Endomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Di 26.09.2006 | | Autor: | cloe |
| Aufgabe | geg:
Sei X ein K-VR mit dim X=n und [mm] \phi: [/mm] X [mm] \to [/mm] X ein Endomorphismus
zu zeigen:
X ist diagonalisierbar <=> die Vielfachheit jeder Nullstelle des char. Polynoms entspricht der Dimension des zugehörigen Eigenraums |
Hallo Zusammen,
ich komm bei der Aufgabe überhaupt nicht weiter :-/
Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen
Danke im voraus.
cloe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Mi 27.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo cloe!
> geg:
> Sei X ein K-VR mit dim X=n und [mm]\phi:[/mm] X [mm]\to[/mm] X ein
> Endomorphismus
>
> zu zeigen:
>
> X ist diagonalisierbar <=> die Vielfachheit jeder
> Nullstelle des char. Polynoms entspricht der Dimension des
> zugehörigen Eigenraums
> Hallo Zusammen,
>
> ich komm bei der Aufgabe überhaupt nicht weiter :-/
Ueberleg dir doch erstmal, dass fuer eine Basis $B = [mm] \{ v_1, \dots, v_n \}$ [/mm] von $X$ aequivalent sind:
(i) [mm] $\phi$ [/mm] ist bzgl. $B$ diagonalisiert;
(ii) alle [mm] $v_i$s [/mm] sind Eigenvektoren von [mm] $\phi$.
[/mm]
Wenn du dir das ueberlegt hast, versuch doch mal die Bedingung, dass es eine Basis von $X$ gibt, die nur aus Eigenvektoren von [mm] $\phi$ [/mm] besteht, mit der Bedingung aus der Aufgabenstellung in Verbindung bringt. (Bedenke, dass die Dimension des Eigenraums immer [mm] $\le$ [/mm] der Vielfachheit des Eigenwerts als Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.)
LG Felix
|
|
|
|
