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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:48 Di 13.05.2008 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | Sei [tex] V [/tex] ein Vektorraum mit [tex] dim(V) \le \infty [/tex] und [tex] F \in End(V) [/tex]. Zeige, dass es eine natürliche Zahl [tex] n_{0} [/tex] gibt, so dass für alle [tex] n \ge n_{0} [/tex] gilt: [tex] ker(F^{n}) = ker(F^{n_{0}}) [/tex].
Gib ferner einen (unendlichdimensionalen) Vektorraum [tex] F [/tex] und ein [tex] F \in End(V)[/tex] an, für die obige Aussage nicht funktioniert. |
Aloha hé,
bei obiger Aufgabe, habe ich mir schon einige Gedanken gemacht, weiß aber nicht, ob das schon reicht, oder ob das schlüssige Argument noch fehlt:
Wenn ich den Kern eines Endomorphismus betrachte, dann enthält dieser alle Elemente aus [tex] V [/tex], die auf den Nullvektor abgebildet werden, also:
[tex] ker(F) = \{ v \in V | F(v) = 0 \} [/tex].
Wenn ich [tex] F [/tex] zwei mal hintereinander ausführe, wird der gern größer, mindestens aber gleichgroß bleiben. Neben den Elementen, die [tex] F [/tex] auf die Null abbildet, werden ja auch jene Elemente auf Null geworfen, die unter vorheriger Anwendung von [tex] F [/tex] bereits Null geworden sind (wegen der K-Linearität von [tex] F [/tex]).
Ich erhalte also eine Kette:
[tex] ker(F) \subseteq ker(F^{2}) \subseteq ker(F^{3}) \subseteq ... [/tex].
Der Kern wird also mit jeder Abbildung immer größer, bis für irgendein [tex] m \in \IN [/tex] gerade der gesamte Körper [tex] V [/tex] im Kern liegt. Dieser Wert [tex] m [/tex] ist dann mein [tex] n_{0} [/tex], denn wenn
[tex] V \in ker(F^{m} [/tex] bedeutet das [tex] F^{m}(v)=0 \forall v \in V [/tex]. Wenn ich also [tex]F^{m+1} [/tex] betrachten will, kann ich es auseinanderziehen:
[tex]F^{m+1}(v) = F(F^{m}(v) = F(0) = 0 [/tex].
Somit hätte ich das gezeigt. Zumindest bilde ich es mir ein. Da mir das ansich sehr plausibel ist, fällt es mir umso schwerer, das ganze aufzuschreiben. Vielleicht hat ja einer noch einen berechtigen Einwand für mich auf Lager.
Mit dem Gegenbeispiel ist das so eine Sache. Da ich bislang noch nicht mich unendlichdimensionalen Vektorräumen gearbeitet habe, bin ich da schlichtweg überfragt.
Kurzzeitig nahm ich an, dass [tex] F = id_{V} [/tex] mein gesuchtes Gegenbeispiel sein könnte, bis ich feststellte, dass die Identität die obige Vorraussetzung ganz hervorragend erfüllt (im Falle der Identität ist [tex] n_{0} [/tex] wohl gerade 1).
Auf eine andere Idee für ein Gegenbeispiel kam ich aus meinem Uralt Algebra-Buch:
Wenn [tex] V [/tex] unendlich-dimensional wäre (wie auch immer sowas aussieht) und mein Endomorphismus [tex]F [/tex] sich gerade als nilpotente-Matrix schreiben lässt, dann gilt gerade (wenn ich [tex] F [/tex] bzgl. der Einheitsbasis darstelle):
[tex] ker(F) = [/tex]
[tex] ker(F^{2}) = [/tex]
...
[tex] ker(F^{n}) = [/tex]
Wenn aber [tex] V [/tex] unendlich-dimensional ist, so müsste [tex] V [/tex] auch unendlich viele Basiselemente besitzen, und somit wäre die Existenz eines [tex] n_{0} [/tex] für diesen Fall ausgeschlossen.
Gerade letzteres wirkt für mich ein wenig 'zu schön um wahr zu sein'. Zumal ich gar keinen unendlichdimensionalen Vektorraum angeben kann, wirkt es auf mich, als sei ich von der eigentlich Lösung noch sehr weit entfernt.
Vielleicht hat ja jemand eine Glühbirne für mich.
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich die Nacht über noch etwas mit unendlichdimensionalen Vektorräumen beschäftigen wird.
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> Sei [tex]V[/tex] ein Vektorraum mit [tex] dim(V) \red{\le} \infty[/tex] und [tex]F \in End(V) [/tex].
Effektiv scheint $dim(V) [mm] \red{<} \infty$ [/mm] gemeint zu sein.
> Zeige, dass es eine natürliche Zahl [tex]n_{0}[/tex] gibt, so dass für
> alle [tex]n \ge n_{0}[/tex] gilt: [tex]ker(F^{n}) = ker(F^{n_{0}}) [/tex].
> Gib
> ferner einen (unendlichdimensionalen) Vektorraum [tex]F[/tex] und ein
> [tex]F \in End(V)[/tex] an, für die obige Aussage nicht funktioniert.
> Aloha hé,
>
> bei obiger Aufgabe, habe ich mir schon einige Gedanken
> gemacht, weiß aber nicht, ob das schon reicht, oder ob das
> schlüssige Argument noch fehlt:
>
> Wenn ich den Kern eines Endomorphismus betrachte, dann
> enthält dieser alle Elemente aus [tex]V [/tex], die auf den Nullvektor
> abgebildet werden, also:
>
> [tex]ker(F) = \{ v \in V | F(v) = 0 \} [/tex].
>
> Wenn ich [tex]F[/tex] zwei mal hintereinander ausführe, wird der gern
> größer, mindestens aber gleichgroß bleiben. Neben den
> Elementen, die [tex]F[/tex] auf die Null abbildet, werden ja auch jene
> Elemente auf Null geworfen, die unter vorheriger Anwendung
> von [tex]F[/tex] bereits Null geworden sind (wegen der K-Linearität
> von [tex]F [/tex]).
>
> Ich erhalte also eine Kette:
>
> [tex]ker(F) \subseteq ker(F^{2}) \subseteq ker(F^{3}) \subseteq ... [/tex].
>
> Der Kern wird also mit jeder Abbildung immer größer,
Nein, dies nicht notwendigerweise: aber jedenfalls wird er nicht kleiner.
> bis
> für irgendein [tex]m \in \IN[/tex] gerade der gesamte Körper [tex]V[/tex] im Kern
> liegt.
Auch nicht ganz richtig. Erstens ist $V$ kein Körper sondern ein Vektorraum und zweitens braucht der Kern nicht so gross wie ganz $V$ zu werden. Aber: wird der Kern echt grösser, dann erhöht sich seine Dimension mindestens um 1. Da $V$ endlichdimensional ist (entgegen der von Dir angegebenen Aufgabenstellung!) kann dies nicht beliebig oft der Fall sein. Sobald der Kern gleich bleibt, hast Du die gesuchte Iteration [mm] $n_0$ [/mm] erreicht.
> Dieser Wert [tex]m[/tex] ist dann mein [tex]n_{0} [/tex], denn wenn
>
> [tex]V \in ker(F^{m}[/tex] bedeutet das [tex]F^{m}(v)=0 \forall v \in V [/tex].
> Wenn ich also [tex]F^{m+1}[/tex] betrachten will, kann ich es
> auseinanderziehen:
> [tex]F^{m+1}(v) = F(F^{m}(v) = F(0) = 0 [/tex].
>
> Somit hätte ich das gezeigt. Zumindest bilde ich es mir
> ein. Da mir das ansich sehr plausibel ist, fällt es mir
> umso schwerer, das ganze aufzuschreiben. Vielleicht hat ja
> einer noch einen berechtigen Einwand für mich auf Lager.
>
> Mit dem Gegenbeispiel ist das so eine Sache. Da ich bislang
> noch nicht mich unendlichdimensionalen Vektorräumen
> gearbeitet habe, bin ich da schlichtweg überfragt.
>
> Kurzzeitig nahm ich an, dass [tex]F = id_{V}[/tex] mein gesuchtes
> Gegenbeispiel sein könnte, bis ich feststellte, dass die
> Identität die obige Vorraussetzung ganz hervorragend
> erfüllt (im Falle der Identität ist [tex]n_{0}[/tex] wohl gerade 1).
>
> Auf eine andere Idee für ein Gegenbeispiel kam ich aus
> meinem Uralt Algebra-Buch:
Nichts gegen uralte Bücher, aber vielleicht kennst Du ja einen Folgenraum wie [mm] $\IR^{\IN}$ [/mm] als unendlich-dimensionalen Vektorraum. Als $F$ könntest Du dann die "Shift"-Abbildung verwenden, die einer Folge [mm] $(x_n)_{n\in \IN}$ [/mm] die Folge [mm] $(x'_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit $x'_0=0$ und [mm] $x'_{n+1}=x_n$ [/mm] zuordnet. Der Kern dieser Abbildung wird, glaube ich, bei jeder Iteration um 1 grösser.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:59 Di 13.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen!
> > Der Kern wird also mit jeder Abbildung immer größer,
>
> Nein, dies nicht notwendigerweise: aber jedenfalls wird er
> nicht kleiner.
>
> > bis
> > für irgendein [tex]m \in \IN[/tex] gerade der gesamte Körper [tex]V[/tex] im Kern
> > liegt.
>
> Auch nicht ganz richtig.
Das beste Gegenbeispiel hat Lary selber genannt: die Identitaet. Der Kern von [mm] $id^n$ [/mm] ist immer noch [mm] $\{ 0 \}$, [/mm] also nie ganz $V$ (es sei denn $V$ ist 0-dimensional, aber dann ist die ganze Aufgabe eh langweilig).
> > Auf eine andere Idee für ein Gegenbeispiel kam ich aus
> > meinem Uralt Algebra-Buch:
>
> Nichts gegen uralte Bücher, aber vielleicht kennst Du ja
> einen Folgenraum wie [mm]\IR^{\IN}[/mm] als unendlich-dimensionalen
> Vektorraum. Als [mm]F[/mm] könntest Du dann die "Shift"-Abbildung
> verwenden, die einer Folge [mm](x_n)_{n\in \IN}[/mm] die Folge
> [mm](x'_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x'_0=0[/mm] und [mm]x'_{n+1}=x_n[/mm] zuordnet. Der
> Kern dieser Abbildung wird, glaube ich, bei jeder Iteration
> um 1 grösser.
Da hast du den Shift in die falsche Richtung erwischt: dieser hier ist injektiv (aber nicht surjektiv). Der Shift in die andere Richtung tut's aber.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Di 13.05.2008 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé,
die Nacht zu heute war kurz, aber der Blick hierher hat den Tag gleich etwas heller gestaltet.
Vielen Dank für die lieben und fundierten Tipps.
Das mit dem "kleiner gleich" sollte tatsächlich ein "echt kleiner" sein. Wieder was gelernt: So spät nichts mehr einstellen. :)
Namárie,
sagt ein Lary, wo das jetzt mal sauber durchformuliert.
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