Endomorphismen, Automorphismen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Di 27.11.2012 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | hallihallo :)
wie immer habe ich eine Aufgabe und wie immer habe ich Probleme mit der :(
Sei G eine Gruppe. Man zeige:
1. Die Abbildung f : G → G mit f(a) = [mm] a^{2} [/mm] ist genau dann ein Endomorphismus,
wenn G kommutativ ist.
2. Die Abbildung f : G → G mit f(a) = [mm] a^{-1} [/mm] ist genau dann ein Automorphismus,
wenn G kommutativ ist. |
Meine Ueberlegung:
1) Erst muss ich zeigen dass die Abb Homomorphismus ist:
Sei f : G → G mit f(a) = [mm] a^{2} [/mm] Homomorphismus
=>f(a [mm] \circ [/mm] b) = f(a) [mm] \circ [/mm] f(b)
nach Def => (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b) = (a [mm] \circ [/mm] a) [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] b)
=> (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b) = a [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] b)
=>(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b) = (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b)
Sei G kommutativ => (a [mm] \circ [/mm] b) = (b [mm] \circ [/mm] a) => f(a) [mm] \circ [/mm] f(b) = f(b) [mm] \circ [/mm] f(a)
=>f (a [mm] \circ [/mm] b) = f(b) [mm] \circ [/mm] f(a)
=>f (a [mm] \circ [/mm] b) = f(a) [mm] \circ [/mm] f(b)
2) Sei f(a) = [mm] a^{-1} [/mm] ein bijektiver Homomorphismus von G → G
f(a) = [mm] a^{-1} (\forall [/mm] a : [mm] \exists a^{-1} [/mm] : a [mm] \circ a^{-1} [/mm] = e [mm] \in [/mm] G und [mm] \forall a^{-1} [/mm] : [mm] \exists [/mm] a : [mm] a^{-1} \circ [/mm] a = e [mm] \in [/mm] G)
=>f(a [mm] \circ a^{-1}) [/mm] = f(a) [mm] \circ f(a^{-1})
[/mm]
f(e) = [mm] (a^{-1}) \circ [/mm] a => e=e
Sei G kommutativ => a [mm] \circ a^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1} \circ [/mm] a
=>f(a) [mm] \circ [/mm] f( [mm] a^{-1}) [/mm] = f( [mm] a^{-1} \circ [/mm] f(a)
=> [mm] a^{-1} \circ [/mm] a = a [mm] \circ a^{-1}
[/mm]
Leute ich braeuchte dringend ihre Hilfe. Koennt ihr mir sagen ob ich die Aufgabe richtig geloest habe??
Danke im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Di 27.11.2012 | | Autor: | wieschoo |
Grundsätzlich schreibt i.A. man das anders auf.
[mm]f(a\circ b)=\ldots =f(a)f(b)[/mm]
Für Kommutativität
[mm] $f(a)f(b)=\ldots [/mm] = f(b)f(a)$
Wobei ich es in letzter Zeit öfters so sehe. Kann auch sein, dass ich das zu genau nehme...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Di 27.11.2012 | | Autor: | Melisa |
Danke Wieschoo,
aber was ich geschrieben habe ist das falsch?? Ich meine die Aufgabe :)
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> hallihallo :)
Moin,
ich bin jetzt ein wenig kleinlich. Das ist nicht böse gemeint.
> wie immer habe ich eine Aufgabe und wie immer habe ich
> Probleme mit der :(
> Sei G eine Gruppe. Man zeige:
> 1. Die Abbildung f : G → G mit f(a) = [mm]a^{2}[/mm] ist genau
> dann ein Endomorphismus,
> wenn G kommutativ ist.
> 2. Die Abbildung f : G → G mit f(a) = [mm]a^{-1}[/mm] ist genau
> dann ein Automorphismus,
> wenn G kommutativ ist.
> Meine Ueberlegung:
> 1) Erst muss ich zeigen dass die Abb Homomorphismus ist:
> Sei f : G → G mit f(a) = [mm]a^{2}[/mm] Homomorphismus
> =>f(a [mm]\circ[/mm] b) = f(a) [mm]\circ[/mm] f(b)
Du hast sogar einen Endomorphismus
"Sei [mm]f\colon G\to G[/mm] ein Endomorphismus mit [mm]f(a)=a^2[/mm]. Wir/Man/Ich zeig(en/t/e), dass für alle [mm] $g,h\in [/mm] G$ gilt $gh=hg$. Sei also [mm] $g,h\in [/mm] G$ beliebig. Dann ....
> nach Def => (a [mm]\circ[/mm] b) [mm]\circ[/mm] (a [mm]\circ[/mm] b) = (a [mm]\circ[/mm] a)
> [mm]\circ[/mm] (b [mm]\circ[/mm] b)
> => (a [mm]\circ[/mm] b) [mm]\circ[/mm] (a [mm]\circ[/mm] b) = a [mm]\circ[/mm] (a [mm]\circ[/mm] b)
> [mm]\circ[/mm] b)
> =>(a [mm]\circ[/mm] b) [mm]\circ[/mm] (a [mm]\circ[/mm] b) = (a [mm]\circ[/mm] b) [mm]\circ[/mm] (a
> [mm]\circ[/mm] b)
Das ist falsch aufgeschrieben.
Analog könnte ich beweisen:
Alle Primzahlen sind gerade!
=> alle Zahlen, die keine Primzahl sind, sind ungerade
=> da 9 keine Primzahl ist, ist 9 ungerade w.A.
Also sind alle Primzahlen gerade?!
>
> Sei G kommutativ => (a [mm]\circ[/mm] b) = (b [mm]\circ[/mm] a) => f(a) [mm]\circ[/mm]
Für alle! a,b gilt das.
> f(b) = f(b) [mm]\circ[/mm] f(a)
> =>f (a [mm]\circ[/mm] b) = f(b) [mm]\circ[/mm] f(a)
> =>f (a [mm]\circ[/mm] b) = f(a) [mm]\circ[/mm] f(b)
Du meinst sehr wahrscheinlich das Richtige. Doch auch hier schreibt man das nicht so!
Wie in meiner Mitteilung, formt man EINE Seite solange um, bis es dasteht.
[mm]f(a\circ b)=\ldots \overset{ab=ba}{=}\ldots = f(a)\circ f(b)[/mm]
Da hat auch nichts mit Stil zu tun. Das ist einfach falsch aufgeschrieben. Doch man kann nur leider das bewerten, was aufgeschrieben wurde.
>
>
>
> 2) Sei f(a) = [mm]a^{-1}[/mm] ein bijektiver Homomorphismus von G
> → G
> f(a) = [mm]a^{-1} (\forall[/mm] a : [mm]\exists a^{-1}[/mm] : a [mm]\circ a^{-1}[/mm]
> = e [mm]\in[/mm] G und [mm]\forall a^{-1}[/mm] : [mm]\exists[/mm] a : [mm]a^{-1} \circ[/mm] a
> = e [mm]\in[/mm] G)
Diese beiden Zeilen stimmen für alle Gruppen
> =>f(a [mm]\circ a^{-1})[/mm] = f(a) [mm]\circ f(a^{-1})[/mm]
Diese Zeile folgt NICHT unmittelbar aus den oberen Zeilen. Das folgt aus der Eigenschaft ein Homomorphismus zu sein.
> f(e) =
> [mm](a^{-1}) \circ[/mm] a => e=e
>
Das ist recht Eigenartig. Ohne irgendetwas zu zeigen, kann man die Aufgabe abschreiben und hat schon fast alles stehn:
Sei [mm]f\colon G\to G[/mm] mit [mm]f(a)=a^{-1}[/mm] ein Automorphismus. Ich/Man/Wir zeige/t/en:
Für alle [mm]g,h\in G[/mm] gilt [mm]g\circ h=h\circ g[/mm]. Also sei [mm]g,h\in G[/mm]. Dann ist
[mm]g\circ h= \ldots \overset{f\text{ ist HM}}{=} \ldots = h\circ g[/mm]
> Sei G kommutativ => a [mm]\circ a^{-1}[/mm] = [mm]a^{-1} \circ[/mm] a
> =>f(a) [mm]\circ[/mm] f( [mm]a^{-1})[/mm] = f( [mm]a^{-1} \circ[/mm] f(a)
> => [mm]a^{-1} \circ[/mm] a = a [mm]\circ a^{-1}[/mm]
>
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> Leute ich braeuchte dringend ihre Hilfe. Koennt ihr mir
> sagen ob ich die Aufgabe richtig geloest habe??
> Danke im Voraus
>
Gruß
wieschoo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Di 27.11.2012 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | > "Sei [mm]f\colon G\to G[/mm] ein Endomorphismus mit [mm]f(a)=a^2[/mm].
> Wir/Man/Ich zeig(en/t/e), dass für alle [mm]g,h\in G[/mm] gilt
> [mm]gh=hg[/mm]. Sei also [mm]g,h\in G[/mm] beliebig. Dann .... |
muss ich hier nur Kommutativitaet zeigen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:27 Mi 28.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Zeigen sollst Du: gh=hg für alle g,h [mm] \in [/mm] G
Es ist [mm] f(gh)=(gh)^2=ghgh [/mm] und [mm] f(gh)=f(g)f(h)=g^2*h^2
[/mm]
Zeige nun, dass aus [mm] ghgh=g^2h^2 [/mm] folgt: gh=hg
FRED
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