > > > >
> > > > > > f(x) = q(x)p(x) + r(x) mit deg(r) < 3. Soweit sollte es
> > > > > > noch klar sein oder?
> > > > > >
> > > > > > Betrachte nun:
> > > > > >
> > > > > > [mm]f(x) + p = f(x) +p - 0 + p = f(x) + p - q(x)p(x) + p = f(x) - q(x)p(x) + p = r(x) + p[/mm]
> > > > > > Du rechnest also immer modulo dem Polynom p!
> > > > > >
> > >
> > > Die Zeile darüber ist mir leider noch immer nicht klar.
> > > Wie kommst Du auf diese Umformungen bzw. was bedeuten sie?
> >
> > Hier rechne ich einfach per Hand die Repräsentanten des
> > Restklassenrings aus! Du kannst das aber auch sein lassen
> > und die Anzahl der Elemente direkt mit dem Strukursatz für
> > endliche Körper angeben.
> > http://www.math.uzh.ch/index.php?file&key1=11924,
> >
> > bringt dir nur wenig weil du ja die Elemente in
> > [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] brauchst, also hilfts nix und hier er
> > nochmal eine Erklärung für das was ich da oben gemacht
> > habe: Wir haben den Polyonomring [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] und rechnen
> > modulo p. Das bedeutet doch eigentlich anschaulich, dass du
> > zu jedem Polyonom in [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] das Polynom p dazutun.
> > Also zum Beispiel unten: [mm]x^2+x+1[/mm] und nun eben noch plus p.
> > Das habe ich unten ja immer gemacht. Und weil man ja immer
> > modulo rechnet kannst du für zwei polyonome f,g: f + p +g
> > +p = f + g + p schreiben.
> >
> > Nun ist das ziemlich unmöglich alle Polyonome in dem
> > obigen Körper anzugeben. Aber man kann sich eben helfen,
> > weil sich jedes Polyonom in [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] eindeutig durch
> > seinen Repräsentanten repräsentieren lässt.
> > und das was ich oben geschrieben habe und dir nicht
> klar
> > ist, ist der Beweis dazu:
> >
> > Du kannst weil wir ja modulo p rechnen dir einfach mal ein
> > beliebiges polynom f anschaun. Das teilst du mit rest durch
> > p und erhälst eben eine darstellung:
> > f = q*p +r wobei q,r [mm]\in \IZ_{2\IZ}[x][/mm] und
> deg(r)<deg(p)=3
> > (einfach polynomdivision mit rest)
> > also hat ein beliebiges element in [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] die
> > form f + p mit f [mm]\in \IZ_{2\IZ}[x][/mm] ok?
> >
>
> Hier hänge ich noch. Beispiel:
>
> [mm](x^{2}+x+1)/(x^{3}+x+1)=0[/mm]
>
> Rest: [mm]x^{2}+x+1[/mm]
>
> Also [mm]x^{2}+x+1 = 0*(x^{3}+x+1) + x^{2}+x+1[/mm]
>
> Woran erkennt man nun, dass f + p gilt?
Das ist jetzt eher ein ungeschicktes beispiel weil [mm] x^2+x+1 [/mm] ja ein repräsentant ist also logischerweise bei division durch p wieder das selbe polynom rauskommt.
(Denke dran das wir in [mm] \IZ_{2\IZ} [/mm] sind. hier ist z.B. -2 = 1, -1= 2!!! )
sei f= [mm] x^5+x+2, [/mm] dann gilt in [mm] \IZ_{2\IZ}[x]/p [/mm] mit polynomdivion durch p
f+p = [mm] x^2+x+2 [/mm] +p
Das + p sagt dir NUR das du modulo p rechnest also grob gesagt, dass du jedes polynom mit grad größer/gleich 3 durch p division mit rest durch einen Repräsentanten also ein polynom mit grad kleiner 3 darstellen kannst. also ist in deinem beispiel [mm] x^2+x+1 [/mm] + p schon diese reduzierte darstellung deswegen ist dein beispiel ungeschickt!
> > also: f + p = f + p - 0 + p (einfach das Nullpolyom
> > abgezogen, ändert ja nix) = f - 0 + p = f - q*p + p (q*p
> > [mm]\conq[/mm] 0 mod p) = r + p, also lässt sich jedes polyonom in
> > [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] durch einen repräsentanten r mit
> > deg(r)<deg(p)=3 darstellen.
>
> Ich schreibe das mal sauber auf, weil es der Knackpunkt
> ist:
>
> [mm]f(x) + p(x) = f(x) + p(x) - 0 + p(x) = f(x) - 0 + p(x) = ...[/mm]
>
> - Warum ziehst Du hier das Nullpolynom ab?
damit ich dann 0 als ein vielfaches von p schreiben kann und das ist ja, da ich modulo p rechne wieder 0, weil ein vielfaches von p durch p geteilt rest 0 ergibt!!!
Wenn ich dann q*p statt 0 schreibe kann ich meine darstellung von f benutzen nämlich:
f=q*p+r also f - q*p = r!!!
> - Die weiteren Schritte bei ... sind mir nicht klar. Wäre
> cool wenn Du noch 1,2 Worte schreiben könntest, was es
> damit auf sich hat.
ich will ja zeigen das ich die polynome f durch r repräsentieren kann also schreibe ich solange um bis ich f-q*p dastehen habe um das durch r zu ersetzen.
> > Also musst du nur wissen wieviele polyonome vom grad
> > kleiner 3 es in [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] gibt. die sind von der form
> > [mm]ax^2[/mm] + bx^+ c also drei koeffizienten in [mm]\IZ_{2\IZ}[/mm] gibts
> > nur zwei elemente also [mm]2^3[/mm] möglichkeiten die koeffizienten
> > zu wählen also gibts 8 polyonome. die gibst du jetzt an,
> > schreibst sie in eine multiplikationstabelle und legst
> > eifrig los die miteinander zu multiplizieren musst aber
> > eben dran denken, dass du immer mit dem polyonom p
> > redzuieren musst. das bedeutet dass bei jeder
> > multiplikation von zwei deiner 8 polyonome wieder eins von
> > diesen rauskommen muss, wenn du jetzt zum beispiel [mm]x^2[/mm] + x
> > mit [mm]x^2[/mm] + x + 1 multipliziert rechnest das einfach aus und
> > gehst dann wie ichs oben erklärt hab mit polyonomdivision
> > durch p vor und erhälst wieder eins von den acht
> > polyonmen.. ist halt aweng aufwendig aber ich hab mir die
> > aufgabe ja net ausgedacht. Und net vergessen der
> > vollständigkeit halber schreibt man halt wenn man alle
> > polyonome in [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] angeben muss hinter die acht
> > polyonome aus [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] immer noch schön ein p
> > dahinter... so ich hoffe nun ist es klar! viel erfolg
> > beim nachrechnen
>
> 4 Polynome hattest Du ja schon genannt:
>
> [mm]x^2+x+1 + p,x^2 + p,x^2+x + p ,x^2+1 + p[/mm]
>
> Ich denke die 4 noch fehlenden Polynome sind dann:
>
> [mm]x+p, x+1+p, 1+p, 0[/mm]
genau
> Noch zu Deinem Beispiel für die Multiplikationstafel [mm]x^{2} + x[/mm]
> multipliziert mit [mm]x^{2} + x + 1[/mm] ob ich es richtig
> verstanden habe:
>
> [mm](x^{2} + x)*(x^{2} + x + 1)=x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x[/mm]
>
> Jetzt Polynomdivision durch [mm]p(x)\!\[/mm]:
>
> [mm](x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x)/(x^{3}+x+1)=x+2[/mm]
>
> Rest: [mm]x^{2}-2x-2[/mm]
stimmt und jetzt bedenken, dass deine koeffizienten aus [mm] \IZ_{2\IZ} [/mm] sind also ist -2 = 1 und dein polynom schaut plötzlich bekannt aus!
> Dieses Ergebnis kann doch aber nicht stimmen, da es mit
> keinem der 8 Polynome übereinstimmt?
>
eben schon!
> Noch eine Frage zur Charakteristik: die ist bei beiden
> Teilaufgaben 2, oder?
>
ja weil [mm] \IZ_{2\IZ} [/mm] der primkörper ist!
> > sry für die tippfehler die such ich jetzt nimmer
>
> Passt schon, wir sind ja keine Germanisten.
>
> Gruß
> el_grecco
>
Grüße
|
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| Aufgabe | Wir versuchen ein paar endliche Körper mit $ [mm] \IZ_{2} [/mm] $ zu konstruieren.
a) Geben Sie die Multiplikationstafel für $ [mm] \IZ_{2}[x]/q [/mm] $ mit $ [mm] q(x)=x^{3}+x+1 [/mm] $ an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper?
b) Geben Sie die Multiplikationstafel für $ [mm] \IZ_{2}[x]/r [/mm] $ mit $ [mm] r(x)=x^{2}+1 [/mm] $ an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper? |
Hallo teo,
Danke nochmal für Deine Unterstützung!
Es sind jetzt im Grunde nur noch zwei Kleinigkeiten:
> > > > > > > Sei [mm]f(x) \in \IZ_2[x][/mm] und [mm]p(x) = x^3+x+1 [/mm]. Du betrachtest
> > > > > > > das wie ganz normale Restklassen halt nur mit Polynomen:
> > > > > > >
> > > > > > > Der euklidische Algorithmus liefert eine Darstellung:
> > > > > > >
> > > > > > > f(x) = q(x)p(x) + r(x) mit deg(r) < 3. Soweit sollte es
> > > > > > > noch klar sein oder?
> > > > > > >
> > > > > > > Betrachte nun:
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]f(x) + p = f(x) +p - 0 + p = f(x) + p - q(x)p(x) + p = f(x) - q(x)p(x) + p = r(x) + p[/mm]
> > > > > > > Du rechnest also immer modulo dem Polynom p!
> > > > > > >
> > > >
> > > > Die Zeile darüber ist mir leider noch immer nicht klar.
> > > > Wie kommst Du auf diese Umformungen bzw. was bedeuten sie?
> > >
> > > Hier rechne ich einfach per Hand die Repräsentanten des
> > > Restklassenrings aus! Du kannst das aber auch sein lassen
> > > und die Anzahl der Elemente direkt mit dem Strukursatz für
> > > endliche Körper angeben.
> > > http://www.math.uzh.ch/index.php?file&key1=11924,
> > >
> > > bringt dir nur wenig weil du ja die Elemente in
> > > [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] brauchst, also hilfts nix und hier er
> > > nochmal eine Erklärung für das was ich da oben gemacht
> > > habe: Wir haben den Polyonomring [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] und rechnen
> > > modulo p. Das bedeutet doch eigentlich anschaulich, dass du
> > > zu jedem Polyonom in [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] das Polynom p dazutun.
> > > Also zum Beispiel unten: [mm]x^2+x+1[/mm] und nun eben noch plus p.
> > > Das habe ich unten ja immer gemacht. Und weil man ja immer
> > > modulo rechnet kannst du für zwei polyonome f,g: f + p +g
> > > +p = f + g + p schreiben.
> > >
> > > Nun ist das ziemlich unmöglich alle Polyonome in dem
> > > obigen Körper anzugeben. Aber man kann sich eben helfen,
> > > weil sich jedes Polyonom in [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] eindeutig durch
> > > seinen Repräsentanten repräsentieren lässt.
> > > und das was ich oben geschrieben habe und dir nicht
> > klar
> > > ist, ist der Beweis dazu:
> > >
> > > Du kannst weil wir ja modulo p rechnen dir einfach mal ein
> > > beliebiges polynom f anschaun. Das teilst du mit rest durch
> > > p und erhälst eben eine darstellung:
> > > f = q*p +r wobei q,r [mm]\in \IZ_{2\IZ}[x][/mm] und
> > deg(r)<deg(p)=3
> > > (einfach polynomdivision mit rest)
> > > also hat ein beliebiges element in [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm]
> die
> > > form f + p mit f [mm]\in \IZ_{2\IZ}[x][/mm] ok?
> > >
> >
> > Hier hänge ich noch. Beispiel:
> >
> > [mm](x^{2}+x+1)/(x^{3}+x+1)=0[/mm]
> >
> > Rest: [mm]x^{2}+x+1[/mm]
> >
> > Also [mm]x^{2}+x+1 = 0*(x^{3}+x+1) + x^{2}+x+1[/mm]
> >
> > Woran erkennt man nun, dass f + p gilt?
>
> Das ist jetzt eher ein ungeschicktes beispiel weil [mm]x^2+x+1[/mm]
> ja ein repräsentant ist also logischerweise bei division
> durch p wieder das selbe polynom rauskommt.
>
> (Denke dran das wir in [mm]\IZ_{2\IZ}[/mm] sind. hier ist z.B. -2 =
> 1, -1= 2!!! )
>
> sei f= [mm]x^5+x+2,[/mm] dann gilt in [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] mit
> polynomdivion durch p
> f+p = [mm]x^2+x+2[/mm] +p
[mm] $(x^{5}+x+2)/(x^{3}+x+1)=x^{2}-1$
[/mm]
Rest: [mm] $-x^{2}+2x+3$
[/mm]
Wie kommst Du auf $f(x)+p(x) = [mm] x^{2}+x+2 [/mm] +p(x)$?
Außerdem:
Wieso ist -2 = 1 bzw. -1 = 2?
> Das + p sagt dir NUR das du modulo p rechnest also grob
> gesagt, dass du jedes polynom mit grad größer/gleich 3
> durch p division mit rest durch einen Repräsentanten also
> ein polynom mit grad kleiner 3 darstellen kannst. also ist
> in deinem beispiel [mm]x^2+x+1[/mm] + p schon diese reduzierte
> darstellung deswegen ist dein beispiel ungeschickt!
>
> > > also: f + p = f + p - 0 + p (einfach das Nullpolyom
> > > abgezogen, ändert ja nix) = f - 0 + p = f - q*p + p (q*p
> > > [mm]\conq[/mm] 0 mod p) = r + p, also lässt sich jedes polyonom in
> > > [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] durch einen repräsentanten r mit
> > > deg(r)<deg(p)=3 darstellen.
> >
> > Ich schreibe das mal sauber auf, weil es der Knackpunkt
> > ist:
> >
> > [mm]f(x) + p(x) = f(x) + p(x) - 0 + p(x) = f(x) - 0 + p(x) = ...[/mm]
>
> >
> > - Warum ziehst Du hier das Nullpolynom ab?
>
> damit ich dann 0 als ein vielfaches von p schreiben kann
> und das ist ja, da ich modulo p rechne wieder 0, weil ein
> vielfaches von p durch p geteilt rest 0 ergibt!!!
>
> Wenn ich dann q*p statt 0 schreibe kann ich meine
> darstellung von f benutzen nämlich:
>
> f=q*p+r also f - q*p = r!!!
>
> > - Die weiteren Schritte bei ... sind mir nicht klar. Wäre
> > cool wenn Du noch 1,2 Worte schreiben könntest, was es
> > damit auf sich hat.
>
> ich will ja zeigen das ich die polynome f durch r
> repräsentieren kann also schreibe ich solange um bis ich
> f-q*p dastehen habe um das durch r zu ersetzen.
>
>
Danke, sehr gut erklärt, jetzt habe sogar ich das verstanden! 
> > > Also musst du nur wissen wieviele polyonome vom grad
> > > kleiner 3 es in [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] gibt. die sind von der form
> > > [mm]ax^2[/mm] + bx^+ c also drei koeffizienten in [mm]\IZ_{2\IZ}[/mm] gibts
> > > nur zwei elemente also [mm]2^3[/mm] möglichkeiten die koeffizienten
> > > zu wählen also gibts 8 polyonome. die gibst du jetzt an,
> > > schreibst sie in eine multiplikationstabelle und legst
> > > eifrig los die miteinander zu multiplizieren musst aber
> > > eben dran denken, dass du immer mit dem polyonom p
> > > redzuieren musst. das bedeutet dass bei jeder
> > > multiplikation von zwei deiner 8 polyonome wieder eins von
> > > diesen rauskommen muss, wenn du jetzt zum beispiel [mm]x^2[/mm] + x
> > > mit [mm]x^2[/mm] + x + 1 multipliziert rechnest das einfach aus und
> > > gehst dann wie ichs oben erklärt hab mit polyonomdivision
> > > durch p vor und erhälst wieder eins von den acht
> > > polyonmen.. ist halt aweng aufwendig aber ich hab mir die
> > > aufgabe ja net ausgedacht. Und net vergessen der
> > > vollständigkeit halber schreibt man halt wenn man alle
> > > polyonome in [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] angeben muss hinter die acht
> > > polyonome aus [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] immer noch schön ein p
> > > dahinter... so ich hoffe nun ist es klar! viel erfolg
> > > beim nachrechnen
> >
> > 4 Polynome hattest Du ja schon genannt:
> >
> > [mm]x^2+x+1 + p,x^2 + p,x^2+x + p ,x^2+1 + p[/mm]
> >
> > Ich denke die 4 noch fehlenden Polynome sind dann:
> >
> > [mm]x+p, x+1+p, 1+p, 0[/mm]
>
> genau
>
> > Noch zu Deinem Beispiel für die Multiplikationstafel [mm]x^{2} + x[/mm]
> > multipliziert mit [mm]x^{2} + x + 1[/mm] ob ich es richtig
> > verstanden habe:
> >
> > [mm](x^{2} + x)*(x^{2} + x + 1)=x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x[/mm]
> >
> > Jetzt Polynomdivision durch [mm]p(x)\!\[/mm]:
> >
> > [mm](x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x)/(x^{3}+x+1)=x+2[/mm]
> >
> > Rest: [mm]x^{2}-2x-2[/mm]
>
> stimmt und jetzt bedenken, dass deine koeffizienten aus
> [mm]\IZ_{2\IZ}[/mm] sind also ist -2 = 1 und dein polynom schaut
> plötzlich bekannt aus!
>
> > Dieses Ergebnis kann doch aber nicht stimmen, da es mit
> > keinem der 8 Polynome übereinstimmt?
> >
> eben schon!
>
> > Noch eine Frage zur Charakteristik: die ist bei beiden
> > Teilaufgaben 2, oder?
> >
> ja weil [mm]\IZ_{2\IZ}[/mm] der primkörper ist!
>
> > > sry für die tippfehler die such ich jetzt nimmer
> >
> > Passt schon, wir sind ja keine Germanisten.
> >
> > Gruß
> > el_grecco
> >
> Grüße
Wenn die zwei oberen Punkte geklärt sind, sollte die Aufgabe dann endlich erledigt sein (die Richtigkeit der Multiplikationstafel kann ich ja selbst überprüfen).
Danke nochmal für Deine Hilfe!
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 So 24.06.2012 | | Autor: | teo |
> Wir versuchen ein paar endliche Körper mit [mm]\IZ_{2}[/mm] zu
> konstruieren.
>
> a) Geben Sie die Multiplikationstafel für [mm]\IZ_{2}[x]/q[/mm] mit
> [mm]q(x)=x^{3}+x+1[/mm] an!
>
> Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
> Was ist die Charakteristik davon?
> Ist dies ein Körper?
>
> b) Geben Sie die Multiplikationstafel für [mm]\IZ_{2}[x]/r[/mm] mit
> [mm]r(x)=x^{2}+1[/mm] an!
>
> Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
> Was ist die Charakteristik davon?
> Ist dies ein Körper?
> Hallo teo,
>
> Danke nochmal für Deine Unterstützung!
> Es sind jetzt im Grunde nur noch zwei Kleinigkeiten:
>
> > > > > > > > Sei [mm]f(x) \in \IZ_2[x][/mm] und [mm]p(x) = x^3+x+1 [/mm]. Du betrachtest
> > > > > > > > das wie ganz normale Restklassen halt nur mit Polynomen:
> > > > > > > >
> > > > > > > > Der euklidische Algorithmus liefert eine Darstellung:
> > > > > > > >
> > > > > > > > f(x) = q(x)p(x) + r(x) mit deg(r) < 3. Soweit sollte es
> > > > > > > > noch klar sein oder?
> > > > > > > >
> > > > > > > > Betrachte nun:
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]f(x) + p = f(x) +p - 0 + p = f(x) + p - q(x)p(x) + p = f(x) - q(x)p(x) + p = r(x) + p[/mm]
> > > > > > > > Du rechnest also immer modulo dem Polynom p!
> > > > > > > >
> > > > >
> > > > > Die Zeile darüber ist mir leider noch immer nicht klar.
> > > > > Wie kommst Du auf diese Umformungen bzw. was bedeuten sie?
> > > >
> > > > Hier rechne ich einfach per Hand die Repräsentanten des
> > > > Restklassenrings aus! Du kannst das aber auch sein lassen
> > > > und die Anzahl der Elemente direkt mit dem Strukursatz für
> > > > endliche Körper angeben.
> > > > http://www.math.uzh.ch/index.php?file&key1=11924,
> > > >
> > > > bringt dir nur wenig weil du ja die Elemente in
> > > > [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] brauchst, also hilfts nix und hier er
> > > > nochmal eine Erklärung für das was ich da oben gemacht
> > > > habe: Wir haben den Polyonomring [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] und rechnen
> > > > modulo p. Das bedeutet doch eigentlich anschaulich, dass du
> > > > zu jedem Polyonom in [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] das Polynom p dazutun.
> > > > Also zum Beispiel unten: [mm]x^2+x+1[/mm] und nun eben noch plus p.
> > > > Das habe ich unten ja immer gemacht. Und weil man ja immer
> > > > modulo rechnet kannst du für zwei polyonome f,g: f + p +g
> > > > +p = f + g + p schreiben.
> > > >
> > > > Nun ist das ziemlich unmöglich alle Polyonome in dem
> > > > obigen Körper anzugeben. Aber man kann sich eben helfen,
> > > > weil sich jedes Polyonom in [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] eindeutig durch
> > > > seinen Repräsentanten repräsentieren lässt.
> > > > und das was ich oben geschrieben habe und dir
> nicht
> > > klar
> > > > ist, ist der Beweis dazu:
> > > >
> > > > Du kannst weil wir ja modulo p rechnen dir einfach mal ein
> > > > beliebiges polynom f anschaun. Das teilst du mit rest durch
> > > > p und erhälst eben eine darstellung:
> > > > f = q*p +r wobei q,r [mm]\in \IZ_{2\IZ}[x][/mm] und
> > > deg(r)<deg(p)=3
> > > > (einfach polynomdivision mit rest)
> > > > also hat ein beliebiges element in
> [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm]
> > die
> > > > form f + p mit f [mm]\in \IZ_{2\IZ}[x][/mm] ok?
> > > >
> > >
> > > Hier hänge ich noch. Beispiel:
> > >
> > > [mm](x^{2}+x+1)/(x^{3}+x+1)=0[/mm]
> > >
> > > Rest: [mm]x^{2}+x+1[/mm]
> > >
> > > Also [mm]x^{2}+x+1 = 0*(x^{3}+x+1) + x^{2}+x+1[/mm]
> > >
> > > Woran erkennt man nun, dass f + p gilt?
> >
> > Das ist jetzt eher ein ungeschicktes beispiel weil [mm]x^2+x+1[/mm]
> > ja ein repräsentant ist also logischerweise bei division
> > durch p wieder das selbe polynom rauskommt.
> >
> > (Denke dran das wir in [mm]\IZ_{2\IZ}[/mm] sind. hier ist z.B. -2 =
> > 1, -1= 2!!! )
> >
> > sei f= [mm]x^5+x+2,[/mm] dann gilt in [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] mit
> > polynomdivion durch p
> > f+p = [mm]x^2+x+2[/mm] +p
>
> [mm](x^{5}+x+2)/(x^{3}+x+1)=x^{2}-1[/mm]
>
> Rest: [mm]-x^{2}+2x+3[/mm]
>
> Wie kommst Du auf [mm]f(x)+p(x) = x^{2}+x+2 +p(x)[/mm]?
ja das stimmt da hab ich mich verrechnet.. deine Koeffizienten sind aus [mm] \IZ_{2\IZ} [/mm] = {0,1} -> da gilt doch immer ... -3 = 1 -2 = 0 -1 = 1 0 = 0 1=1, 2 = 0 3 = 1 etc..
> Außerdem:
> Wieso ist -2 = 1 bzw. -1 = 2?
sry da war ich wohl in [mm] \ZI_{3\IZ} [/mm]
das polynom ist dann also nicht [mm] -x^2+2x+3 [/mm] sondern [mm] x^2+1...
[/mm]
> > Das + p sagt dir NUR das du modulo p rechnest also grob
> > gesagt, dass du jedes polynom mit grad größer/gleich 3
> > durch p division mit rest durch einen Repräsentanten also
> > ein polynom mit grad kleiner 3 darstellen kannst. also ist
> > in deinem beispiel [mm]x^2+x+1[/mm] + p schon diese reduzierte
> > darstellung deswegen ist dein beispiel ungeschickt!
> >
> > > > also: f + p = f + p - 0 + p (einfach das Nullpolyom
> > > > abgezogen, ändert ja nix) = f - 0 + p = f - q*p + p (q*p
> > > > [mm]\conq[/mm] 0 mod p) = r + p, also lässt sich jedes polyonom in
> > > > [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] durch einen repräsentanten r mit
> > > > deg(r)<deg(p)=3 darstellen.
> > >
> > > Ich schreibe das mal sauber auf, weil es der Knackpunkt
> > > ist:
> > >
> > > [mm]f(x) + p(x) = f(x) + p(x) - 0 + p(x) = f(x) - 0 + p(x) = ...[/mm]
>
> >
> > >
> > > - Warum ziehst Du hier das Nullpolynom ab?
> >
> > damit ich dann 0 als ein vielfaches von p schreiben kann
> > und das ist ja, da ich modulo p rechne wieder 0, weil ein
> > vielfaches von p durch p geteilt rest 0 ergibt!!!
> >
> > Wenn ich dann q*p statt 0 schreibe kann ich meine
> > darstellung von f benutzen nämlich:
> >
> > f=q*p+r also f - q*p = r!!!
> >
> > > - Die weiteren Schritte bei ... sind mir nicht klar. Wäre
> > > cool wenn Du noch 1,2 Worte schreiben könntest, was es
> > > damit auf sich hat.
> >
> > ich will ja zeigen das ich die polynome f durch r
> > repräsentieren kann also schreibe ich solange um bis ich
> > f-q*p dastehen habe um das durch r zu ersetzen.
> >
> >
>
> Danke, sehr gut erklärt, jetzt habe sogar ich das
> verstanden!
>
> > > > Also musst du nur wissen wieviele polyonome vom grad
> > > > kleiner 3 es in [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] gibt. die sind von der form
> > > > [mm]ax^2[/mm] + bx^+ c also drei koeffizienten in [mm]\IZ_{2\IZ}[/mm] gibts
> > > > nur zwei elemente also [mm]2^3[/mm] möglichkeiten die koeffizienten
> > > > zu wählen also gibts 8 polyonome. die gibst du jetzt an,
> > > > schreibst sie in eine multiplikationstabelle und legst
> > > > eifrig los die miteinander zu multiplizieren musst aber
> > > > eben dran denken, dass du immer mit dem polyonom p
> > > > redzuieren musst. das bedeutet dass bei jeder
> > > > multiplikation von zwei deiner 8 polyonome wieder eins von
> > > > diesen rauskommen muss, wenn du jetzt zum beispiel [mm]x^2[/mm] + x
> > > > mit [mm]x^2[/mm] + x + 1 multipliziert rechnest das einfach aus und
> > > > gehst dann wie ichs oben erklärt hab mit polyonomdivision
> > > > durch p vor und erhälst wieder eins von den acht
> > > > polyonmen.. ist halt aweng aufwendig aber ich hab mir die
> > > > aufgabe ja net ausgedacht. Und net vergessen der
> > > > vollständigkeit halber schreibt man halt wenn man alle
> > > > polyonome in [mm]\IZ_{2\IZ}[x]/p[/mm] angeben muss hinter die acht
> > > > polyonome aus [mm]\IZ_{2\IZ}[x][/mm] immer noch schön ein p
> > > > dahinter... so ich hoffe nun ist es klar! viel erfolg
> > > > beim nachrechnen
> > >
> > > 4 Polynome hattest Du ja schon genannt:
> > >
> > > [mm]x^2+x+1 + p,x^2 + p,x^2+x + p ,x^2+1 + p[/mm]
> > >
> > > Ich denke die 4 noch fehlenden Polynome sind dann:
> > >
> > > [mm]x+p, x+1+p, 1+p, 0[/mm]
> >
> > genau
> >
> > > Noch zu Deinem Beispiel für die Multiplikationstafel [mm]x^{2} + x[/mm]
> > > multipliziert mit [mm]x^{2} + x + 1[/mm] ob ich es richtig
> > > verstanden habe:
> > >
> > > [mm](x^{2} + x)*(x^{2} + x + 1)=x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x[/mm]
> > >
>
> > > Jetzt Polynomdivision durch [mm]p(x)\!\[/mm]:
> > >
> > > [mm](x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x)/(x^{3}+x+1)=x+2[/mm]
> > >
> > > Rest: [mm]x^{2}-2x-2[/mm]
> >
> > stimmt und jetzt bedenken, dass deine koeffizienten aus
> > [mm]\IZ_{2\IZ}[/mm] sind also ist -2 = 1 und dein polynom schaut
> > plötzlich bekannt aus!
> >
> > > Dieses Ergebnis kann doch aber nicht stimmen, da es mit
> > > keinem der 8 Polynome übereinstimmt?
> > >
> > eben schon!
> >
> > > Noch eine Frage zur Charakteristik: die ist bei beiden
> > > Teilaufgaben 2, oder?
> > >
> > ja weil [mm]\IZ_{2\IZ}[/mm] der primkörper ist!
> >
> > > > sry für die tippfehler die such ich jetzt nimmer
> > >
> > > Passt schon, wir sind ja keine Germanisten.
> > >
> > > Gruß
> > > el_grecco
> > >
> > Grüße
>
> Wenn die zwei oberen Punkte geklärt sind, sollte die
> Aufgabe dann endlich erledigt sein (die Richtigkeit der
> Multiplikationstafel kann ich ja selbst überprüfen).
> Danke nochmal für Deine Hilfe!
>
> Gruß
> el_grecco
>
grüße
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| Aufgabe | Wir versuchen ein paar endliche Körper mit $ [mm] \IZ_{2} [/mm] $ zu konstruieren.
a) Geben Sie die Multiplikationstafel für $ [mm] \IZ_{2}[x]/q [/mm] $ mit $ [mm] q(x)=x^{3}+x+1 [/mm] $ an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper?
b) Geben Sie die Multiplikationstafel für $ [mm] \IZ_{2}[x]/r [/mm] $ mit $ [mm] r(x)=x^{2}+1 [/mm] $ an!
Wieviele verschiedene Elemente gibt es?
Was ist die Charakteristik davon?
Ist dies ein Körper? |
Hallo teo,
nachdem ich die Musterlösung gelesen habe, habe ich nochmal eine Frage zur Argumentation ob Körper oder nicht Körper (hoffe Du siehst das und hast Interesse noch einmal zu helfen ).
Musterlösung:
a)
[mm] $\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c}
\cdot_{q} & 0 & 1 & x & x+1 & x^{2} & x^{2}+1 & x^{2}+x & x^{2}+x+1\\
\hline
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\hline
1 & 0 & 1 & x & x+1 & x^{2} & x^{2}+1 & x^{2}+x & x^{2}+x+1\\
\hline
x & 0 & x & x^{2} & x^{2}+x & x+1 & 1 & x^{2}+x+1 & x^{2}+1\\
\hline
x+1 & 0 & x+1 & x^{2}+x & x^{2}+1 & x^{2}+x+1 & x^{2} & 1 & x\\
\hline
x^{2} & 0 & x^{2} & x+1 & x^{2}+x+1 & x^{2}+x & x & x^{2}+1 & 1\\
\hline
x^{2}+1 & 0 & x^{2}+1 & 1 & x^{2} & x & x^{2}+x+1 & x+1 & x^{2}+x\\
\hline
x^{2}+x & 0 & x^{2}+x & x^{2}+x+1 & 1 & x^{2}+1 & x+1 & x & x^{2}\\
\hline
x^{2}+x+1 & 0 & x^{2}+x+1 & x^{2}+1 & x & 1 & x^{2}+x & x^{2} & x+1\\
\end{array}$
[/mm]
Wie man an der Multiplikationstafel sieht, ist dies ein Körper. Dies war zu erwarten, da [mm] $q(x)\!\$ [/mm] über [mm] $\IZ_{2}$ [/mm] ein irreduzibles Polynom ist.
b)
[mm] $\begin{array}{c||c|c|c|c}
\cdot_{r} & 0 & 1 & x & x+1\\
\hline
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\hline
1 & 0 & 1 & x & x+1\\
\hline
x & 0 & x & 1 & x+1\\
\hline
x+1 & 0 & x+1 & x+1 & 0\\
\end{array}$
[/mm]
Kein Körper, da nicht nullteilerfrei: [mm] $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1 \equiv x^{2}+1 \equiv [/mm] 0$
Probleme:
- Zur a): Ich habe mir die Definition eines irreduziblen Polynoms angeschaut, aber ich verstehe sie nicht bzw. kann die Musterlösung nicht nachvollziehen. Warum interessiert man sich dafür, ob nur [mm] $q(x)\!\$ [/mm] irreduzibel ist und woran erkennt man die Gültigkeit dieser Eigenschaft in der Tabelle?
- Zur b): Ich denke mal das bedeutet "Da nicht nullteilerfrei, folglich nicht irreduzibel und damit auch kein Körper". Aber warum wurde hier so vorgegangen und was hat es mit der Kongruenz auf sich?
Auf jeden Fall vielen Dank für Deine Mühe!
Gruß
el_grecco
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Hallo teo,
meine Gebete wurden erhört!
> Du musst wissen, dass [mm]\IZ_2[x][/mm] als Polynomring in einer
> Unbestimmten über dem Körper [mm]\IZ_2[/mm] ein Hauptidealbereich
> ist. Nun gilt in einem Hauptidealbereich: Jedes irreduzible
> Element ist prim, die Primideale [mm]\neq[/mm] 0 sind genau die
> durch irreduziblen Elemente erzeugten Ideale und jedes
> Primideal ist ein maximales Ideal. Und für einen
> Integritätsring R gilt R/I ist ein Körper genau dann wenn
> I ein maximales Ideal ist.
Ich muss ehrlich sagen, dass ich kein Wort verstanden habe (bin kein Mathe-Student und das geht auch über die Vorlesung hinaus)...
Daher besser der praktische Weg.
Anscheinend gilt: wenn der Divisor (in [mm] $\IZ_{2}[x]/q$ [/mm] bzw. in [mm] $\IZ_{2}[x]/r$) [/mm] ein irreduzibles Polynom ist, dann liegt ein Körper vor, sonst nicht. Aber wie geht man "kochrezeptmäßig" bei der Überprüfung auf "irreduzibel ja/nein?" vor, wenn man eine Tabelle vorliegen hat (Dank Deiner Hilfe kann ich die Tabellen problemlos erstellen, aber das "irreduzibel ja/nein?" würde mich Stand jetzt in der Klausur Punkte kosten)?
Danke Dir!
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 So 15.07.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
also Stichworte zum Thema Nachweis von Irreduzibilität sind: Eisenstein, Satz von Gauß, Koeffizientenreduktion...
Aber für den Fall, dass du in einem endlichen Körper bist reicht es bei Polynomen bis einschließlich Grad 3 zu zeigen, dass sie keine Nullstellen über dem Körper haben. Also einfach die paar Elemente, die du in dem Körper hast einsetzen und ausprobieren.
Hast du ein Polynom vom Grad größer als 3 musst du zeigen, dass dieses sich nicht als Produkt irreduzibler Polynome schreiben lässt. D.h. du musst für ein Polynom vom Grad 4 in [mm] \IZ_2[x] [/mm] die irreduziblen Polynome vom Grad 2 kennen. und dann einfach zeigen, dass diese als Produkt nicht dein gegebenes Polynom liefern... Analog dann für größere Körper, da gibts dann halt nur mehr entsprechende Polynome....
hoffe das hilft.
Vlt. habt ihr in der bib das buch: "Algebra leichter gemacht" Lösungsvorschläge zu Aufgaben des Ersten Staatsexamens für das Lehramt an Gymnasien" von Martina Kraupner
da gibts super viele gelöste aufgaben.....
grüße
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